《2020版第3章第6节正弦定理和余弦定理.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版第3章第6节正弦定理和余弦定理.doc（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第六节正弦定理和余弦定理考纲传真掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.1.正弦定理和余弦定理疋理正弦定理余弦定理公式a 一bCor /r-A 八 rQ 林 士立冋a2二b2 + c2 2bc cos A; b2二c2+ a2 2ca cos B; c2二 a2 + b2 2ab cos Csin A二sin B二sin2R.（R 肚ABC 外接圆半径）公式 变 形(1) a二2Rsin A, b二2Rsin B, c二2Rsin C;(2) a : b : c二 sin A : sin B : sin C;abc(3) sin A二 2R，sin B二2R，sin C二2R
2、b2 + c2 a2 cos A 二壶；c2+ a2 b2cos B 二；a2+ b2 c2cos C 二2.在 ABC中，已知a, b和A时，解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图 形关系式a= bs in Absin Av av ba ba b解 的 个 数一解两解一解一解3.二角形常用面积公式1 亠(1) S= 2a ha(ha表示边a上的咼);1 1 1(2) S= qabsi n C = 2acsin_B = 2bcsin A ；1(3) S= qr(a+ b+ c)(r为内切圆半径).常用结论1. 三角形内角和定理在厶ABC 中，A+ B+ C= n;变形:2. 三角形中的三角函数
3、关系(1) sin(A+ B) = sin C; (2)cos(A+ B)= cos C;A+B cA+B c(2) sin = cos 2 ； (4)cos ? = sin p3. 在厶ABC 中，sin Asin B? AB? ab,cosA cos B? Av B? av b.4. 三角形射影定理a= bcos C+ ccos Bb = acos C+ ccos Ac= acos B+ bcos A5. 三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.基础自测1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 在厶ABC 中，若 AB,则必有 sin
4、Asin B.()(2) 在厶ABC中，若b2 + c2&2,则厶ABC为锐角三角形.()(3) 在厶 ABC 中，若 A= 60 a = 4寸3, b = 4迄，则 B = 45或 135)aa+ b c(4) 在厶 ABC 中，=.()vsin A sin A+ sin B sin C 解析(1)正确.AB? ab? sin Asin B.b2 + c2 a2(2)错误.由cos A=0知，A为锐角，但 ABC不一定是锐角三角形.错误.由bv a知，Bv A.(4) 正确.利用 a = 2Rsin A，b= 2Rsin B，c= 2Rsin C,可知结论正确.答案(1)2X X V2. (
5、教材改编)在厶ABC中，若sin2A+ sin2Bvsin2C,则厶ABC的形状是()A .锐角三角形B .直角三角形abcr cC 由正弦定理，得 2R= sin A, 2R= sin B, 2R= sinC,代入得到 a2 + b2vc2,由余弦定理得cos C =a2 + b2 c22abv0,所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形3. AABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知a= 5, c= 2, cos2 A= 3,则 b=（）A. .2B. 3C. 2D. 32D 由余弦定理得5= b2 + 4 2X bX 2X3,1解得b= 3或b= 3（舍去），故选D.4.
6、 在厶 ABC 中，A=45 C = 30 c= 6,则 a 等于（）A. 3 .2 B . 6 2C. 2 6 D. 3,6由正弦定理得a _ csin A= sin C,所以a =csin A 6X sin 45sin C = sin 30 =6 2.5. （教材改编）在非钝角厶ABC中，2bsin A= 3a，则角B为（）冗C 由 2bsin A= , 3a 得 2sin Bsin A= , 3sin A. sin，又B是锐角或直角.nB = 3.利用正、余弦定理解三角形c 气5【例1】(1)(2018全国卷儿)在厶ABC中，cos -=亏,BC= 1, AC= 5,则AB=()A. 4
7、 ；2 B. 30 C. 29 D. 2 5(2)(2019青岛模拟)在厶ABC中，角A, B, C的对边分别是a, b, c,已知b = c, a2= 2b2(1 - sin A)，贝U A 等于()3 nnnnA忆B.3C.4d.6、 C 並、o C / V(1 )A C(1)因为cos 2 = 5，所以 cos C = 2cos 21 = 2 x ()13=5于是，在 ABC 中，由余弦定理得 AB2= AC2 + BC2 2ACX BCX cos C =52+ 12 2X 5X 1Xw 32,所以 AB= 4.2故选 A.(2)在厶ABC 中，由余弦定理得 a2= b2 + c2 2b
8、ccos A= 2b2 2b2cos A.又 a= 2b2(1 sin A),所以 sin A= cos A,即卩 tan A= 1,n又A是三角形内角，则A= 4,故选C.规律方法应用正弦、余弦定理的解题技巧1求边：利用公式I .或其他相应变形公式求sm d sin A sm A解2求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A二B bam A . c&in A ,、,、，亠Tsin B -，创口 C =或其他相应变形公式求解baa3已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解4灵活利用式子的特点转化：如出现a2 + b2 c2=入a形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定
