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1、学习-好资料高考数学（文）冲刺专题复习之平面向量一、知识点梳理（一）平面向量的概念及线性运算1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(与AB共线的单位向量是AB)|AB|(4)平行向量（又叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ab，规定零向量和任。何向量平行（共线）提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为
2、有0)；三点A、B、C共线AB、AC共线；(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量，相等向量有传递性(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)三角形法则运算律加法求两个向量和的运算减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差平行四边形法则三角形法则(1)交换律：abba.(2)结合律：ab)ca(bc)aba(b)（1）定义：（加法：（1）向量加法的三角形法则：AB+BC=AC；其要求是：）前一向量的终点与后一向量的起点的重合，（）由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。（2）向量加法的平行四边形法则：其要求是：（）把两个向量的起点平移到同一点
3、，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，（）向量的和为这两邻边所夹的对角线。（3）由有向线段首尾顺次相接所围成的封闭图形结果为0。即：）AB+BC+CA=0（三角形三边的向量和）（）AA+AA+AA+AA=0。一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量11223n起点指向最后一个向量终点的向量减法：OA-OB=BA，其要求是：（1）两个向量的起点为同一点，（2）由后一个向量的终点指一向前向量(2)坐标运算：若a=（x,y）,b=（x,y）则ab=（xx,yy）11221212（3）几何表示：平行四边形法则、三角形法则更多精品文档设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y
4、2y1)，|AB|(x2x1)2(y2y1)2.在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OAa，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量aOA(x，y)当平面向量OA平行移动到O1A1时，向量不变，即O1A1OA(x，y)，但O1A1的起点O1和终点A1的坐标都发生了学习-好资料以向量AB=a、AD=b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量AC=a+b,BD=ba,DB=ab且有ababa+b3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如
5、下：|a|a|；当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0.(2)运算律：设，是两个实数，则(a)()a；()aaa；(ab)ab.(3)若a=（x,y），则la=（lx,ly）11114共线向量定理(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数l，使得b=la(2)若a=（x,y）,b=（x,y）则abxy-xy=011221221注意：(1)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量
6、所在直线平行，必须说明这两条直线不重合（二）平面向量的基本定理及其坐标表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则2ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|x21y1.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0
7、，当且仅当x1y2x2y10时，向量a，b共线注意：（1）向量坐标与点的坐标的区别：变化（2）误区更多精品文档大小的信息2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成11，因为x2，y2有可能等于0，所已知两个非零向量a和b(如图)，作OAa，OBb，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角，当0学习-好资料1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有xyx2y2以应表示为x1y2x2y10.（三）平面向量的数量积1两个向量的夹角时，a与b同向；当180时，a与b反向；如果a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作a
8、b.2两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos，其中bcosq称为向量b在a方向上的投影。规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.3向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的数量积4向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(1)eaae|a|cos；(2)abab=0（a，b为非零向量）；(3)当a与b同向时，ab|a|b|，特别的，aa|a|2或者a=aa=x2+y2；11(4)cos；得|ab|a|b|当a
9、与b反向时，ab|a|b|；ba且ba当q为锐角时，ab0，且a、不同向，ab0是q为锐角的必要非充分条件（因a和b的夹角可能为0）；当q为钝角时，b0，a、不反向，b0是q为钝角的必要非充分条件（因a和b的夹角可能为180）；ab|a|b|(5)|ab|a|b|.5向量数量积的运算律(1)abba；(2)ab(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc.提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不
