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1、椭圆的极坐标方程及其应用椭圆的极坐标方程及其应用 如图，倾斜角为如图，倾斜角为且过椭圆且过椭圆的右焦点的右焦点的直线的直线 交椭圆交椭圆于于两点，椭两点，椭 22 22 :1(0) xy Cab ab 2 FlC,P Q 圆圆的离心率为的离心率为，焦准距为，焦准距为，请利用椭圆的第二定义推导，请利用椭圆的第二定义推导，并证明，并证明: 为定值为定值Cep 22 ,PF QF PQ 22 11 PFQF 改为：抛物线改为：抛物线 呢？呢？ 2 2(0)ypx p 例例 1.（10 年全国年全国）已知椭圆）已知椭圆的离心率为的离心率为，过右焦点，过右焦点且斜率为且斜率为的的 22 22 :1(0)
2、 xy Cab ab 3 2 F(0)k k 直线与直线与相交于相交于两点若两点若，求，求。C,A B3AFFB k 练习练习 1. （1010 年辽宁理科）设椭圆年辽宁理科）设椭圆 C C： 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为的右焦点为 F F，过点，过点 F F 的直线的直线 与椭圆与椭圆 C C 相交于相交于l A A，B B 两点，直线两点，直线 的倾斜角为的倾斜角为 6060o o, ,2AFFB ，求椭圆，求椭圆 C C 的离心率；的离心率；l 例例 2. （07 年全国年全国）已知椭圆）已知椭圆的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为，过过的直线交椭圆于的直线交椭圆于
3、两点，两点， 22 1 32 xy 1 F 2 F 1 FBD， 过过的直线交椭圆于的直线交椭圆于两点，且两点，且，垂足为，垂足为，求四边形，求四边形的面积的最值的面积的最值 2 FAC，ACBDPABCD 练习练习 2. （05 年全国年全国）P、Q、M、N 四点都在椭圆四点都在椭圆上，上，F 为椭圆在为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点轴正半轴上的焦点.已知已知1 2 2 2 y x 求四边形求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值的面积的最小值和最大值. 0,MFPFFNMFFQPF且线与共线与 例例 3. （07 年重庆理）如图，中心在原点年重庆理）如图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为的
4、椭圆的右焦点为，右准线，右准线 的方程为的方程为.)0 , 3(Fl12x （）求椭圆的方程；）求椭圆的方程； （）在椭圆上任取三个不同点）在椭圆上任取三个不同点，使，使，证明：，证明： 123 ,P P P 133221 FPPFPPFPP 为定值，并求此定值为定值，并求此定值. | 1 | 1 | 1 321 FPFPFP Q y O x P 2 F A y O x B F 推广：已知椭圆推广：已知椭圆, ,是椭圆的右焦点是椭圆的右焦点, ,在椭圆上任取在椭圆上任取个不同点个不同点, ,若若 22 22 1(0) xy ab ab Fn 12 , n P PP , ,则则，你能证明吗？，你
5、能证明吗？ 122311nnn PFPP FPP FPP FP 1 1 | n i i n PFep 练习练习 3. （08 年福建理科）如图，椭圆年福建理科）如图，椭圆的一个焦点是的一个焦点是 F（1，0） ，O 为坐标原点为坐标原点. 22 22 . 1(0) xy ab ab （）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （）设过点）设过点 F 的直线的直线 l 交椭圆于交椭圆于 A、B 两点两点.若直线若直线 l 绕点绕点 F 任意转动，值有任意转动，值有,求求 a 的取的取 222 OAOBAB
6、 值范围值范围. 作业作业 1. （08 年宁夏文）过椭圆年宁夏文）过椭圆的右焦点作一条斜率为的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于的直线与椭圆交于两点两点, 为坐为坐1 45 22 yx BA,O 标原点标原点, 则则的面积为的面积为 . .OAB 作业作业 2.（09 年全国年全国）已知椭圆）已知椭圆的右焦点为的右焦点为 F,右准线右准线 ，点，点，线段，线段 AF 交交 C 于点于点 B。若。若 2 2 :1 2 x CylAl ,求求。3FAFB AF 作业作业 3. （15 年四市二模）如图，在平面直角坐标系年四市二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形中，四边形的顶点都在椭圆的顶
7、点都在椭圆xOyABCD 上，对角线上，对角线与与分别过椭圆的左焦点分别过椭圆的左焦点和右焦点和右焦点，且，且 22 22 1(0) xy ab ab ACBD 1( 1,0) F 2(1,0) F ，椭圆的一条准线方程为，椭圆的一条准线方程为ACBD4x （1）求椭圆方程；）求椭圆方程； （2）求四边形）求四边形面积的取值范围。面积的取值范围。ABCD 练习练习 4.（08 年安徽文）已知椭圆年安徽文）已知椭圆，其相应于焦点，其相应于焦点 F(2，0)的准线方程为的准线方程为 x=4. 22 22 :1(0) xy Cab ab ； （）求椭圆）求椭圆 C 的方程；的方程； （）已知过点）已
8、知过点 F1(-2,0)倾斜角为倾斜角为的直线交椭圆的直线交椭圆 C 于于 A，B 两点两点.求证：求证： 2 4 2 2cos AB ； （）过点）过点 F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆作两条互相垂直的直线分别交椭圆 C 于点于点 A、B 和和 D、E，求，求的最小值的最小值.ABDE 作业作业 5. 已知以已知以 F 为焦点的抛物线为焦点的抛物线上的两点上的两点 A、B 满足满足,求弦求弦 AB 的中点到准线的距离的中点到准线的距离. 2 4yx3AFFB 参考答案：参考答案： 例例 1. 练习练习 1. 例例 2. 练习练习 2. 例例 3. 解：（解：（）设椭圆方程为）设
