材料力学 第七章课件.ppt

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1、第七章 应力和应变分析 强度理论, 什么是应力状态？, 描述一点应力状态的方法, 为什么要研究应力状态,7-1平面应力状态概述, 什么是应力状态？,应力的点的概念同一截面上 不同点的应力各不相同,横截面上的正应力分布,横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。,横截面上的切应力分布,受力之前,表面的正方形,受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。,受力之前,表面斜置的正方形,受力之前,在其表面画一斜置的正方形；受拉后，正方形变成了菱形。,这表明：拉杆的斜截面上存在切应力。,受扭之前，圆轴表面的圆,这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。,受扭

2、后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴方向缩短。这是为什么？,不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。,应 力,指明,应力状态的概念过同一点不同方向面上应力的集合，称为这一点的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）, 为什么要研究应力状态？,铸铁,应力状态的研究方法,1、单元体（Element body）,2、单元体特征 (Element characteristic),3、主单元体(Principal body) 各侧面上切应力均为零的单元体,4、主平面(Principal plane) 切应力为零的截面,5、主应力(Principal s

3、tress) 主面上的正应力,说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂 直的主应力分别记为 1 ,2 , 3 且规定按代数 值大小的顺序来排列, 即,应力状态的分类(The classification of stresses-state),1、空间应力状态(triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ) 三个主应力1 、2 、3 均不等于零,2、平面应力状态(biaxial stress-state or plane stress-state) 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等

4、于零,3、单向应力状态(uniaxial stress-state or simple stress-state ) 三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零,例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.,S平面,例题 2 画出如图所示梁 危险截面危险点的应力状态 单元体,y,x,z,平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和 y , yx,7-3 平面应力状态分析-解析法 (Analysis of plane stress-state),一、斜截面上的应力(Stresses on an oblique section),1、截面法 (Section method)

5、假想地沿斜截面 ef 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象,(1) 由x轴转到外法线n，逆时针转向时则为正,（2)正应力仍规定拉应力为正,（3)切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转为正,2、符号的确定 (Sign convention),设斜截面的面积为 dA , ae的面积为 dAcos ,af 的面积为 dAsin,3、任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane),对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得,化简以上两个平衡方程最后得,不难看出,即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数,二、最大正应力及方位 (Max

6、imum normal stress and its direction),1、最大正应力的方位(The direction of maximum normal stress ),令,0 和 0+90确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.,2、最大正应力(Maximum normal stress ),将 0和 0+90代入公式,得到 max 和 min (主应力）,下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角,(1)当x y 时 ， 绝对值小于45 的0 是x与max之间的夹角,(2)当xy 时 ，绝对值小于45 的0是x与min之间的夹角,(

7、3)当x=y 时 ，绝对值等于45，主应力的方向可由单元体上 切应力情况直观判断出来,确定主应力方向的具体规则如下,因为0 必有一个 取值在45范围内，即其绝对值小于等于45 ,二、最大切应力及方位 (Maximum shearing stress and its direction),1、最大切应力的方位(The direction of maximum shearing stress ),令,1 和 1+90确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.,2、最大切应力(Maximum shearing stress ),将 1和 1+90代入公式,得到

8、 max和min,可见,例题4 简支梁如图所示.已知 mm 截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为 =-70MPa， =50MPa .确定A点的主应力及主平面的方位.,解：,把从A点处截取的单元体放大如图,因为 x y ，所以 0= 27.5 与 min 对应,例题6 图示单元体，已知 x =-40MPa， y =60MPa，xy=-50MPa.试求 ef 截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.,(1) 求 ef 截面上的应力,(2) 求主应力和主单元体的方位,x = -40MPa y =60 MPa x = -50MPa =-30,因为 x y ，所以 0= -22.5 与 min 对应,

9、例5 分析受扭构件的破坏规律。,解：确定危险点并画其原 始单元体,求极值应力,应力状态与应变状态,O,破坏分析,应力状态与应变状态,铸铁,7-4 平面应力状态分析-图解法 (Analysis of plane stress-state with graphical means),一、莫尔圆(Mohrs circle),将斜截面应力计算公式改写为,把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去，得,因为x ，y ，xy 皆为已知量，所以上式是一个以，为 变量的圆周方程。当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 .,1、圆心的坐标 (Coordinate of ci

10、rcle center),2、圆的半径（Radius of circle),此圆习惯上称为 应力圆( plane stress circle) , 或称为莫尔圆(Mohrs circle),(1) 建 - 坐标系 ,选定比例尺,二、应力圆作法（The method for drawing a stress circle),1、步骤（Steps),o,(2) 量取,OA= x,AD = xy,得 D 点,OB= y,(3) 量取,BD= yx,得 D 点,(4) 连接 DD两点的直线与 轴相交于 C 点,(5)以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆,(1)该圆的圆心 C

