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1、1.11.3 任意角的三角函数、弧度制、诱导公式一、任意角（一）、角的分类：（1）正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；（2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；（3）零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角； 说明：零角的始边和终边重合。（二）、终边相同的角：所有与角终边相同的角，和同角的内，可构成一个集合Sk3600，kZ。注意：（1）对于集合Sk3600，kZ的理解，注意集合中的角是任意角；集合中的“kZ”是一个必不可少的条件；（2）当角的始边相同时，若角相等，则终边一定相同；始边相同，终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差3600的整数倍。（3）终边相同的
2、角表示方式不唯一。对于集合A300k3600，kZ也可表示为A3300k3600，kZ（三）、象限角与轴线角1、象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。2、轴线角：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。（四）、弧度制1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制；在弧度制下，1弧度记作1rad。2、度量：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。如果半径为r的圆心角所对的弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是(其中l是以角为圆心角时所对的弧长，r是圆的半径，角的正负由角终边的旋转
3、方向决定)。 在弧度制下,角的集合与实数集合R之间建立起一一对应的关系。3、角度制与弧度制的互化 3602 rad, 180 rad. 1 4、弧度下的弧长公式和扇形面积公式弧长公式： lr 扇形面积公式：S例1：下列命题正确的是（ ）A：第二象限的角必是钝角 B：相等的角终边必相同C：终边相同的角一定相等 D：不相等的角终边必不相同【解析】：B例2：1120角所在象限是（ ）A：第一象限 B：第二象限 C：第三象限 D：第四象限【解析】：D例3：已知扇形OAB的面积为1，周长为4，则弦AB的长度为（ ）A：2 B： C：2sin1 D：sin2 【解析】： 2 1，则2，则AB2sin1 C
4、变式练习1：若角、角的终边关于y轴对称，则（ ）A：k(kZ) B：2k(kZ)C：k(kZ) D：2k(kZ)【解析】：B 与的终边相同，则2k()(2k1)变式练习2：把表示成2k(kZ)的形式，且使的最小的的值为（）A： B： C： D：【解析】：24 A变式练习3：在周长为20的扇形中，当扇形的面积取最大值时，扇形的半径为（ ）A：3 B：2 C：4 D：5【解析】：，202r，故Sr(202r)r(10r)25 D变式练习4：已知如图，在四面体ABCD中，DADBDC1，且DA、DB、DC两两垂直，在该四面体表面上与点A距离为的点形成一条曲线，则这条曲线的长度为（ ）A： B： C：
5、 D：变式练习5：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上与点A距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是（ ）A： B： C： D： 【解析】：D二、任意角的三角函数（一）任意角的三角函数1、锐角三角函数：初中所学习的锐有三角函数，如图，在RtABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，则sinA cosA tanA00300450600900sin01cos10tan012、单位圆：在直角坐标中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。3、直角坐标系内用点的坐标表示三角函数。在平面直角坐标中，设角的顶点与坐原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一的坐标为P(，
6、b)，它与原点的距离OP0，则定义三角函数sin cos tan(a0)特别地，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(a，b)则：sinb，cosa tan(a0)（二）、三角函数的定义域、值域和三角函数值在各象限的符号1、三角函数的定义域、值域函 数定 义 域值 域ysinxR1，1ycosxR1，1ytanxxk1800900 kZR2、三角函数在各象限的符号：简易记法“才”正弦函数ysinx在第一象限、第二象限为正；余弦函数ycosx在第一象限、第四象限为正；正切函数ytanx在第一象限、第三象限为正。【对于正弦函数、余弦函数、正切函数在各象限的正负可用“才”字简记，“横”为正弦，“
7、竖”为余弦，“切”为撇】或函(一)、弦(二)、切(三)、余(四)3、同角三角函数的基本关系式sin2cos21 tan sin例3：已知角的终边经过点P(2，3)，求的三个函数值。例4：有下列命题：（1）终边相同的角的同名三角函数的值相等；（2）终边不同的角的同名三角函数的值不等；（3）若sin0，则是第一、二象限的角；（4）若是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos。其中正确的命题的个数是（ ）A：1 B：2 C：3 D：4【解析】：A (1)正确例5：如果是第二象限的角，且tan，则sin的值等于_。【解析】：例6：已知tan，求下列代数式的值【齐次式】。（1）（2）（3）s
