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1、七年级数学三角形精讲知识点归纳总结 1. 三角形的三边之间的关系 三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。 2. 三角形的内角和 三角形三个内角的和等于180。 3. 三角形全等的条件 （1）三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS”。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”。 4. 全等三角形的性质 全等三角形的对应角相等，对应边相等。
2、 5. 三角形的外角性质 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。专题总复习（一） 全等三角形、轴对称一、复习目标：1、理解全等三角形概念及全等多边形的概念.2、掌握并会运用三角形全等的判定和性质，能应用三角形的全等解决一些实际问题.3、通过复习，能够应用所学知识解决一些实际问题，提高学生对空间构造的思考能力.二、重难点分析：1、全等三角形的性质与判定；2、全等三角形的性质、判定与解决实际生活问题.三、知识点梳理：知识点一：全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.知识点二：全等三角形的性质. （1）全等三角形的对应边相等. （2）全等三角形的对应角相等.知识点三：判定两个三
3、角形全等的方法. （1）SSS （2）SAS （3）ASA （4）AAS （5）HL（只对直角三形来说）知识点四：寻找全等三形对应边、对应角的规律.全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.有对顶角的，对顶角是对应角.全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）.知识点五：找全等三角形的方法.（1）一般来说，要证明相等的两条线段（或两个角），可以从结论出发，看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中.（常用的办法）（2）可以从已知
4、条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等.（3）可以从已知条件和结论综合考虑，看它们能否一同确定哪两个三角形全等.（4）如无法证证明全等时，可考虑作辅助线的方法，构造成全等三角形.知识点六：角平分线的性质及判定.（1）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）角平分线的判定：在角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上.（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三角形三边距离相等.知识点七：证明线段相等的方法.（重点）（1）中点性质（中位线、中线、垂直平分线）（2）证明两个三角形全等，则对应边相等（3）借助中间线段相等.知识点八：证明角相等的方法.（重
5、点）（1）对顶角相等；（2）同角或等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，内错角相等、同位角相等；（4）角平分线的定义；（5）垂直的定义；（6）全等三角形的对应角相等；（7）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和.知识点九：全等三角形中几个重要的结论.（1）全等三角形对应角的平分线相等；（2）全等三角形对应边上的中线相等；（3）全等三角形对应边上的高相等.知识点十：三角形中常见辅助线的作法.（重难点）（1）延长中线构造全等三角形（倍长线段法）；（2）引平行线构造全等三角形；（3）作垂直线段（或高）；（4）取长补短法（截取法）.【典型例题】 例1. 已知：如图，ABC中，ABAC，D、E、F分
6、别在AB、BC、CA上，且BDCE，DEFB，图中是否存在和BDE全等的三角形？说明理由。 解：CEFBDE 理由：ABAC，BC 又DECBBDE DEFCEFBBDE DEFB，CEFBDE CEFBDE（ASA） 例2. 已知：ABCD，DEAC，BFAC，垂足分别为E、F，BFDE，则ABCD，为什么？ 解：理由：DEAC，BFAC DECBFA90 在RtDEC和RtBFA中 RtDECRtBFA（HL） DCEBAF CDAB 例3. 用两个全等的等边ABC和ACD拼成一个四边形ABCD，把一个含60角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC
7、重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转，问：当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于E、F时，通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论。 解：结论：BECF 理由：ABC、ACD为等边三角形 ABAC，BACF60，BAC60 又1EAC60，2EAC60 12 ABEACF（ASA） BECF 例4. 如图，AD是ABC的角平分线，AE是BC边上的高，B20，C40，求DAE的度数。 解：BACBC180 又B20，C40 BAC1802040120 AD平分BAC AEBC，AEC90 又C40 EAC904050 DAEDACEAC605010 例5. 如图