11、点到 坐标 原点的 距离为,(2)该圆半径为,2、证明(Prove),三、应力圆的应用（Application of stress-circle),1、求单元体上任一 截面上的应力(Determine the stresses on any inclined plane by using stress-circle),从应力圆的半径 CD 按方位角 的转向 转动 2 得到半径 CE. 圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力 。,证明,2、求主应力数值和主平面位置 (Determine principle stress and the direction of principle

12、 plane by using stress circle),(1)主应力数值,A1 和 B1 两点为与主平面 对应的点，其横坐标 为主应力 1 ，2,（2）主平面方位,由 CD顺时针转 20 到CA1,所以单元体上从 x 轴顺时 针转 0 （负值）即到 1 对应的主平面的外法线,0 确定后， 1 对应的主平面方位即确定,3、求最大切应力(Determine maximum shearing stress by using stress circle),G1 和 G 两点的纵坐标分别代表 最大和最小切应力,因为最大最小切应力 等于应力圆的半径,例题7 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, x

13、 = - 1MPa , y = - 0.4MPa , xy= - 0.2MPa , yx = 0.2MPa ,(1)绘出相应的应力圆,(2)确定此单元体在 =30和 = - 40两斜面上的应力。,解: (1) 画应力圆,量取OA= x= - 1 , AD = XY= - 0.2,定出 D点;,OB =y= - 0.4和， BD = yx= 0.2 , 定出 D点 .,以 DD 为直径绘出的圆即为应力圆。,将 半径 CD 逆时针转动 2 = 60到半径 CE, E 点的坐标就 代表 = 30斜截面上的应力。,(2) 确定 = 30斜截面上的应力,(3) 确定 = - 40斜截面上的应力,将 半径

14、 CD顺时针转 2 = 80到半径 CF, F 点的坐标就代表 = - 40 斜截面上的应力。,例题8 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横 截面尺寸示于图中。试绘出截面 c 上 a , b 两点处的应力圆，并 用应力圆求出这两点处的主应力。,解: (1) 首先计算支反力, 并作出 梁的剪力图和弯矩图,Mmax = MC = 80 kNm,FSmax =FC左 = 200 kN,(2)横截面 C上a 点的应力为,a点的单元体如图所示,由 x ， xy 定出 D 点,由 y ， yx 定出 D 点,以 DD为直径作应力圆,O,(3)做应力圆,x =122.5MPa， xy =64.6M

15、Pa,y=0， yx=-64.6MPa,A1，A2 两点的横坐标分别代 表 a 点的两个主应力 1 和 3,A1 点对应于单元体上 1 所在的主平面,(4)横截面 C上b点的应力,b点的单元体如图所示,b 点的三个主应力为,1所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C,已知受力物体内某一点处三个主应力 1、2、3,利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力。,一、 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力 (the maximum normal stress and shear stress in three-dimensional stress-state),7-4 三向应力状态分析 (

16、analysis of three-dimensional stress-state),首先研究与其中一个主平面 (例如主应力3 所在的平面)垂 直的斜截面上的应力,1,2,2,用截面法，沿求应力的 截面将单元体截为两部分， 取左下部分为研究对象,主应力 3 所在的两平面上是一对 自相平衡的力， 因而该斜面上的 应力 , 与 3 无关, 只由主应力 1 , 2 决定,与 3 垂直的斜截面上的应力可由 1 , 2 作出的应力圆上的点来表示,该应力圆上的点对应 于与3 垂直的所有斜 截面上的应力,O,与主应力 2 所在主平面垂 直的斜截面上的应力, 可 用由 1 ,3 作出的应力圆 上的点来表示,

17、与主应力 所在主平面垂 直的斜截面上的应力 , 可用 由 2 ,3作出的应力圆上的点 来表示,该截面上应力 和 对应的 D 点必位于上述三个应力圆所围成 的阴影内,abc 截面表示与三个主平 面斜交的任意斜截面,1,2,1,2,3,结论,三个应力圆圆周上的点 及由它们围成的阴影部分 上的点的坐标代表了空间 应力状态下所有截面上的 应力,该点处的最大正应力 (指代数值)应等于最大应 力圆上A点的横坐标 1,最大切应力则等于最大的应力圆的半径,最大切应力所在的截 面与 2 所在的主平 面垂直，并与1和 3 所在的主平面成 450角。,例题9 单元体的应力如图所示 ,作应力圆, 并求出主应力和最大

