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1、第二十一章 一元二次方程21.1.1 一元二次方程 （1） 一、自主学习：（一）、根据题意列方程： （1）有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无 盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?（2）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？（二）、探索新知：（）、问题：上述2个方程是不是一元二次方程？有何共同点？ ； ； 。（2）一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是 ,只含有_个未知数，并且未
2、知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程。（3）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 (a,b,c为常数， ）的形式,我们把它称为一元二次方程的一般形式。为 ，为 ，为 。（三）、注意点：(1)一元二次方程必须满足三个条件： ； ； 。(2)任何一个一元二次方程都可以化为一般形式： .二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。(3)二次项系数是一个重要条件，不能漏掉，为什么？（四）、自我尝试：1、下列列方程中，哪些是关于 的一元二次方程？（1） （2） （3） （4） （5）2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1) (2) (3)
3、二、课堂检测：1、下列方程中，是关于X的一元二次方程的是（ ）A. B. C. D.2、方程的一次项是（ ）A. B. C. D. 3、将方程化成一般形式为 它的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_。4、当a_时，关于X的方程（a1）x2+3x5=0是一元二次方程。21.1.2 一元二次方程（2）一、自主学习：（一） 一个面积为12m2的矩形苗圃，它的长比宽多1m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为_m 根据题意，得 整理，得 （二）探索新知：1下面哪些数是上述方程的根？ 4，3，2，1，0，1，2，3，42、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ，即：使一元二次方程等号左右
4、两边相等的_的值。3、判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解：(1) (7,6,5, 5, 6, 7) (2) 4、你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？(1) (2) (3) （三）、注意点：1、使一元二次方程成立的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。2、由实际问题列出方程并得出解后，还要考虑这些解是否是实际问题的解。（四）、自我尝试：1、下列各未知数的值是方程的解的是（ ）A. B. C. D. 2、根据表格确定方程= 0的解的范围_x1.01.11.21.30.50.090.661.213、已知方程的一个根是1，则m的值是_二、课堂检测： 1、把化成一般
5、形式是_,二次项是_ _，一次项系数是_，常数项是_。2、一元二次方程的根 ；方程x（x1）=2的两根为 。3、写出一个以为根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次项系数为1：_ _。4、已知m是方程的一个根，则代数式_。5若，则_。6如果x281=0，那么x281=0的两个根分别是x1=_，x2=_7已知方程5x2+mx6=0的一个根是x=3，则m的值为_21.2.1 用直接开平方法解一元二次方程一、自主学习（一）、复习引入 问题1填空（1）x28x+_=（x_）2；（2）9x2+12x+_=（3x+_）2；（3）x2+px+_=（x+_）2（二）探索新知：1、36的平方根是 ,的平方根是_
6、。2、若，则=_；若，则=_。3、请根据提示完成下面解题过程：(1) 由方程 ， 得 (2) 由方程 ， 得 =_ (_)=2即 _=_ =_，=_ 即 _, _ =_, =_ =_, =_（三）、归纳概括：1、形如或的一元二次方程可利用平方根的定义：用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法。2、如果方程能化成或的形式，那么可得，或。3、用直接开平方法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程。（四）、自我尝试解下列方程：(1) (2) (3) (4) 二、课堂检测：1、方程的根是（ ）A. B. C. D. 2、解下列方程：(1） (2) (3) (
7、4) 21.2.2 用配方法解一元二次方程一、自主学习（一）复习引入：填上适当的数，使下列等式成立：(1) +_ = (2) _ = (_)(3) _ = (_) （4）x_（x_）2由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是： （二）探索新知：例：解方程：解：原方程可化为：2x2-5x+2= 0 2x2-5x= -2 x2-x= -1 x2-x= -1 x1= , x2=（三）、归纳总结：1、通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。2、配方是为了降次，把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解。3、用配方法解一元二次方程的一般步骤是：、常数项右移。、二次项系数化“1”。
