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1、7.1 应力状态概述 7.2 二向和三向应力状态的实例 7.3 二向应力状态分析解析法 7.4 二向应力状态分析图解法 7.5 三向应力状态应力状态 7.8 广义胡克定律 7.9 复杂应力状态的应变能密度 7.10 强度理论概述 7.11 四种常用的强度理论,第 七 章 应力状态分析 强度理论,主要介绍：平面应力状态分析、最大应力与主应力、 广义胡克定律、四种常用的理论。,7.1 应力状态概述,基本变形下，危险点只受正应力或只受切应力作用：,或,可建立强度条件：,但实际中常见较复杂问题：危险点同时受 s 、t 作用。,如：直升机螺旋桨轴,工作时受轴向力F、外力偶矩 Me 作用，横截面同时存在s
2、 、t 。,取轴表层A点：,此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑 s 、t 的影响。,又如：受内压容器筒壁,筒壁某 A 处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。,又如：火车车轮与铁轨接触处表层,A 点应力：为三向受压状态。,此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。,例：低碳钢拉伸时，在屈服阶段，试件表面出现沿与轴线成45 的方向的滑移线，表明材料产生滑移；,铸铁压缩时，试件沿与轴线成 45 左右方向的斜截面破坏；,铸铁扭转时，试件沿与轴线成与 45 左右的螺旋面扭断。,即构件的破坏与斜截面上的应力有关。,所以应研究构件不同斜截面上的应力情况。,一点的应力状态
3、：指受力构件内某一点处各个不同方向斜截面 上的应力变化情况。,研究应力状态的目的：找出构件上的 smax、tmax 及其所在截面 的方向，用以进行强度计算，解释破坏 原因。,如断裂破坏垂直于smax 的方向；滑移(屈服)沿tmax 的方向发生。,二、应力状态的研究方法,在构件危险点处取微小六面体单元体 dx、dy、dz分析。,一般情况下，在单元体的各个面上分布有s、t 。,单元体各面应力：sx、sy、sz、txy、txz、tyz,由于单元体各面面积很小，可认为各面上的 s、t 均布。,此外：平行平面上，s 大小相等；垂直平面上，t 大小相等。,当 dx、dy、dz 足够小时，单元体各面上的应力
4、便可作为A点应力。,一般情况下，单元体处于平衡状态。,对单元体应用截面法和静力平衡条件，即可求出通过单元体的任一斜截面上的应力，从而确定该点处的应力状态。,三、应力状态的分类,定义：单元体 上应力为零的面称为零应力面；,单元体上只有 s 而无 t 的面称为主平面。,主平面上的正应力 s 称为主应力。,单元体在某一特殊方向上，三个互相垂直的截面上只有 s，而无 t ，即为单元体的三个主平面。,用 s1 s2 s3 表示三个主应力，此单元体称为主单元体。,1. 单向应力状态：,2. 二向应力状态(平面应力状态)：,一个主应力不为零，其他二个主应力为零。如：轴向拉伸。,一个主应力不为零，其他二个主应
5、力为零。,3. 三向应力状态(空间应力状态)：,三个主应力均不为零。,一般要找出主应力后才能确定应力状态。,四、应力状态分析步骤,1. 确定构件危险截面危险点；,2. 取危险点单元体；,4. 截面法取部分单元体；,5. 由平衡条件确定单元体斜截面上的应力。,3. 计算单元体各面应力；,应力状态分析方法：,解析法、图解法。,7.3 二向应力状态分析解析法,设一平面应力状态如图示：已知 sx、sy、tx= ty,求斜截面ae上的应力sa、ta,斜截面位置：用斜截面外法线 n 与 x 轴的夹角 a 表示。,规定：从 x 到 n 逆时针时， a 为正，反之为负。,用平面图形表示：sx、sy、tx= t