18、切应力值及其作用面方位.,解: 该单元体有一个已知主应力,因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力 z 无关, 依据 x 截面和 y 截面上的应力画出应力圆. 求另外两个主应力,由 x ， xy 定出 D 点,由 y ， yx 定出 D 点,以 DD为直径作应力圆,A1，A2 两点的横坐标分别代 表另外两个主应力 1 和 3, 1 =46MPa, 3 =-26MPa,该单元体的三个主应力, 1 =46MPa, 2 =20MPa, 3 =-26MPa,根据上述主应力，作出三个应力圆,一、各向同性材料的广义胡克定律 (Generalized Hookes law for isotropic ma

19、terials),（1） 正应力：拉应力为正, 压应力为负,1、符号规定 (Sign convention),（2） 切应力：对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针，则为正；反之为负,（3） 线应变：以伸长为正, 缩短为负； （4） 切应变：使直角减者为正, 增大者为负.,7-6 广义虎克定律 (Generalized Hookes law ),x 方向的线应变,用叠加原理，分别计算出 x , y , z 分别单独存在时, x ，y， z方向的线应变 x , y， z，然后代数相加.,2、各向同性材料的广义胡克定律 (Generalized Hookes law for isotropic

20、materials),单独存在时,单独存在时,单独存在时,在 x 、y 、 z同时存在时, x 方向的线应变x为,同理，在 x 、y 、z同时存在时, y , z 方向的线应变为,在 xy，yz，zx 三个面内的切应变为,上式称为广义胡克定律(Generalized Hookes law）, 沿x、y、z轴的线应变 在xy、yz、zx面上的角应变,对于平面应力状态（In plane stress-state） (假设 z = 0，xz= 0，yz= 0 ),3、主应力-主应变的关系 (Principal stress-principal strain relation）,二向应力状态下(In

21、plane stress-state) 设 3 = 0,已知 1、 2、 3；1、2 、3 为主应变,二、各向同性材料的体积应变（The volumetric strain for isotropic materials),构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用表示.,各向同性材料在三向应力状态下的体应变,如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3,变形后的边长分别为,变形后单元体的体积为,a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3,V1=a1(1+ a2(1+2 a3(1+3,体积应变（Volumetric strain）为,1、纯剪切应力状态下的体积应变（ Volumetri

22、c strain for pure shearing stress-state),即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变.,2、三向等值应力单元体的体积应变(The volumetric strain of triaxial-equal stress element body),三个主应力为,单元体的体积应变,这两个单元体的体积应变相同,单元体的三个主应变为,如果变形前单元体的三个棱边成某种比例，由于三个棱边 应变相同，则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例. 所以 在三向等值应力m的作用下，单元体变形后的形状和变形前 的相似，称这样的单元体是形状不变的.,在最一般的空间应力状态下，

23、材料的体积应变只与三 个线应变 x ，y， z 有关，仿照上述推导有,在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的体 积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之 和成正比, 而与切应力无关.,例题10 边长 a = 0.1m 的铜立方块，无间隙地放入体积较大， 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图所示. 已知铜的弹性模量 E=100GPa，泊松比 =0.34，当受到F=300kN 的均布压力作用时，求该铜块的主应力、体积应变以及最大切应力.,解：铜块横截面上的压应力,铜块受力如图所示变形条件为,解得,铜块的主应力为,最大切应力,体积应变为,例题11 一直径 d =20mm的实心圆轴，

24、在轴的的两端加扭矩 m=126Nm. 在轴的表面上某一点A处用变形仪测出与轴线成 -45方向的应变 =5.010-4 ,试求此圆轴材料的剪切弹性模 量 G.,m,m,A,45,x,解：围绕A点取一单元体,例题12 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点与其轴线成 45和135角，即 x, y 两方向分别贴上应变片， 然后在圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶，如图所示，已知圆筒 材料的弹性常数为 E = 200GPa 和 = 0.3 ,若该圆筒的变形在弹 性范围内，且 max = 100MPa , 试求k点处的线应变 x ,y 以及变 形后的筒壁厚度.,解:

25、从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示可求得,k点处的线应变 x , y 为,（压应变）,（拉应变）,圆筒表面上k点处沿径向 (z轴) 的应变和圆筒中任一点 ( 该点到 圆筒横截面中心的距离为 )处的径向应变为,因此，该圆筒变形后的厚度并无变化，仍然为 t =10mm .,b,h,z,b=50mm,h=100mm,例题13 已知矩形外伸梁受力F1，F2作用. 弹性模量 E=200GPa， 泊松比 = 0.3 , F1=100KN ， F2=100KN。,求：（1）A点处的主应变 1， 2 ， 3,（2）A点处的线应变 x ， y ， z,a,F1,F2,F2,l,解：梁