8、、配方。即：在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；、利用直接开平方法解之。（四）、自我尝试：解下列方程：（同桌相互查找问题，进行纠正）(1) (2) (3) 二、课堂检测：1、填上适当的数，使下列等式成立：(1) (2) (3) (4) 2、将方程配方后，原方程变形为（ ）A. B. C. D. 3、解下列方程：(1) (2) (3) 21.2.3公式法一、自主学习：(一)复习提问1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、你能用配方法解方程吗？请尝试解（二）归纳总结：1、一元二次方程的根由方程的_ _确定。当_时，它的根是 ，这个式子叫做一元二次方程的 ，利用它解一元
9、二次方程的方法叫做_。2、一元二次方程：当 时，方程有实数根 ；当_时，方程有实数根_；当_时，方程没有实数根。3、用公式法解一元二次方程的方法：、化为一般形式。 、列出a、b、c的值并计算的值，与0比较大小。、套求根公式。 、写出方程的根。例题：用公式法解一元二次方程: x2-3x= x+1解：原方程可化为：x2-4x-1= 0a=1，b=-4，c=-1 = 41（-1）=200x=x1= , x2=（三）、自我尝试：1、一元二次方程的求根公式是_ _。2、用公式法解方程：(1) (2) 3、 不解方程，判断下列方程实数根的情况：(1) (2) (3) 二、课堂检测：1、下列方程中，没有实数
10、根的是（ ）A. B. C. D. 2、若a有两个不相等的实数根，则的取值范围是： 3、用公式法解下列方程：(1) (2) (3) 21.2.4 因式分解法一、 自主学习（一）创设情境，提出问题背景材料：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10M/S的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为10x4.9 x2。设问1：你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.001s）设问2；除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？（二）探索新知：对于方程10x4.9 x2=0。它的右边为0，左边可以因式分解，得 =0； 于是得 或 。所以：x1 = ，x2 设问3
11、：方程的两根都符合问题的实际意义吗？设问4：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一元一次的？（三）归纳总结：1、对于一元二次方程，先因式分解使方程化为 的形式，再使_，从而实现_，这种解法叫做_。2、如果，那么或，这是因式分解法的根据。如：，则或 ，即或 。（四）、注意点：1、因式分解法是解一元二次方程最简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边是0的一元二次方程。2、因式分解法的根据是：如果，那么或。据此把一元二次方程化为两个一元一次方程来解，达到降次的目的。（五）、自我尝试：1、说出下列方程的根：（1） （2）2、解下列方程：(1) (2) (3) 二、课堂检测：1、方程的根是（ ）A.
12、， B.， C.， D. ，2、下列方程适合用因式分解法的是（ ）A. B. C. D.3、方程的根是_。4、用因式分解法解下列方程：(1) (2) (3) 21.2.5 习题课一、自主学习：1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：方法名称理论根据适用方程的形式直接开平方法平方根的定义或配方法完全平方公式所有的一元二次方程公式法配方法所有的一元二次方程因式分解法两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程3、一般考虑选择方法的顺序是： 直接开平方
13、法、 分解因式法、 配方法或公式法二、课堂检测1、方程的根是（ ）A. B. C. D. 2、一元二次方程的根是_.3、当_时，代数式的值等于3.4、两个数的和为7，积为12，这两个数是_.5、解下列方程：(1) (2) (3) (4) 6、一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数是多少？7、 已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值。 根与系数的关系（韦达定理）一、前置学习一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的解法有： 一元二次方程的求根公式： 二、展示交流：1.探究1：完成下列表格方程x1x2x1+x2x1x2x2-5x+6=0x2
14、+3x-10=0x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律 2.探究2：完成下列表格方程x1x2x1+x2x1x22x2-3x-2=03x2-4x+1=0ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律 .3.利用求根公式推导根与系数的关系（韦达定理） ax2+bx+c=0的两根x1=,x2= (前提条件是: )x1+x2= x1x2= 三、达标拓展1.不解方程，求下列方程的两根和与两根积：x2-6x-15=0 3x2+7x-9=0 5x-1=4x22.已知方程2x2+kx-6=0的一个根是-3，求另一根及k的值。3.拓展应用已知,是方程x2-3x-5=0的两根,不解方
15、程,求下列代数式的值（1）1/+1/（2）2+2（3）-已知关于x的方程3x2-5x-2=0,且关于y的方程的两根是x方程的两根的2倍,则关于y的方程是；关于z的方程的两根是x方程的两根的平方,则关于z的方程是。四、巩固提高1.方程2x2-3x-1=0，则x1+x2=，x1x2= 2.若方程x2+px+2=0的一个根2，则它的另一个根为p=_3.若0和-3是方程的x2+px+q=0两根，则p+q= 4.在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q，解得方程的根为x=4与x=-1，你认为方程中的p=，q=.5.两根均为负数的一元二次方程是（）A.7x
16、2-12x+5=0B.6x2-13x-5=0C.4x2+21x+5=0D.x2+15x-8=06.若方程x2+px+q=0的两根中只有一个为0，那么（ ）Ap=q=0BP=0,q0Cp0,q=0 Dp0,q07.不解方程，求下列方程的两根和与两根积：x2-5x-10=02x2+6x+1=0 3x2-1=2x+5x（x-1）=3x+78.若x1,x2是方程x2-2x-1=0的两根,则(x1+2)(x2+2)的值为 .9.若实数a、b满足a2 +5a+2=0和b2+5b+2=0,则式子1/a+1/b的值是 .10.已知关于x的一元二次方程x2-(2m+2)x+3m=0（1）求证：无论m取何值，原方
