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1、研究生应用运筹学复习试卷 图1v1v2v3v4v5v6一问答题1 左边图1能否一笔画出？为什么？2 用单纯型法求解极大化线性规划时，当检验数j满足什么条件时，所得解为最优解？当检验数j满足什么条件时，线性规划所得解为有无穷多最优解之一？3 某一求目标函数极大值线性规划用单纯形法求解得到的某一步的单纯形表如下：1200CBXBbx1x2x3x42x2301121x1d1022400c2x1和x2为非人工变量，问（1）当c、d满足什么条件时，表中解为惟一最优解？(2) 当表中 a，b满足什么条件时，表中解为无穷多最优解之一？x1x23x12x2=18x2= 6x1 = 4x2图10BACD2x15
2、x2= z04 已知为线性规划的对偶问题的最优解，说明在最优生产计划中第i中资源的影子价格等于2，在最优生产计划中第i中资源是什么资源？这种资源是否耗尽？ 5 已知线性规划 max z =2x15x2 ； s.t x14，2x212，3x12x218 x1, x2 0的可行域、等值线和梯度如图1所示，求线性规划的最优解及最优值。二 根据要求建立下列问题的数学建模（不需要求解）1 某工厂生产、 三种产品，已知生产单位产品所需设备台时以及A、B两种原材料的消耗数据如下表 产品设备、材料总供给设备使用和原材料单价设 备348100台时3 元/台时原材料A5912210kg4元/kg原材料B48101
3、50kg6元/kg又、 三种产品的销售价格为80元、120元和168元。假定要求产品的数量不少于三种产品总数的40%，试建立使工厂利润最大的产品生产数学模型。2 某工厂要做100套钢架，每套用长为2米、1.6米、1.4米的钢材各一根。已知所用原料每根长6米，问应如何下料，可使所用原料最省(建立数学模型)。三 银鸽公司有2亿资金可供投资，根据市场调研，发现有12个值得投资的项目，每个项目只能投资一次，每个项目的预计的收益（净现值）和所需的投资资金各不相同，这些信息在下表中给出。 单位：百万元投资项目 123456789101112预期收益352826303236294222304538需要的资金
4、272019232528183217223529假定投资项目选择要满足下列限制：（1）投资项目7、8和12中至多选一个投资。（2）投资项目5、6、10选择一个投资。（3）投资项目1、2、3、4、9和11中至少选两个投资。（4）项目5和项目11不同时投资。（5）项目10只有在选择项目2投资的前提下才能投资；（6）如果选择了项目4或项目6，就不选择项目12；反之，如果选择了项目12，就不选择项目4和项目6。试建立投资项目选择的01规划模型，使总投资收益最大。 4 某工厂生产A、B二种型号的电机，它们均需经过两道主要工序加工。二种电机生产所需的加工时间、需要的资金、单位产品利润见下表试建立该问题的目
5、标规划模 电机A电机B每周可用时间（小时）工序一（小时/台）4小时6小时800小时工序二（小时/台）3小时2小时600小时需要的资金（元）300450产品利润（元/台）8001200市场每周需求（台）90110工厂期望经营目标的各优先级为：第1优先权P1：每周利润不低于120000元； 第2优先权P2：工序一每周的生产时间要充分利用，但尽量不加班，工序二生产时间要充分利用，可适当加班；第3优先权P3：两种电机应尽量满足市场的需求，按产品利润比率来确定相应的权系数； 第4优先权P4：资金控制在80000元以内，第5优先权P5：工序二加班生产时间不超过90小时试建立该问题的目标规划模型。5邮局一周
6、中每天需要不同数目的雇员，设一周每天所需要雇员数如下表时 间所需雇员数星期一16人星期二15人星期三16人星期四19人星期五14人星期六12人星期日18人又规定应聘者需连续工作五天，然后连续休息两天，每天雇员的工资为100元。建立邮局能满足需求，又使聘用费用最少的每天聘用雇员数量的数学模型。6 投资者有资金8万元，在未来3年内有4种投资选择，第一种投资方案：3年内每年年初购买债券，于当年年末归还，并加息8%；第二种方案：第1年年初投资，第2年年末可获利35%，并将本金收回，但该项投资金额不得超过3万元；第3种方案：在第2年年初投资，第3年年末可获利45%，并将本金收回，该项投资不得超过2万元；