26、为拉伸与弯曲的组合变形. A点有拉伸引起的正应力 和弯曲引起的切应力.,（拉伸）,（负）,（1）A点处的主应变 1， 2 ， 3,（2）A点处的线应变 x， y， z,例题14 简支梁由18号工字钢制成. 其上作用有力F= 15kN ， 已知 E=200GPa , = 0.3.,0.5,0.5,0.25,F,求：A 点沿 00 ，450，900 方向的线应变,h/4,解：,yA ，Iz ，d 查表得出,为图示面积对中性轴z的静矩,z,7-7 复杂应力状态的应变能密度 (Strain-energy density in general stress-state),一、应变能密度的定义 (Defi

27、nition of Strain-energy density ),二、应变能密度的计算公式 (Calculation formula for Strain-energy density),1、单向应力状态下, 物体内所积蓄的应变能密度为 (Strain-energy density for simple stress-state ),物体在单位体积内所积蓄的应变能.,将广义胡克定律代入上式, 经整理得,用 vd 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度, 称为畸变能密度（The strain-energy density corresponding to the distortion.）,

28、用 vV 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度，称为 体积改变能密度（ The strain-energy density corresponding to the volumetric),2、三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度为 (Strain-energy density for simple stress-state ),应变能密度 v等于两部分之和,图 a 所示单元体的三个主应力不相等，因而，变形后既发生 体积改变也发生形状改变.,图 b 所示单元体的三个主应力相等，因而，变形后的形状 与原来的形状相似，即只发生体积改变而无形状改变.,图 b 所示单元体的体积改变比能密度,

29、a单元体的比能为,a所示单元体的体积改变比能,空间应力状态下单元体的 畸变能密度,一、强度理论的概念（Concepts of failure criteria),1、引言 (introduction),7-8 强度理论(The failure criteria),轴向拉、压,弯曲,剪切,扭转,弯曲,(2)材料的许用应力 ，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试 件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全系数而得，即根据相应的试验结果建立的 强度条件.,上述强度条件具有如下特点,(1)危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态；,2、 强度理论的概念(Concepts f

30、or failure criteria),是关于“构件发生强度失效 起因”的假说.,基本观点,构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏的表面现象如何 复杂，其破坏形式总不外乎几种类型，而同一类型的破坏则 可能是某一个共同因素所引起的.,根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式 ,进行 分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的基础上,可利用材料 在单向应力状态时的试验结果 , 来建立材料在复杂应力状态 下的强度条件.,无明显的变形下突然断裂.,二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷） (Two failure types for materials in normal temperature an

31、d static loads),屈服失效(Yielding failure) 材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力.,2. 断裂失效(Fracture failure),引起破坏 的某一共同 因素,形状改变 比能,最大切应力,最大线应变,最大正应力,2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度 理论的萌芽；,3、杜奎特(C.Duguet)提出了最大切应力理论；,4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论，这是后来人 们在他的书信出版后才知道的.,三、四个强度理论 (Four failure criteria),1、伽利略播下了第一强度理论的种子；,第一类强度理论 以脆断作为破坏的标志

32、,包括：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论,第 二类强度理论以出现屈服现象作为破坏的标志,包括：最大切应力理论和形状改变比能理论,根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料 就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏.,1、 最大拉应力理论（第一强度理论） (Maximum-normal-stress criterion ),基本假说：最大拉应力 1 是引起材料脆断破坏的因素.,脆断破坏的条件： 1 = u,四、第一类强度理论(The first types of failure criteria),强度条件:,1 ,2、最大伸长线应变理论（第二强度理论) ( Maximum-normal-

33、strain criterion),根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料 就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏.,基本假说：最大伸长线应变 1 是引起材料脆断破坏的因素.,脆断破坏的条件,最大伸长线应变,强度条件,1、最大切应力理论 (第三强度理论) ( Maximum-shear-stress criterion),基本假说: 最大切应力 max 是引起材料屈服的因素.,根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会 沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效.,屈服条件,五、第二类强度理论(The second types of failure criterion