9、理(1)(2019郑州模拟)已知a，b，c 分别为 ABC三个内角 A，B，C 的对边，且(b c)(sin B+ sin C) = (a. 3c)sin A， 则角B的大小为()A. 30B. 45 C. 60 D. 120(2)在厶ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 a= .7，b= 2, A =60,贝U sin B =，c=.A 亨 3 由正弦定理s= sBsnC及(b ( B+ sin C)=(a*j3c)sin A 得(b c)(b+ c)= (a 3c)a, 即 b2 c2 = a2 3ac, 二 a2 + c22a2 + c2 b23b = T3ac.又 T c
10、os B=： cos B = _2 , ； B= 30.bsi n A2因为a=Q7, b = 2, A= 60所以由正弦定理得sin B = a = 百 亠孚.由余弦定理a2 = b2 + c2 2bccos A可得c2 2c 3= 0,所以c= 3.与三角形面积有关的问题【例2】(1)(2018全国卷I) ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b,c.已知 bsin C+ csin B = 4asin Bsin C,b2 + c2 a2 = 8,则厶 ABC 的面积为.由 bsin C + csin B=4asin Bsin C 得 sinBsin C + sin Csin B= 4
11、sin Asin.2. 2 2Bsin C,因为 sin Bsin Cm0,所以 sin A=舟.因为 b2 + c2 a2= 8,cos A= 一2：c & ,8逅11 813 123所以 bc=，所以 Saabc= bcsin A=2亏 x2 =(2)(2017全国卷n ) ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知sin(A + C) = 8sin2B. 求cos B; 若a+ c= 6,AABC的面积为2,求b.解由题设及A+ B+ C= n得sin B = 8sin2B,故 sin B= 4(1 cosB).上式两边平方，整理得 17cosB 32cos B+ 15
12、= 0,15解得 cos B= 1(舍去)，或 cos B = 17.故 cos B= If.158)由 cos B= 得 sin B =f,”14故 Sabc = 2acsin B= ac.又 SABC = 2,则 ac=等.由余弦定理及 a+ c= 6 得 b2 = a2 + c2 2accos B= (a+ 2 2ac(1 + cos B)= 36 2X 少 1+17 = 4.所以b=2.规律方法三角形面积公式的应用方法：1对于面积公式S二亠仏屁in C二亠昭in B - -bcsin 4，一般是已知哪一个jfar角就使用哪一个公式.2与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边
13、和角的转化(1)(2018全国卷 川) ABC的内一a2+ b2-c2a + b 一 c冗2 2 2absin C,所以a一4- = absin C.由余弦定理 a2 + b2角A, B, C的对边分别为a, b, 5若厶ABC的面积为 4，则C =()c = 2abcos C, 得 2abcos C = 2absin C, 即卩 cos C = sin C,所以在 ABC 中，Cn=4故选c.(2)在厶ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知b+ c= 2acosB.证明：A= 2B;若 ABC的面积S= ，求角A的大小.解证明：由 b+ c= 2acos B 得 si
14、n B + sin C = 2sin Acos B.即 2sin Acos B = sin B+ sin(A+ B)=sin B + sin Acos B + cos Asin B ；所以 sin(A B) = sin B.又 A, B (0,力，故 0vA Bv n,所以 B+ (A B) = n或 A B= B,所以A= n舍去)或A= 2B,所以A= 2B.2i2由S=牙得qabsin C = 4，1 1sin Bsi n C = qsin A=s in 2B = sin Bcos B.由 sin Bm 0 得 sin C = cos B.n又 B, C (0, n,所以 c=2圮.当
15、B+ C = 2时，A=2，当 C B = 2时，A=4，综上知A=或A= 4.正余弦定理的简单应用?考法1判断三角形的形状【例3】（1）在厶ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acos A =bcos B,则 ABC的形状为（）A 等腰三角形B 直角三角形B. 等腰直角三角形D 等腰三角形或直角三角形（2019广州模拟）在厶ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,且b2 + c2 = a2 + be，若 sin B sin C= sin2A，则 ABC 的形状是()A 等腰三角形B 直角三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形(1)D (2)C 因为 acos A= bc
16、os B,由正弦定理得 sin Acos A= sin Bcos B,n即 sin 2A= sin 2B,所以 2A= 2B 或 2A+ 2B= n,即 A= B 或 A+ B= ，所以 ABC为等腰三角形或直角三角形，故选 D.由 b2 + c2 = a2+ bc得 cos A=nT A (0， n， A= 3.由 sin B sin C= sin2A 得 bc= a2，代入 b2 + c2= a2+ bc 得(b c)2 = 0，即 b = c，从而 ABC是等边三角形，故选 C.?考法2求解几何计算问题n【例4】(2019哈尔滨模拟)如图，在 ABC中，B = 3, AB = 8,点D在