9、椭圆方程为.1 2 2 2 2 b y a x 因焦点为因焦点为，故半焦距，故半焦距.又右又右)0 , 3(F3c 准线准线l的方程为的方程为，从而由已知，从而由已知 c a x 2 ，36,12 2 2 a c a 因此因此.3327, 6 22 caba 故所求椭圆方程为故所求椭圆方程为.1 2736 22 yx （）方法一）方法一: :记椭圆的右顶点为记椭圆的右顶点为, ,并设并设, ,不失一般性不失一般性A(1,2,3) ii AFPi 假设假设, ,且且 1 2 0 3 2131 24 , 33 又设点又设点在在 上的射影为上的射影为, ,因椭圆的离心率因椭圆的离心率, ,据椭圆第二
10、定义得据椭圆第二定义得 i Pl i Q 1 2 c e a 2 | |(|cos) iiiii a FPPQ ecFPe c 1 (9cos) 2 ii FP(1,2,3)i . . 121 (1cos) 92 i i FP (1,2,3)i 111 123 1112124 3(coscos()cos() 9233FPFPFP 又又 11111111 241313 coscos()cos()coscossincossin0 332222 ( (定值定值) ) 123 1112 3FPFPFP 方法二方法二: :记椭圆的右顶点为记椭圆的右顶点为, ,并设并设, ,不失一般性假设不失一般性假设,
11、 ,且且A(1,2,3) ii AFPi 1 2 0 3 , ,另设点另设点, ,则则 2131 24 , 33 ( ,) ii P x y|cos3,|sin iiiiii xPFyPF 点点在椭圆上在椭圆上, , i P 22 (|cos3)(|sin) 1 3627 iiii PFPF , ,以下同方法一以下同方法一 11 (2cos) 9 i i FP (1,2,3)i ( (定值定值) ) 123 1112 3FPFPFP 推广：推广： 引理引理 1:1:. . (1) sincos() 22 coscos()cos(2 )cos() sin 2 nn n 证明证明: :-(1)-(
12、1) 1 cos sinsin()sin() 2222 -(2)-(2) 13 cos()sinsin()sin() 2222 -(-() ) 12121 cos()sinsin()sin() 2222 nn n 1n 将上述将上述个式子相加得个式子相加得1n 1211 coscos()cos()sinsin()sin() 2222 n n (1) sincos() 22 coscos()cos() sin 2 nn n 证明证明: :记椭圆的右顶点为记椭圆的右顶点为, ,并设并设, ,不失一般性不失一般性A(1,2, ) ii AFPin 假设假设, ,且且 1 2 0 n 21311 24
13、 , n n nnn 又设点又设点在在 上的射影为上的射影为, ,据椭圆第二定义得据椭圆第二定义得 i Pl i Q 2 | |(|cos) iiiii a FPPQ ecFPe c (1,2, )in . . 2 1 (1cos) i i a e FPb (1,2, )in 111 2 1 122(1) coscos()cos() | n i i an ne PFbnn 在引理在引理 1 1 中中, ,令令, ,则则 1 2 , n 111 22(1) coscos()cos() n nn 11 (1)(1) sincos()sincos() 22 0 sinsin 2 nnn n n .
14、. 2 1 1 | n i i na PFb 练习练习 3.3. 解法一：解法一：()()设设M M，N N为短轴的两个三等分点，为短轴的两个三等分点， 因为因为MNFMNF为正三角形，为正三角形， 所以所以, , 3 2 OFMN 即即 1 1 3 2 ,3. 23 b bA解得 因此，椭圆方程为因此，椭圆方程为 22 14,ab 22 1. 43 xy ()()设设 1122 ( ,), (,).A x yB xy ()()当直线当直线 ABAB与与x x轴重合时，轴重合时， 222 222 222 2,4(1), . OAOBaABaa OAOBAB 因此，恒有 ()()当直线当直线AB
15、AB不与不与x x轴重合时，轴重合时， 设直线设直线ABAB的方程为：的方程为： 22 22 1,1, xy xmy ab 代入 整理得整理得 22222222 ()20,ab myb myba b 所以所以 2222 1212 222222 2 , b mba b yyy y ab mab m 因为恒有因为恒有，所以，所以AOBAOB恒为钝角恒为钝角. . 222 OAOBAB 即即恒成立恒成立. . 11221212 ( ,) (,)0OA OBx yxyx xy y AA 2 121212121212 (1)(1)(1)() 1x xy ymymyy ymy ym yy 222222 2
16、22222 2222222 222 (1)()2 1 0. mba bb m ab mab m m a bba ba ab m 又又 a2+b2m20,所以所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2 a2 -a2b2+b2对对 mR 恒成立恒成立. 当当 mR 时，时，a2b2m2最小值为最小值为 0，所以，所以 a2- a2b2+b20. a2a2b2- b2, a20,b0,所以所以 a0, 解得解得 a或或 a, 15 2 15 2 15 2 综合（综合（i）(ii)，a 的取值范围为（的取值范围为（，+）. 15 2 解法二。解法二。 作业作业 1. 作业作业 2【解析解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。 解解:过点过点 B 作作于于 M,M,并设右准线并设右准线 与与 X X 轴的交点为轴的交点为 N N，易知，易知 FN=1.FN=1.由题意由题意, ,故故. .又由又由BMll3FAFB 2 | 3 BM 椭圆的第二定义椭圆的第二定义, ,得得. . 2 22 | 233 BF |2AF 作业作业 3. 作业作业 4. 作业作业 5.5. 8 3