6、y,sa,ta,截面ae上应力：,左半部分受力：sx、sy、tx、ty、sa、ta，处于平衡状态。,截面法：沿斜截面ae假想地切开单元体，取左半部分研究。,sa与截面垂直，拉应力为正，反之为负；,ta与截面相切，绕研究对象内任一点顺时针时为正，反之为负。,ae面积：dA,静力平衡条件：法线方向上,设单元体沿z方向厚度为1：,x,sa,ta,合力： sadA、 tadA,ab面积：ab1= dAcosa,bc面积：bc1= dAsina,合力： sxdAcosa、 txdAcosa,合力： sydAsina、 tydAsina,切线方向上：,x,sa,ta,受力： sadA、 tadA,受力：
7、sxdAcosa、 txdAcosa,受力： sydAsina、 tydAsina,x,sa,ta,可知：sa、ta与sx、sy、tx(ty)有关，并随斜截面位置a 而变化。,例1 已知 sx= 100MPa、sy =50MPa 、tx = 60MPa，a = 30,解：由图知，斜截面位置：a = 30,一、材料破坏的基本形式,7.10 强度理论概述,在静载荷下，材料的破坏现象有所不同，但破坏形式有两种：,特点：材料破坏前产生明显的变形，并且变形中大部分是塑 性变形。,在出现屈服现象后，材料发生显著的塑性变形，构件就失去了正常的工作能力，,因而从工程意义上说，塑性屈服就作为一种破坏的标志。,1
8、. 塑性屈服或变形,2. 脆性断裂,特点：材料在没有明显变形时就突然断裂。,发生断裂时构件就失去了工作能力，,在工程，断裂作为另一种破坏的标志。, 材料的破坏形式：塑性屈服和脆性断裂。,二、强度理论的概念,简单受力情况下的强度条件可直接通过实验建立：,如： 轴向拉伸强度条件：,su：材料极限应力，由试验测定。,但在工程实际中，大多数受力构件的危险点都处于复杂应力状态下。,又如：纯剪切强度条件：,tu：材料极限应力，由试验测定。,在复杂应力状态下的强度条件很难通过试验来建立：,(1) 复杂应力多种多样，而 su 与 s1、s2、s3 有关，即,su = f (s1，s2，s3),(2) 试验中要
9、完全实现实际中的各种复杂应力状态也很不容易。,人们从对破坏现象的分析着手，研究材料的破坏规律，寻找引起材料破坏的原因，研究复杂应力状态下的强度问题。,因此，人们希望找到一种方法，可以由简单应力状态下试验所得到的材料极限应力，建立复杂应力状态下的强度条件，从而解决其强度问题。,而 s1、s2、s3 的组合是无数的，不可能一一试验，测定 su 。,实际上材料的破坏形式主要为屈服和断裂二种。,人们认为：同一类的破坏形式是由同一种因素引起的。,对提出引起材料产生某类破坏的原因的各种假说就称为强度理论。又称为破坏准则。,即无论是简单应力状态或是复杂应力状态，其相同的破坏形式都是由同一种因素引起的。,强度
10、理论的任务：探讨材料的某类破坏是由哪些主要因素引起 的。,各种不同的强度理论是否正确，以及其适用的范围如何，都必须经过生产实践的检验。,由此提出了各种不同的强度理论。,一、最大拉应力理论第一强度理论,7.11 四种常用的强度理论,最大拉应力理论认为：,不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应力s1 达到材料单向拉伸断裂时的极限应力 su 时，材料即发生断裂。,即：,主要由观察砖、石、铸铁等脆性材料的破坏现象后所提出。,最大拉应力 s1 是引起材料断裂的主要因素。,由此得强度条件：,式中： s1 为构件危险点处的最大拉应力；,sb 为材料单向拉伸时的强度极限，由拉伸试验测得。,兰金(Rankine
11、)理论，英，1858年提出。,试验和实践表明：最大拉应力理论适用于脆性材料。,缺点：只考虑了s1，未考虑 s2、s3 的影响，并且不能用于压缩 时应力状态。,如：铸铁扭转时沿拉应力最大的斜截面断裂。,此外：铸铁材料在二向拉伸、以及压应力数值与拉应力数值相 差不多时的拉压二向应力状态下的试验结果与最大拉应 力理论相当接近。,二、最大伸长线应变理论第二强度理论,最大伸长线应变理论认为：,不论材料处于何种应力状态，只要最大伸长线应变e1 达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应变 e1u 时，材料即发生断裂。,即：,圣维南(Saint-Venant)假定。,最大伸长线应变 e1 是引起材料断裂的主要因素。,