7、第4种投资方案：在第3年年初投资，年底收回本金，并可获利20%，但该项投资金额不得超过1.5万元。问投资者应如何安排他的资金，确定这些方案的投资额，使到第3年年末本利最大。（建立数学模型.。设为第i年投资第j种投资方案的投资金额）。7 某工厂用A、B、C三种原料生产三种不同牌号的产品甲、乙、丙。已知各种产品中对原料A、B、C的含量要求，原料成本，原料每月可供量，三种产品的单位加工费用及售价见下表，问该厂应如何安排每月生产，使所获利润最大？合 金原 料甲乙丙原料成本元/ kg每月可供量kgA55%15%42000B32500C20%60%50%21200加工费(元/ kg)321售价（元/ kg
8、）10868 高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如下表所示。不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大 资 源小号容器中号容器大号容器金属板/t248劳动力/（人/月）234机器设备/（台/月）1239 某公司经营一种家电产品，公司仓库可容纳库存5000台。在一
9、月一日，公司已拥有库存1000台，并拥有资金200万元。据估计，一季度这种家电的进货价和销售价分别为：一月份进价280元/台，销价305元/台；二月份进价300元/台，销价320元/台；三月份进价290元/台，销价298元/台。公司进货后，需在下月才能卖出，进货时规定“货到付款”。公司希望到季末（三月末）库存不超过2000台，问公司应在每月进货和销货多少（经营策略）使三个月的总的获利最大。（设每月的进货量为xi，销货量为xj。考虑库存约束，即销量小于库存量；资金约束；库容约束。）三计算与分析1已知线性规划问题 max z = 2x12x2 ；s.t . x12x2 10，3x12x2 4， x
10、1, x2,0用单纯形法求最优解v1v2v3v4v6v5v774651258671452求下列网络图从v1到v7的最短路和路长。vsv7897912510111156v1v2v3v4v53求下图所示网络的最大流与流量，写出最小截集。4设某工程的工序明细表如下工序紧前工序工序时间工序紧前工序工序时间A2FC, D3B5GC, D5CA3HE2DB2IF4EB2（1） 绘制网络图；（2） 计算各事项最早时间，事项最迟时间和各工序的最早开始时间、最早结束时间、最迟开始时间、最迟结束时间和总时差，并找出关键路线。5某企业生产一种易变质的食品，单位产品成本为20元，售价为60元，每件售出可获利40元，如
11、果销售不完，就要损失20元（即产品报废无用）。这种食品的销量预计为10000只、11000只、12000只和13000只。（1）写出收益矩阵，分别用乐观准则和悲观准则求最优决策方案；( 2 ) 具统计资料，这种食品销售量的概率如下表销售量10000只11000只12000只13000只概 率02040301答 案一1能，所有点均为偶点。2当所有检验数j0时，所得解为最优解。当所有检验数j0，且有一个非基变量的检验数等于零时，线性规划有无穷多最优解。3（1）当d0，c0；（2）d0，c=0。4说明在最优生产计划中第i中资源是稀缺资源，这种资源已全部耗尽； 5当等值线沿着梯度正方向移动到与可行域交
12、于B点时，等值线的值最大，故B点为最优解，B点为方程组的解，解方程得x12，x26。最优值。二建立下列问题的数学建模 1设、 三种产品的产量分别为x1、x2和x3。、 三种产品的单位利润分别为27、24和36。 数学模型为： max z =27x124x236x3 ；s.t . 3x14x28x3100，5x19x212x3210，4x18x210x3150，0.6x20.4x10.4x30 x1, x2, x302套裁方案为方案规格123456782 米0302210116米2011020114米20301041料头（米）000.20.40.60.80.41设xj (j=1,5,8 )为第j
