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1、公开课教案第4页共4页17.4 一元二次方程的根与系数的关系授课教师：舒城县晓天镇平田中心学校田先鹏教材出处：义务教育教科书(上海科学技术出版社)17.4 一元二次方程的根与系数的关)授课时间：2017年5月26日教学目标：1、知识目标：(1)掌握一元二次方程根与系数的关系(2)会利用定理求解已知一元二次方程的两根之和及两根之积(3)会解一些简单的问题2、能力目标：(1)经历一元二次方程根与系数关系的探究过程培养学生的观察思考，归纳概括能力(2)在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简 思想3、情感目标：(1)通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信
2、心(2)让学生感受到数学很多有价值的规律， 等待我们去探索，激发学生的学习兴趣和探 究欲望教学重点：根与系数的关系的推导、运用。教学难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。教学方法：发现法，引导法，讲练结合法。教学过程：一、问题情境，导入新课：1.知识回顾：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a为)的求根公式：b - .b2 -4ac . 2 ,X=(b2-4ac - 0)一兀一次方程X1X2X1 +X2X1 . X22.试一试：解下列方程，并填写表格:2a2 _x -7x+6=0()()x2-3x-4=0()()-2,， 一3x -4x+1=0()()2 x2 +3
3、x-2=0()()观察上面的表格，你能得到什么结论？(1)关于x的方程x2 + px +q =0( p、q为常数，p2 -4q之0)的两根x1, x2与系数p, q 之间有什么关系？(2)关于x的方程ax2+bx + c =0(a # 0)的两根x1, x2与系数a, b, c之间又有何关系 呢？你能证明你的猜想吗？二、师生互动，探究新知：1、根与系数关系：(1)关于x的方程x2 + px +q =0( p、q为常数，p2 -4q之0)的两根x1, x2与系数p, q 的关系是：x1 +x2 = -p ,x1x2 = q o引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次
4、项的系 数不为1,根与系数之间又有怎样的关系呢？(2)形如ax2 +bx +c =0(a丰0)的方程，如果b2 -4ac 0 ,两根为x1 , x2,引导学生利 用上面的结论猜想x1, x2与各项系数a、b、c之间有何关系。然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程ax2 bx , c = 0(a=0).a =0对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。证明：,ax2 +bx+c = 0(a # 0),当 b24ac 至 0 时根为:-b 二、b2 -4acx 二2a、n-bb - 4ac设 x1二：2a-b - -
5、 b2 - 4ac MtIx2 =,则2a-b . b -4ac .-b - . b -4ac 2bb Xi ： X2 = 二二一一2a2a2a a-b . b2 - 4ac -b - . b2 - 4ac b2 - (b2 - 4ac) 4ac cX1 x2 -=2=2 =2a2a4a4a a学生思考、归纳并回答下列问题：(1)你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？(2)运用根与系数的关系要注意些什么？2 .用一用：说出下列各方程的两根之和与两根之积： x2 - 2x - 1=0 2x2 - 3x + 2 =0 2x2 - 6x =0 3x2 = 4三、例题讲解及灵活运用：例
6、1、已知方程2x2+kx-4=0的一个根是-4，求它的另一个根及k的值。先让学生求解，再让学生代表介绍解法。教师展示：解法一：设方程的另一个根为 x2.由根与系数的关系，得-4 + x2 = -k/2-4 x2 = -2解得x2 =1/2, k =7答：方程的另一个根是1/2 , k的值是7.解法二：设方程的另一个根为 x2.把x=-4代入方程，得 32-4k-4=0解这方程，得k=7 由根与系数的关系，得-4 +x2=-k/2即-4 +x2 = 7/2 . . x2 =1/2答：方程的另一个根是1/2, k的值是7.从上面的两种解法中引导学生谈谈有什么启示？例2、已知m、n是方程x2+2x-
7、2017=0的两个实数根，求 m2+3m+n的值。分析：因为m、n是原方程的两个实数根，故 m、n都满足原方程，将m代入原方程可 得 m2+2m-2017=0 ,所以 m2+2m=2017 ,而 m2+3m+n=(m2+2m)+ (m+n),利用根与系数 的关系可知m+n=-2 ,从而可求出m2+3m+n的值。(求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式，再整体代入.)四、课堂练习：1、已知方程3x2 19x+m=0的一个根是1,求它的另一个根及 m的值。2、设 x1,x2 是方程 x2-4x+1=0 的两个根，求(1) x1+x2； (2) x12+x
8、22； (3) x12-x22 的值。3 .拓展应用：已知方程 x2+kx+k+2=0的两个实数根是x1、x2,且x12+x22=4，求k的值.五、课堂小结：1、一元二次方程根与系数的关系：若对于ax2 +bx+c = 0(a * 0)的方程，若b2 4ac之0,两根为 Xi , X2 ,则有 Xi +X2 = b- , Xi X2 =-aa2、运用根与系数的关系时必须注意：(1) 一元二次方程必须化为一般形式 aX2+bX+c=0 (a4 ); (2) b2-4ac 冷.3、灵活运用根与系数的关系解决相关问题.六、课后作业：教材P40页习题17.4第2、3题。板书设计：一元二次方程根与系数的
9、关系 221、对于aX +bX +c = 0(a o 0)的方程，右b - 4ac之0 ,两根为Xi, X2。那么 X1 +x2 =, acX1 X2 =一 a2、根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程，即a#0。(2)方程为一般形式。即形如： aX2+bX + c=0。(3)判别式大于等于零，即b2 -4ac 0o教学反思：1、一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化 了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具， 必须熟记，为进一步使用打下基础。2.以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学 生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、 归纳的能力及推理论证的能力。3. 一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空、 选择、解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考 试的热点，它是方程理论的重要组成部分。4、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路, 优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得 数学活动经验，教师应注意引导。