34、）,在复杂应力状态下一点处的最大切应力为,强度条件,2、畸变能密度理论（第四强度理论） ( Maximum-distortion-energy criterion),基本假说：畸变能密度 vd是引起材料屈服的因素.,单向拉伸下，1= s， 2= 3=0，材料的极限值,强度条件,屈服准则,六、相当应力（Equivalent stress),把各种强度理论的强度条件写成统一形式,r 称为复杂应力状态的相当应力.,1、适用范围(The appliance range ),(2) 塑性材料选用第三或第四强度理论；,(3) 在二向和三向等拉应力时，无论是塑性还是脆性都发生 脆性破坏，故选用第一或第二强度

35、理论；,七、 各种强度理论的适用范围及其应用（The appliance range and application for all failure criteria),(1) 一般脆性材料选用第一或第二强度理论；,(4) 在二向和三向等压应力状态时，无论是塑性还是脆性材 料都发生塑性破坏，故选用第三或第四强度理论.,2、强度计算的步骤 (Steps of strength calculation),(1)外力分析：确定所需的外力值；,(2)内力分析：画内力图，确定可能的危险面；,(3)应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体， 求主应力；,(4)强度分析：选择适当的强度理论，计算相

36、当应力，然后进行 强度计算.,3、应用举例（Examples）,例题15 一蒸汽锅炉承受最大压强为p , 圆筒部分的内径为D ，厚度为 t , 且 t 远小于D . 试用第四强度理论校核圆筒部分内壁的强度. 已知 p=3.6MPa，t=10mm，D=1m，=160MPa.,薄壁圆筒的横截面面积,(1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F,(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象,内壁的强度校核,所以圆筒内壁的强度合适.,用第四强度理论校核圆筒内壁的强度,例题16 根据强度理论 , 可以从材料在单轴拉伸时的 可推知 低碳钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的 .,纯剪切应力状态下:,1

37、= , 2 = 0 , 3 = ,按第三强度理论得强度条件为：,另一方面，剪切的强度条件是：,所以, = 0.5 ,为材料在单向拉伸时的许用拉应力.,材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为 .,按第四强度理论得强度条件为：,按第三强度理论得到：,按第四强度理论得到：, = 0.5 , 0.6 ,例题17 对于图示各单元体，试分别按第三强度理论及第四强度 理论求相当应力.,120 MPa,解：（1）单元体（a）,（2）单元体（b）,（3）单元体（c）,（4）单元体（d）,F,解：危险点A的应力状态如图,例题18 直径为 d=0.1m 的圆杆受力如图, T=7kNm, F=50kN, 材料为铸铁，=

38、40MPa, 试用第一强度理论校核杆的强度.,故安全.,F,T,T,例题19 薄壁圆筒受最大内压时,测得 x=1.8810-4，y=7.3710-4 ，已知钢的 E=210GPa，=170MPa，泊松比=0.3，试用第三 强度理论校核其强度.,解：由广义虎克定律,所以，此容器不满足第三强度理论，不安全.,主应力,相当应力,例题20 两端简支的工字钢梁承受载荷如图所示已知其材料 Q235 钢的许用为 = 170MPa， = 100MPa. 试按强度条件 选择工字钢的型号.,解：作钢梁的内力图.,FSC左 = FSmax = 200kN,MC = Mmax = 84kNm,C , D 为危险截面,

39、（1）按正应力强度条件选择截面,取 C 截面计算,选用 28a 工字钢，其截面的Wz=508cm3.,（2）按切应力强度条件进行校核,对于 28a 工字钢的截面，查表得,最大切应力为,选用 28a 钢能满足切应力的强度要求.,取 A 点分析,（3） 腹板与翼缘交界处的的强度校核,（+）,A点的应力状态如图所示,A点的三个主应力为,由于材料是 Q235 钢，所以在平面应力状态下，应按第四强度 理论来进行强度校核.,应另选较大的工字钢.,若选用 28b号工字钢，算得 r4 = 173.2MPa , 比 大1.88% 可选用 28b 号工字钢.,第七章结束,莫尔认为：最大切应力是使物体破坏的主要因素

40、，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律).综合最大切应力及最大正应力的因素，莫尔得出了他自己的强度理论.,强度理论,7-9 莫尔强度理论 (Mohrs failure criterion),一、引言（Introduction),二、莫尔强度理论(Mohrs failure criterion) ： 任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，则材料即 将屈服或剪断.,公式推导,力学学习目的,我们不能预言，哪类研究和纯理论探索会对我们社会的未来作出最大贡献。,同样地，如果我们不能作出这样的预测，那么我们肯定可以自信地预言，,选自哈佛大学校长 L. H. Summers 2002年5月 在北京大学的演讲,新知识、新想法、新方法和智慧的思考,对于我们的未来将是至关重要的。,