8、in22sincos变式练习1：已知2sin1cos，则tan_。【解析】：2sin1cos，sin2cos21，cos1或，tan0或变式练习2：若tan()3，则cos22sin2（ ）A： B：1 C： D：0【解析】：tan2 cos22sin2 A变式练习3：三个数sin200，cos400，tan500的大小关系是（ ）A：sin200cos400tan500 B：cos400sin200tan500C：tan500cos400sin200 D：sin200tan500cos400【解析】：A变式练习4：如设点P(，1)（t0）是角终边上的一点，当最小时，则cos的值是_。【解析】
9、：t0，当且仅当t2时，此时cos变式练习5：如图，已知点P(3，1)，OA为第一象限的角平分线，将OA沿逆时针旋转角到OB，若0，则tan的值为()A：2 B：3 C：2 D：3【解析】：A三、三角函数的诱导公式1、函数的奇偶性：2、诱导公式口决：奇变偶不变，符号看象限注意：“奇、偶是指k的奇、偶整数倍，奇变正弦变余弦，偶数倍函数名不变”。sin1200() cos1200() tan1200()sin1450() cos1450() tan1450()sin1500() cos1500() tan1500()sin2100() cos2100() tan2100()sin2250() co
10、s2250() tan2250()sin2400() cos2400() tan2400()sin3000() cos3000() tan3000()sin3150() cos3150() tan3150()sin3300() cos3300() tan3300()【注意：记方法可以 把平面直角坐标系中每个象限作为参考，第一象限对应角为，第二象限对应角为；第三象限为，第四象限为2。故在内的特殊角只需要记锐角三角函数，再利用诱导公式可得。】例7：已知为锐角，且sin，则cos()_。【解析】：A例8：计算（1）coscoscoscos（2）tan100tan1700sin18660sin(606
11、0)【解析】：（1）0 （2）0变式练习1：已知tan1，且，则的值为_。【解析】：C已知f()，则f()（）A： B： C： D： 【解析】：f()cos f() A变式练习2：设向量(，tan)，(cos，1)，且，则cos()（）A： B： C： D：【解析】：B变式练习3：在等差数列中，则sin(2)（）A： B： C： D： 【解析】：D变式练习4：函数f(x)sin(x)cos(x)的最大值为（ ）A： B：1C： D： 【解析】由诱导公式可得： ，则： , A变式练习5：若tancossinmsin，则实数m的值为（ ）A：2 B： C：2 D：3【解析】：tancossinms
12、in sincossincosmsincos，即：sincossincosmsincos，则sin()sin 故m2课 后 综 合 练 习1、设A钝角，B小于180的角，C第二象限的角， D小于180而大于90的角，则 下列等式中成立的是（ ） A：AC B：AB C：CD D：AD【解析】：D2、下列命题正确的是（ ）A：终边相同的角一定相等。 B：第一象限的角都是锐角。C：锐角都是第一象限的角。 D：小于的角都是锐角。【解析】：C3、若是第四象限角，则180是（ ）A：第一象限角 B： 第二象限角 C：第三象限角 D： 第四象限角【解析】：B4、若角是第二象限的角，则是（ ）A：第一象限或
13、第二象限的角 B：第一象限或第三象限的角C：第二象限或第四象限的角 D：第一象限或第四象限的角【解析】：B5、如果一扇形的弧长为cm，半径等于2cm，则扇形所对圆心角为（）A：B： C：D： 【解析】：A6、在平面直角坐标系中，若角、的终边互为反向延长线，则必有（ ）A： B：2k(kZ) C： D：2k(kZ)【解析】：D7、角的终边上有一点P(，)，R，且0，则sin的值是( )A：B：-C：D：1【解析】：C8、若角的终边过点(3，2)，则()A：sin tan0 B：cos tan0C：sin cos0D：sin 0【解析】C9、使有意义的角是（）A：第一象限角 B：第二象限角 C：第
14、一或第二象限角 D：第一、二象限角或终边在y轴上【解析】C10、若，则（）A：1B： 1 C： D：【解析】：A11、若tan，则sincos的值为 （ ）A： B： C： D：【解析】：B12、若实数x满足1sin，则x1x9的值为（ ）A：8 B：8 C：0 D：10【解析】：A 02，则1x9，x1x9x19x813、sin2(2)cos()cos()1的值是（ ）A：1 B：2 C：0 D：2sin2【解析】：B14、已知cos，则sin(3)cos(2)tan()等于（ ）A： B： C： D：【解析】：D15、下列各式不正确的是 （ ）A：sin(180)sin B：cos()co
15、s()C：sin(360)sin D：cos()cos()【解析】：B16、sincostan的值是（ ）A： B： C： D：【解析】：A17、已知，则的值为 （ ）A： B：2 C： D： 【解析】D18、若sin2sin1，则cos4cos2的值为_。【解析】：sin1sin2cos2，则cos4cos2sin2cos2119、设函数f(x)sin(x)cos(x)4（、为常数），且f(2017)5，则f(2018)_。【解析】：f(x)sin(2017)cos(2017)4sin()cos()4(sincos)45，故sincos1，则f(2018) sin(2018)cos(2018)4sincos4320、如图所示，一个长为cm，宽为1cm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时，被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成的角为，试求点A所走过的路。11