10、满足结合律，即a(bc)(ab)c，为什么？6平面向量数量积的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a与b的夹角为，则更多精品文档(1)abx1x2y1y2；(2)|a|x21y21；(3)cosa，bx1x2y1y2学习-好资料1x21y2x22y2；(4)abab0x1x2y1y20.7若A(x1，y1)，B(x2，y2)，ABa，则|a|(x1x2)2(y1y2)2(平面内两点间的距离公式)(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，AB与BC的夹角应为120，而不是60.注意：(1)若a，b，c是实数，则abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a
11、，b，c若满足abac(a0)，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量(2)数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(ab)c与a(bc)不一定相等（三）平面向量的应用1向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：abab
12、0x1x2y1y20.(3)求夹角问题，利用夹角公式cosx1x22y22y2ab|a|b|x1x2y1y212(为a与b的夹角)2平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积即WFs|F|s|cos(为F与s的夹角)一个手段实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与
13、逻辑思维的结合(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题6.主要思想与方法：本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。归纳总结：1、平面向量的坐标运算若=（x1,y1），=（x2,y2）则=（x1+x2,y1+y2），=（x1-x2,y1-y2），若a=（x,y），R，则a=（x,y），坐标向量的大小
14、|a|=两向量平行（共线）的充要条件：若a=（x1,y1），b=（x2,y2），a/ba=lb(ab)2=(|a|b|)2更多精品文档学习-好资料xy-yx01212若A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=（x2-x1,y2-y1）距离公式：|AB|=（）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y2。|向量垂直的充要条件：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则abab=0|a+b|=a-b|x1x2+y1y2=0.AB+特别地(ABACAC)(ABAB-ACAC)向量夹角公式的坐标表示：两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y
15、2)，a、b的夹角为，则cos=xx+yy1212+yx2+y2x1122212、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）|a|-|b|ab|a|+|b|，特别地：bb当a、同向或有0|a+b|=|a|+|b|a|-|b|=|a-b|；当a、反向或有0|a-b|=|a|+|b|a|-|b|=|a+b|；b当a、不共线|a|-|b|ab|a|+|b|(这些和实数比较类似).（3）在DABC中：A(x,y),B(x,y),C(x,y)，则其重心的坐标为G1x+x+xy+y+y；33若11223323,123（3）若P分有向线段PP所成的比为l，点M为
16、平面内的任一点，则MP=MP+lMP2，特别地P为PP的1+lPG=1(PA+PB+PC)G为DABC的重心，特别地PA+PB+PC=0P为DABC的重心；3PAPB=PBPC=PCPAP为DABC的垂心；向量l(AB+AC)(l0)所在直线过DABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；|AB|AC|AB|PC+|BC|PA+|CA|PB=0PDABC的内心；122；中点MP=MP+MP12（4）向量PA、PB、PC中三终点A、B、C共线存在实数a、b使得PA=aPB+bPC且a+b=1.二、考点、题型及方法考点1平面向量的线性运算与坐标运算（模长、平行、垂直、夹角、投影等问题）1、（上海）
17、已知向量a=(2,-3),b=(3,l)，若a/b，则l等于()（A）292.（B）-2.（C）-.（D）-323更多精品文档学习-好资料解析：由题意得2l-（-3）3=0，所以l=-92。2、（湖南卷文）在DABC中，AB=3，AC=2，BC=10，则ABAC=()A-3223B-CD2332A(,)B(-,-)C(,)D(-,-)77113【解析】由余弦定理得cosCAB=,所以ABAC=32=,选.4423、（浙江卷文）已知向量a=(1,2)，b=(2,-3)若向量c满足(c+a)/b，c(a+b)，则c=（D）777777933939934、（江西卷文）已知向量a=(3,1)，b=(1
18、,3)，c=(k,2)，若(a-c)b则k=答案：0【解析】因为a-c=(3-k,-1),所以k=0.25、(江苏)已知e1，e2是夹角为3的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则实数k的值为_221解析由题意知：ab(e12e2)(ke1e2)0，即ke2e1e22ke1e22e20，即kcos32kcos3520，化简可求得k4.6、（浙江卷）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)(b-c)=0,则c的最大值是（A）1（B）2（C）2（D）22解析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。|a|=|b|=1,ab=0,展开(a-c)(b-
19、c)=0|c|2=c(a+b)=|c|a+b|cosq,|c|=|a+b|cosq=2cosq,则c的最大值是2;或者利用数形结合,a，b对应的点A,B在圆x2+y2=1上,c对应的点C在圆x2+y2=2上即可.7、(广东)若向量a，b，c满足ab且ac，则c(a2b)()A4B3C2D0解析由ab及ac，得bc，则c(a2b)ca2cb0.故选D.答案D8、（全国卷）已知向量a=(2,1),ab=10,|a+b|=52，则|b|=（）A.5B.10C.5D.25|解：50=|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=5+20+|b|2b|=5。故选C更多精品文档p1：|ab|10，3；p2：|