13、方案所用钢材的根数，数学模型为：min z =0.2x30.4 x40.6 x50.8 x60.4 x7x8；s.t . 3x2 2x42 x5x6 x8100，2x1 x3 x4 2x6 x8100，2x1 3x3 x5 4 x7 100， x1, x2, x3 ,x4, x5 , x60 且为整数3， 数学模型为：max z = 35x1 + 28x2 + 26x3 + 30x4 +32x5+ 36x6+29x7 +42x8 +22x9+ 30x10+45x11 +38x12 s. t. x7+ x8 +x12 1 x5+ x6+x10 = 1x1+ x2+ x3+x4 +x9 +x11
14、2x5 + x11 1x10 x2x4+x12 1x6+x12 1 27x1 + 20x2 + 19x3 + 23x4 +25x5+ 28x6+18x7 +32x8 +17x9+ 22x10+35x11 +29x12200xi (i =1,2,12)等于0或14设生产电机A、B的数量分别为x1、x2，数学模型为 5设周一，周二，周日开始工作的雇员为x1，x2，x7，则数学模型为：min z 100（x1x2x3x4x5x6x7）s.t. x1 x4x5x6x716 x1x2 x5x6x715 x1x2x3 x6x716x1x2x3x4 x719x1x2x3x4x5 14x2x3x4x5x6 1
15、2 x3x4x5x6x7 18x1，x2，x706设为第i年投资第j种投资方案的投资金额，数学模型为7解：设 xij 表示第 i种（甲、乙、丙）产品中含原料 j（分别用j=1、2、3表示原料A、B和C）的含量。则产品甲的产量为：x11x12x13；产品乙的产量为：x21x22x23；产品丙的产量为：x31x32x33；原料A的用量为：x11x21x31；原料B的用量为：x12x22x32；原料B的用量为：x13x23x33；则数学模型为： max z =(103)(x11x12x13)(82)(x21x22x23)(61)(x31x32x33)4(x11x21x31) 3(x12x22x32)
16、 2(x13x23x33)规格约束 x110.55(x11+x12+x13) x130.2 (x11+x12+x13) x230.6 (x21+x22+x23) x310.15(x31+x32+x33) x330. 5(x31+x32+x33)原材料供应 (x11+x21+x31)2000 ( x12x22x32) 2500 (x13x23x33) 1200 xij 08答案见书P1679设每月的进货量为，销货量为，则线性规划模型为：三计算题1化成标准性为：max z = 2x12x2；s.t . x12x2x3 103x12x2 x4 4用单纯形法计算表格如下： c j2200右端项bCBX
17、Bx1x2x3x40x312101050x432014z220004x21/211/2050x4201114z101010最优解为X *=(x1, x2, x3, x4)T = (0, 5, 0, 14) T，最优值为z *= 10vsvt(8,8）(9,9)(7,3)(12,9)(10,6)(11,9)(11,11)(5,5)v1v2v3v4v5(9,9)(6,6)(5,0)2最短路为v1，v2，v3，v5，v7和v1，v2，v3，v6，v5，v7，路长r*=16。3 最大流为v ( F* )=261234675ABCDEFGHI2532235244网络图为：时间参数表：工 序TE S (i
18、, j)TE F (i, j)TL S (i, j)TL F (i, j)R(i, j)关键工序A02242B05050*C25472D57570*E5710125F7107100*G7129142H7912145I101410140*关键路线LC=B，D，F；I5收益距阵为 预期收益 销量E 产量决策E1（10000）E2（11000）E3（12000）E4（13000）P(E1)0.2P(E2)0.4P(E3)0.3P(E4)0.1产量S1 （10000只）400000400000400000400000产量S2 （11000只）380000440000440000440000产量S3 （12000只）360000420000480000480000产量S4 （13000只）340000400000460000520000（1）乐观准则 ，选择决策S4，生产130只；悲观准则，选择决策S1，生产100只；（2）四种决策方案S1、S2、S3和S4的期望收益分别为400000元、428000元、432000元和418000元，应选择决策S3，生产120只。8