17、边1BC 上，且 CD= 2, cos/ ADC = 7.求 sin/BAD;求BD, AC的长.解在厶ADC中，t cos/ ADC,贝U sin/ BAD _ sin/ ADC _ 1 cos/ ADC _sin(/ ADC B)=sin/ ADC cosB cos/ ADCsinB_ 473x 21x 启器(2)在厶ABD中，由正弦定理得8X墮AB sin/ BAD 14BD_ sin/ ADB _ 3.1在厶ABC中，由余弦定理得AC2 _ AB2 + CB2 2AB BCcos B _ 82 + 52 12X 8X 5X 二49,即卩 AC = 7.?考法3正、余弦定理与三角函数的交
18、汇问题【例5】(2018天津高考)在厶ABC中，内角A , B , C所对的边分别为a ,nb, c, 已知 bsin A= acos B6(1)求角B的大小;设 a_2 , c_3,求 b和 sin(2A B)的值.ab解(1)在厶ABC中，由正弦定理snA_ sinB，可得bs in A_ as in B,又由nnni-bsi n A_ acos B 6，得 as in B_ acos B 6，即 sin B_ cos B石，可得 tan B_ . 3.n3.又因为B (0, n ,可得B = j.n222(2)在厶ABC 中,由余弦定理及 a_ 2 , c_3 , B_3,有 b2_a2
19、 + c2 2accos B_ 7 ,故 b_ 7.rn一/口v3由 bsin A_ acos B 6，可得 sin A_4j321因此 sin 2A= 2sin Acos A= 7， cos 2A= 2cosA 1= 7.所以，sin(2A B) = sin 2Acos B cos 2Asin B =2723=.规律方法平面几何中解三角形问题的求解思路1把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正 弦、余弦定理求解；2寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.易错警示：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的 边角关系、平行四边形的一些性质，要把
20、这些性质与正弦、余弦定理有机结合， 才能顺利解决问题如图，在 ABC中，D是BC边上的点，AD平分/ BAC,A ABD面积是 ADC面积的2倍.求s；求sin C；若AD = 1, DC二岂2，求BD和AC的长.1 1解(1)Sbd = 2AB ADsin/ BAD, Sadc = -AC ADsin/CAD.因为 Sabd = 2Sadc , / BAD = / CAD,所以 AB= 2AC.由正弦定理可得sin B _ AC_ 1 sin C = AB _ 2.(2)因为 SABD : SADC _ BD : DC ,所以BD _ 2.在厶ABD和厶ADC中，由余弦定理，知AB2_AD2
21、+ BD2 2AD BDcos/ADB,AC2_ AD2+ DC2 2AD DCcos/ ADC.故 AB2 + 2AC2_ 3AD2 + BD2+ 2DC2_ 6,又由知AB_ 2AC,所以解得AC_ 1.1. (2017全国卷I) ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知sin B+ sin A(sin C cos C)= 0, a= 2, c= . 2,贝U C =()nD.3nB.6B 因为 a = 2, c= 2,所以由正弦定理可知,2 = sin A_ sin C故 sin A= 2sin C.又 B= n (A+ C),故 sin B+ sin A(sin C
22、cos C)=si n(A+ C) + sin Asi n C sin Acos C=sin Acos C+ cos Asi n C+ sin As in C sin Acos C=(sin A+ cos A)s in C=0.又C ABC的内角,故 sin Cm 0,则 sin A+ cos A= 0, 即卩 tan A= 1.3 n又 A (0, n)所以 A = -4.1J2 J2 1从而 sin C=-qSin A=p由A= 知C为锐角，故C=石，故选B.2. (2017全国卷n ) ABC的内角A, B, C的对边分别为a,B = acos C + ccos A,贝U B =.n3
23、由 2bcos B = acos C + ccos A 及正弦定理, 得 2sin Bcos B = sin Acos C + sin Ccos A. 2sin Bcos B= si n(A+ C).又 A+ B+ C= n, A+ C= n B.2sin Bcos B= sin( n B) = sin B. 又 sin Bm 0,. cos B = |. Bf45,cos C= 15-, a= 1,贝U b=b, c, 若 2bcosb, c, 若 cos A3. （2016全国卷n ） ABC的内角A, B, C的对边分别为a,214513 在 ABC 中，/ cos A=5, cos C
24、=乜, sin A= 3, sin C =常， sin B = sin(A+ C)35412 63=sin Acos C+ cos Asi n C=5X 3+ 5X 后=丽631 x又 . a b . asin B 65 21 又 V sin A= sin B, b= sin A 二 3 二 13.b, c.已知C =4. （2017全国卷川） ABC的内角A, B, C的对边分别为a,75 如图，由正弦定理，得s爲o SnlB，A sin又 cb,二 B = 45, A= 180 60 45 = 75.5. (2016全国卷I) ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知2cosC(acos B+ bcos A)= g求c；(2)若 c=ABC的面积为 ，求厶ABC的周长.解(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos B+ sin Bcos A) = sin C,即 2cosCsin(A+ B)= sin C,故 2sin Ccos C = sin C.1n可得cos C = Q,所以C = 3.(2)由已知得absin C= 竽.n又C= 3,所以ab= 6.由已知及余弦定理得a2 + b2 2abcos C = 7,故 a2+ b2= 13,从而(a+ b)2 = 25.所以 ABC的周长为5+, 7.因为 avc,故 cos A=7.