8、，已知ACBD，EA、EB分别平分CAB、DBA，CD过点E，且AC3cm，BD5cm，你能利用全等三角形有关知识测出AB的长吗？ 解：如图所示，在AB上截取AFAC，连结EF AE是CAB平分线 CAEBAE ACAF，AEAE ACEAFE CEFA ACBD，CD180 AFEEFB180 DEFB BE平分DBA，DBEFBE BEBE，DBEFBE BFBD ABACBD AC3cm，BD5cm AB8cm全等三角形的有关证明（提高篇）关键：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相
9、等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。要说明两边相等，两角相等，最常用的方法就是说明三角形全等直角三角形的全等问题：直角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点！直角三角形有关的全等问题中，除了特用的HL定理之外，在条件的寻找上首先就有了一组直角相等；而多个直角，多个垂直的图形组合在一块时，就很容易利用“同（等）角的余角相等”来得到其他的角相等。图1例一：图1，已知DOBC，OC=OA，OB=OD，问CD=AB吗？分析：此图形可看作绕O点旋转得到，由垂直得到一组直角，把结合其他两组边，很容易找到他们所在的三角形。变形1：请说明BCE是直角三角形。（利用全等三角形的对应角相等，
10、以及直角三角形的两个锐角互余这两个性质进行代换和转换）解：易得AOBCOD （此过程较简单，略过不描述） B=D（全等三角形的对应角相等） 又 OAB=DAE（对顶角相等）而在RtAOB中，OAB+B=90（直角三角形的两个锐角互余）AFBCED DAE+D=90（等量代换） 在ADE中，DEA=180（DAE+D）=90（三角形内角和定理） BEC=90（补角性质） 故BCE是直角三角形变形2：把两个含有45角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F求证：AFBE 分析：此图中要说明AFBE，与上题中BCE是直角三角形是一样的意思，只需要说明BFD=90
11、即可变形3：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结CD （彩图为提示）（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；图2图1（2）证明：CDBE图2ABCEHD变形4、如图2，在ABC中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD，问BHDACD，为什么？分析：此题实际上就是变形1的反问，已经存在一组直角（由垂直得到），一组相等的边（已知），再利用“同（等）角的余角相等”来得到第二组角相等！图3ACMEFBD变形5：如图3， 已知EDAB，EFBC，BD=EF，问BM=ME吗？说明理由。图4变形6：如图4，
12、AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CDAD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE=AD，此时他测得DE=2米，于是他认定DB的高度也为2米，你觉得对吗?请说明理由。图5例二：如图1，已知，ACCE，AC=CE， ABC=CDE=90，问BD=AB+ED吗?分析 ：（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90角，得到一组等量关系；图6（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；（3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起
13、：如如图6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到AC=BD。解答过程：得到ABCCDE之后，可得到BC=DE，AB=CD BC+CD=DE+AB（等式性质）图7 即：BD=AB+DE变形1：如图7， 如果ABCCDE，请说明AC与CE的关系。注意：两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）位置关系（垂直，平行之类）变形2：如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FAAE交CB的延长线于点F， 求证：DE=BF分析：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。变形3：如图8，在ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过点A的直线，BDAE，CEAE
14、，图8如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。分析 ：说明相等的边所在的三角形全等，题中“AB=AC”，发现：AB在RtABD中，AC在RtCAE中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt全等（如图9）于是：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角，再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。 解：由题意可得：在RtABD中，1+ABD=90（直角三角形的两个锐角互余）1图9 又 BAC=90（已知）， 即1+CAE=90 ABD=CAE（等角的余角相等） 故在ABD与CAE中， BDA=AEC=90（垂直定义）ABD=CAE（已求） AB=AC（已知） ABDCAE（