17、程总有两个不相等的实数根；（2）若x1，x2是原方程的两根，且x1-x2= 2,求m的值。（3）当m取何值时，原方程有两个正的实数根且一根小于1另一根大于1？21.3实际问题与一元二次方程(1)一、自主学习：1、列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“设”，即设_，设求知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(2)“列”，即根据题中_关系列方程； (3)“解”，即求出所列方程的_；(4)“检验”，即验证是否符合题意； (5)“答”，即回答题目中要解决的问题。（二）自主探究问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：1、设每轮传染中平均一个人
18、传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_人，第一轮后共有 人患了流感：2、第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_ _人，第二轮后共有 人患了流感。则：列方程 ，解得 ，即平均一个人传染了 个人。再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？（三）归纳总结：1、2、平均增长率公式： Q=a(1x)n 其中a是增长（或降低）的基础量，x是平均增长（或降低）率，n是增长（或降低）的次数。（四）、自我尝试：某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？二、课堂检测：1某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二
19、年的产量为 kg，第三年的产量为 kg，三年总产量为 kg2.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )A. 720 B. C. D. 3我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是_4、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？5、商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36，问平均每月降价百分之几？6、某人将2000元人
20、民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率21.3实际问题与一元二次方程(2)一、自主学习:（一）复习巩固：1、某商店销售一批服装，每价成本价100元，若想获得25%，这种服装的售价应为_元。2、某商品原价a元，因需求量大，经营者将该商品提价10%，后因市场物价调整，又降价10%，降价后这种商品的价格是_。（二）、归纳总结：1、有关利率问题公式：利息=本金利率存期 本息和=本金+利息2、有关商品利润的关系式：（1）利润=售价进价 （2）利润率= （3） 售价=进
21、价（1+利润率）（三）、自我尝试：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?二、课堂检测：1一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）A12人 B18人 C9人 D10人2一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_%3一个容器盛满纯药液63升，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加
22、水补满，这时容器内剩下的纯药液是28升，设每次倒出液体x升，则列出的方程是 4上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?5某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?6.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题
23、：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?21.3实际问题与一元二次方程(3)一、自主学习:（一）复习巩固1.直角三角形的面积= , 一般三角形的面积= 2.正方形的面积= , 长方形的面积= 3.梯形的面积= 4菱形的面积= 5.平行四边形的面积= 6圆的面积= （二）、注意点：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程（三）、自我尝试：另解探究3：如果设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，如何解决此题呢
24、？21-3-1（四）例题选讲：例题：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有一位学生各设计了一种方案(如图2131),求图中道路的宽是多少时图中的草坪面积为540平方米。二、课堂检测：1直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ） A B5 C D72从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ） A8cm B64cm C8cm2 D64cm23长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为_21-3-34如图2133，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，求此长方形鸡场的长、宽。5.如图2234所示，在ABC中B=90，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动。如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使SPBQ=8cm222-3-4