20、ab|13，；p3：|ab|10，3；p4：|ab|13，.其中的真命题是()解析由|ab|a22abb222cos1，得22cos1，cos，0.解析依题意得(a2b)2a24b24ab5423，则|a2b|3，故选B.A4B.6C.4D.学习-好资料9、（辽宁卷）平面向量a与b的夹角为600，a=(2,0)，b=1则a+2b=（A）3(B)23(C)4(D)12【解析】由已知|a|2,|a2b|2a24ab4b24421cos60412a+2b=23选B10、(新课标全国)已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：22Ap1，p4Bp1，p3Cp2，p3Dp2，p412231p由|
21、ab|a22abb222cos1，得22cos1，cos2，3.p1，4正确答案A111、(全国文)设向量a，b满足|a|b|1，ab2，则|a2b|()A.2B.3C.5D.7112、(湖北文)已知向量a(1,2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于()34解析2ab(3,3)，ab(0,3)，则cos2ab，ab(2ab)(ab)92323|2ab|ab|2，故夹角为4，选C.13、（宁夏）若a=2,b=2，且a(-b)a，则a与b的夹角是（）Ap6Bp4Cp3Dp2正确解法:Qa，b的夹角为钝角,ab=x(-3x)+2x2=-3x2+4x0B14、若向量a=(x,2x)，b=(-3x
22、,2)，且a，b的夹角为钝角，则x的取值范围是_.rvrrrrrrrv错误分析：只由a,b的夹角为钝角得到ab0,而忽视了ab0不是a,b夹角为钝角的充要条件,因为a,brr的夹角为180o时也有ab0,从而扩大x的范围,导致错误.rr更多精品文档学习-好资料解得x43(1)rr1由(1),(2)得x的范围是-,-U-,0U,+答案:-,-U-,0U,+.训练2已知a=(l,2l)，b=(3l,2)，如果a与b的夹角为锐角，则l的取值范围是_又由a,b共线且反向可得x=-(2)3114333114333训练1设平面向量a=(2，1)，b=(，1)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是（）1A、
23、(-,2)(2,+)B、(2,+)211C、(-,+)D、(-,-)22错因：忽视使用ab0时，其中包含了两向量反向的情况，正解：A41（答：l0且l）；3315.（浙江卷文）已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b(a-b)=0，则|b|的取值范围是16、17、a2+a=a3-a2a2-2a-1=0,a=1+2(舍负).18.（陕西卷文）关于平面向量a，b，c有下列三个命题：)2若ab=ac，则b=c若a=(1，k，b=(-，6)，ab，则k=-3非零向量a和b满足|a=|b=|a-b，则a与a+b的夹角为60其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）=k=-3解：ab=aca(b-c)=0
24、，向量a与b-c垂直abb=la更多精品文档1k-26学习-好资料|a|=|b|=|a-b|a,b,a-b构成等边三角形，a与a+b的夹角应为30所以真命题只有。考点2向量的数乘的几何意义1.（江西卷文）如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：AAC+AF=2BCEDBAD=2AB+2AFCACAD=ADABFCD(ADAF)EF=AD(AFEF)AB其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）【解析】AC+AF=AC+CD=AD=2BC,A对取AD的中点O,则AD=2AO=2AB+AF,6=3,而ADAF=21cos3=1,C错B对设AB=1,则ACAD=32cospp3=1=(AF)2
25、,D对真命题的代号是A,B,D又ABAD=12cosp2、（辽宁卷）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC+CB=0，则OC=A2OA-OBB-OA+2OBC233D-OA+11OA-OB323OB解析：本小题主要考查平面向量的基本定理。依题OC=OB+BC=OB+2AC=OB+2(OC-OA).OC=2OA-OB.答案：A3、在DABC中，AB=c,AC=b，若点D满足BD=2DC，则AD=（）A.21522112b+cB.c-bC.b-cD.b+c33333333AD=AB+BD=AB+22【解法一】BD=2DCBD=BC321212BC=AB+(AC-AB)=AB
26、+AC=c+b333333CDAEB4.(山东卷)设P是ABC所在平面内的一点，BC+BA=2BP，则（）A.PA+PB=0B.PC+PA=0C.PB+PC=0D.PA+PB+PC=0更多精品文档DC学习-好资料源头学子AB【解析】:因为BC+BA=2BP，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。答案：B。【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，3)5、（湖北文）设a=(4，a在b上的投影为522|，b在x轴上的投影为2，且|b14，则b为（）B2，-C-2，278)D(2，A(214)27训练（1）已知a=5,=60，求a在b方向上的投影（2）已知ab=3,a=5，求b在a方
27、向上的投影6、（安徽文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或R，则+=_。=+，其中，.w.w.k.s.5.u.c.o.m1124【解析】设BC=b、BA=a则AF=b-a,AE=b-a,AC=b-a代入条件得l=u=l+u=【答2233案】4/37.（天津卷）如图，在平行四边形ABCD中，AC=(1,2),BD=(-3,2)，则ADAC=.解析：令AB=a，AD=b，则a+b=(1,2)-a+b=(-3,2)a=(2,0),b=(-1,2)所以ADAC=b(a+b)=3.，c8、（安徽）在四面体O-ABC中，OA=aOB=b，OC=，D为BC的中点，E为AD的中点，则O
28、E=111a+b+c244（用a，b，c表示）9、（湖北）5已知DABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m使得AB+AC=mAM成立，则m=-A2B3C4D5更多精品文档学习-好资料uuuruuur10、（湖南）在RtDABC中，C=90AC=4，则ABAC等于A、-16B、-8C、8D、16（11、四川文）6）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2=16，AB+AC=AB-AC，则AM=（A）8（B）4（C）2（D）1解析：由BC216，得|BC|4AB+AC=AB-AC=|BC|4而AB+AC=2AM故AM=2答案：C12若D为DABC的边BC的中点，DABC所在平面内有一点P，满足PA+BP+CP=0，设则l的值为_（答：2）考点3平面向量的综合运用1、平面向量与线性规划|AP|PD|=l，xy2，(福建卷)已知O是坐标原点，点A(1,1)若点M(x，y)为平面区域x1，y2上的一个动点，则OAOM的取值范围是()A1,0B0,1C0,2D1,2更多精品文档学习-好资料