15、AAS） AE=BD=7，AD=EC=3 （全等三角形的对应边相等） DE=AEAD=73=4变形4：在ABC中，ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E。（1）当直线MN绕点C旋转到图9的位置时，ADCCEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？（2）当直线MN绕点C旋转到图10的位置时， DE =AD-BE。说说你的理由。图11（3）当直线MN绕点C旋转到图11的位置时，试问DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。图12图1012等腰三角形、等边三角形的全等问题：必备知识：如右图，由1=2，可得CBE=DBA；反之，也成立。例三
16、：已知在ABC中，AB=AC，在ADE中，AD=AE，且1=2，请问BD=CE吗？分析这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边，分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边， 题目中所给的ABC与ADE是用来干扰你的思路的，应该去想如何把两组相等的边联系到一起，加上所求的“BD=CE”，你会发现BD在ABD中，CE在ACE中，这样一来，“AB=AC”可以理解为：AB在ABD中，AC在ACE中，它们是一组对应边； “AD=AE”可以理解为：AD在ABD中，AE在ACE中，它们是一组对应边；21图13所以只需要说明它们的夹角相等即可。关键还是在于：说明“相等的边（角）所
17、在的三角形全等” 解： 1=2（已知） 1+CAD=2+CAD（等式性质） 即： BAD=CAE 在ABD与ACE中， AB=AC（已知） BAD=CAE（已求） AD=AE21图14 ABDACE（SAS） BD=CE（全等三角形的对应边相等）变形1：如图13，已知BAC=DAE，1=2，BD=CE，请说明ABDACE.吗？为什么？分析：例三是两组边相等，放入一组三角形中，利用SAS说明全等， 此题是两组角相等，那么该如何做呢?变形2：过点A分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD，CE，请说明它们相等。图15分析：此题实际上是例三的变形，只不过将等腰三角形换成了等边三角形，只要你根据所求
18、问题，把BD看成在ABD的一边，CE看成ACE的一边，自然就得到了证明的方向。 解：ABC与ADE是等边三角形， AB=AC， AD=AE BAC=DAE=60 BAC+CAD=DAE+CAD（等式性质） 即： BAD=CAE接下来的过程与例三完全一致，不予描述！ 图16变形3：如图1618，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，连接BD，CE，请说明它们相等 这里仅以图17进行说明 解： ABC与ADE是等边三角形， AB=AC， AD=AE BAC=DAE=60图17BACCAD=DAECAD【仅这步有差别】即：BAD=BAD=CAE 在ABD与ACE中， AB=AC（已知）
19、BAD=CAE（已求）图18 AD=AE ABDACE（SAS） BD=CE（全等三角形的对应边相等） 图16，图18的类型，请同学们自己去完成变形4：如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N求证：；分析：和上面相比，只不过等边三角形换成正方形，60换成直角了，思路一样例四： 如图，ABC中，C=90，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MNAB.求证：AN平分BAC.分析：要说明AN平分BAC，必须说明两角相等，可以说明AMNCAN，而题中已有了一组直角相等，一组公共边（斜边）结合题目中条件，比较容易找到一边直角边相等，从而
20、利用HL定理得到全等。变形1：在RtABC中，已知A=90，DEBC于E点，如果AD=DE，BD=CD，求C的度数【模拟试题】（答题时间：30分钟）一. 选择题。 1. 已知等腰三角形的两边长是4cm和9cm，则此三角形的周长是（ ） A. 17cmB. 13cmC. 22cmD. 17cm或22cm 2. 两根木条的长分别是20cm和30cm，要钉成一个三角形的木架，则在下面4根长度的木条中应选取（ ） A. 10cmB. 20cmC. 50cmD. 60cm 3. 如图所示，ACB90，CDAB，则1与A的关系是（ ） A. 互余B. 互补C. 相等D. 不确定 4. 如图所示，ABCDE
21、F的和为（ ） A. 180B. 360C. 540D. 720 5. 在两个三角形中，下列条件能判定两个三角形全等的是（ ） A. 有两条边对应相等 B. 有两角及其中一个角的对边对应相等 C. 有三个角对应相等 D. 有两边及一角对应相等 6. 在具备下列条件的ABC中，不是直角三角形的是（ ） A. ABC B. A3C，B2C C. AB2C D. 二. 已知：如图所示，ABC中，BD是ABC的角平分线，DEBC，交AB于E，A60，BDC95，求BDE各内角的度数。三. 已知：如图所示，ACBC，ADBD，M、N分别是AC、BC的中点，则DMDN，为什么？四. 已知：如图所示，ABBC，ADDC，垂足分别是B、D，要想得到ABAD的结论，你认为需要补充什么条件？请说明你的理由。