12、式中： s1、s2、s3 为构件危险点处的主应力；,强度条件：,sb 为材料单向拉伸时的强度极限，由拉伸试验测得。,试验和实践表明：最大伸长线应变理论适用于脆性材料。,如：脆性材料中石块、混凝土等受轴向压缩时沿纵向开裂；,铸铁在拉压二向应力状态且压应力较大时的试验结果也与最大伸长线应变理论大致相符。,缺点：由此强度理论得到铸铁在二向拉伸下应比单向拉伸时安 全，与试验结果不符合。,三、最大切应力理论第三强度理论,最大切应力理论认为：,不论材料处于何种应力状态，只要最大切应力tmax 达到材料单向拉伸时的屈服极限 ss 时，材料即发生屈服。,即：,屈斯卡(Tresca)条件，德，1864年提出。或
13、盖斯特(Guest)条件。,最大切应力 tmax 是引起材料屈服的主要因素。,式中： s1、s3 为构件危险点处的主应力；,ss 为材料单向拉伸时的屈服极限，由拉伸试验测得。,强度条件：,最大切应力理论能较为满意地解释塑性材料出现塑性变形的现象，理论计算结果与试验结果较为接近，并且形式简单，在机械工程中得到广泛应用。,缺点：忽略了s2 的影响，使得在二向应力状态，理论计算结果 与试验结果相比偏于安全，差异最高达15%。,四、畸变能密度(形状改变应变能密度)理论 第四强度理论,畸变能理论认为：,畸变能密度ud 是引起材料屈服的主要因素。,不论材料处于何种应力状态，只要畸变能密度ud 达到材料单向
14、拉伸屈服极限时的 uds 时，材料即发生屈服。,即：,强度条件：,式中：s1、s2、s3 为构件危险点处的主应力；,s为材料单向拉伸时的许用应力。,1904年由波兰力学家胡勃(Huber)首先提出。 1913年由米塞斯(R.Von.Mises，德) 及1925年由亨基(H.Hencky)各自独立 提出。,又称为米塞斯条件。,在二向应力状态下，理论计算结果基本上与试验结果相符，比第三强度理论更接近实际情况。,试验和实践表明：畸变能理论适用于塑性材料。,缺点：不能解释材料在三向等拉应力状态下的脆性断裂现象。,还有其他一些强度理论：莫尔强度理论等。,各种强度理论都应通过试验和实践的检验，应以符合实际
15、为准。,强度理论还需继续发展。,五、强度理论的应用,对三向应力状态，可利用强度理论将其转化为一强度相当的单向应力状态：,可将各强度理论的强度条件写成统一形式：,sr 称为相当应力。,第一强度理论：,第二强度理论：,第三强度理论：,第四强度理论：,六、强度理论的选用原则,对脆性材料：宜采用第一强度理论和第二强度理论；,对塑性材料：宜采用第三强度理论和第四强度理论。,此外应：,1. 在三向等值拉伸应力状态下，不论是脆性材料还是塑性材料，都采用第一强度理论。,2. 在三向压缩应力状态下，不论是脆性材料还是塑性材料，都采用第三强度理论或第四强度理论。,3. 对铸铁等脆性材料，在二向拉伸及二向拉压且拉应
16、力较大时，采用第一强度理论；但二向拉压且压应力较大时，采用第二强度理论。,4. 对低碳钢等塑性材料，除三向等值拉伸外，都采用第三强度理论或第四强度理论。,一般对强度理论的选用在设计规范中都有规定，应尽量执行有关标准、规范。,例11 已知铸铁构件危险点单元体应力状态如图示，sx= 10MPa、 sy =20MPa、tx = 15MPa。材料的许用拉应力s =30MPa。,解：1) 计算主应力,试选用强度理论进行强度校核。, s1= 26.2 MPa s2 = 0 s3 = 16.2 MPa,2) 计算 sr,选用第一强度理论： sr1 = 26.2 MPa,3) 强度校核,sr1 = 26.2 MPa s , 满足强度条件。,