《2017-2018年天津市和平区高二(上)期末数学试卷(理科)及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年天津市和平区高二(上)期末数学试卷(理科)及答案.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2017201820172018 学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共8 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 3 分，共分，共2424 分分. .在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的. . 1 （3 分）“m=1”是“双曲线的离心率为 2”的（） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 2 （3 分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，3） ，B（4，2，1） ，则|AB|= （） A B C D 3
2、 （3 分）已知双曲线的一个焦点坐标为（ 曲线的标准方程为（） Ay2=1Bx2=1Cy2=1 ，0） ，且经过点（5，2） ，则双 D=1 4 （3 分）若双曲线 为（） Ay=x y2=1（a0）的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程 By=3xCy=xDy= + x =1 的一个焦点，则椭圆的离心5 （3 分）已知抛物线 y2=x 的焦点是椭圆 率为（） ABCD 6 （3 分）已知向量 =（2，4，5） ， =（3，x，y） ，分别是直线 l1、l2的方向向 量，若 l1l2，则（） Ax=6，y=15Bx=3，y=15Cx=，y= 7 （3 分）如果椭圆 Dx=6，y= 的弦被点（4
3、，2）平分，则这条弦所在的直线方 第 1 1 页（共 1717 页） 程是（） Ax2y=0 B5x+2y4=0 Cx+2y8=0D2x+3y12=0 8 （3 分）已知椭圆 C： 在椭圆上存在点 H，使 A 二、填空题（每题二、填空题（每题 6 6 分，满分分，满分 3636 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 9 （6 分）若双曲线 则 p= 10 （6 分）已知斜率为 2 的直线经过椭圆 于 A、B 两点，则 AB 的长为 11 （6 分）已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为直线 l，过抛物线上一点 P 作 PEl 于 E，若直线 EF 的倾斜角为 150，则|PF
4、|= 12 （6 分）如图所示，已知空间四边形 OABC 中，OB=OC，且AOB=AOC= 则 cos，的值为 ， 的右焦点 F2，与椭圆相交 （p0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上， BC ，点 M，N 为长轴的两个端点，若 ，则离心率 e 的取值范围为（） D 13 （6 分）设椭圆与双曲线有公共焦点 F1，F2，P 是两条曲 线的一个公共点，则 cosF1PF2等于 14 （6 分）已知双曲线（a0，b0 ）的左、右焦点分别为 F1、F2， |PF1|，则双过 F2的直线交双曲线右支于 P，Q 两点，且 PQPF1，若|PQ|= 第 2 2 页（共 1717 页） 曲线的离心率
5、为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共5 5 小题，共小题，共 5252 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤步骤. .） 15已知三点 P（5，2） 、F1（6，0） 、F2（6，0） （）求以 F1、F2为焦点且过点 P 的椭圆标准方程； （）设点 P、F1、F2关于直线 y=x 的对称点分别为 P、F1、F2，求以 F1、F2 为焦点且过点 P的双曲线的标准方程 16已知抛物线 C：y2=2px（p0）的焦点为 F，点 D（2，y0）在抛物线 C 上， 且|DF|=3，直线 y=x1 与抛物线 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点
6、（1）求抛物线 C 的方程； （2）求OAB 的面积 17三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，ABC=90，AB=BC=BB1=2，M， N 分别是 AB，A1C 的中点 （）求证：MN|平面 BCC1B1； （）求证：平面 AMN平面 A1B1C 18已知椭圆E： 象限内的一点 （ab0 ）的离心率为 ，C 为椭圆 E 上位于第一 （1）若点 C 的坐标为（2，） ，求椭圆 E 的标准方程； （2）设 A 为椭圆 E 的左顶点，B 为椭圆 E 上一点，且 斜率 19如图，在四棱锥 SABCD 中，SD平面 ABCD，四边形 ABCD 是直角梯形， 第 3 3 页（共 1717 页）
7、 =，求直线 AB 的 ADC=DAB=90，SD=AD=AB=2，DC=1 （1）求二面角 SBCA 的余弦值； （2）设 P 是棱 BC 上一点，E 是 SA 的中点，若 PE 与平面 SAD 所成角的正弦值为 ，求线段 CP 的长 第 4 4 页（共 1717 页） 2017201820172018 学年天津市和平区高二学年天津市和平区高二 （上）（上） 期末数学试卷期末数学试卷 （理（理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共8 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 3 分，共分，共2424 分分. .在每小题给出的四个选在每小题给出的
8、四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的. . 1 （3 分）“m=1”是“双曲线的离心率为 2”的（） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 的方程得 a2=m， （m0） ，b2=3，【解答】解：由双曲线 则 c2=3+m， 双曲线的离心率 e=2， e2=4， 即 3+m=4m，即 3m=3， m=1， 则“m=1”是“双曲线 故选：C 2 （3 分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，3） ，B（4，2，1） ，则|AB|= （） A B C D 的离心率为 2”的充要条件， 【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，0，3） ，
9、B（4，2，1） ， 则|AB|= 第 5 5 页（共 1717 页） 故选：B 3 （3 分）已知双曲线的一个焦点坐标为（ 曲线的标准方程为（） Ay2=1Bx2=1Cy2=1D=1 ，0） ，且经过点（5，2） ，则双 【解答】解：设双曲线的方程为 双曲线的一个焦点坐标为（ （a0，b0） ， ，0） ，且经过点（5，2） ， ， a=，b=1， y2=1双曲线的标准方程为 故选：A 4 （3 分）若双曲线 为（） Ay=x y2=1（a0）的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程 By=3xCy=xDy=x ，【解答】解：双曲线y2=1（a0）的 c= 则离心率 e= 解得，a= =2，
10、则双曲线的渐近线方程为 y= 即为 y= 故选：D x x， 第 6 6 页（共 1717 页） 5 （3 分）已知抛物线 y2=x 的焦点是椭圆 率为（） ABCD +=1 的一个焦点，则椭圆的离心 【解答】解：抛物线 y2=x 的焦点为（，0） ；抛物线 y2=x 的焦点是椭圆 的一个焦点， 故 c=，b=，a=； +=1 故 e=； 故该椭圆的离心率为：； 故选：D 6 （3 分）已知向量 =（2，4，5） ， =（3，x，y） ，分别是直线 l1、l2的方向向 量，若 l1l2，则（） Ax=6，y=15Bx=3，y=15Cx=，y=Dx=6，y= 【解答】解：l1l2，存在实数使得
11、=k ， ，解得 x=6，y= 故选：D 7 （3 分）如果椭圆 程是（） Ax2y=0 B5x+2y4=0 Cx+2y8=0D2x+3y12=0 【解答】解：设弦的端点为 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ， 代入椭圆方程，得： 第 7 7 页（共 1717 页） 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方 9x12+36y12=369， 9x22+36y22=369； 得： 9（x1+x2） （x1x2）+36（y1+y2） （y1y2）=0； 由中点坐标 代入上式，得 72（x1x2）+144（y1y2）=0， 直线斜率为 k=， =4，=2， 所求弦的直线方程为：y2=（x4）
12、， 即 x+2y8=0 故选：C 8 （3 分）已知椭圆 C： 在椭圆上存在点 H，使 ABC ，点 M，N 为长轴的两个端点，若 ，则离心率 e 的取值范围为（） D 【解答】解：M（a，0） ，N（a，0） 设 H（x0，y0） ，则= kMHkNH=， 可得： e 故选：A =e21 ， 第 8 8 页（共 1717 页） 二、填空题（每题二、填空题（每题 6 6 分，满分分，满分 3636 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 9 （6 分）若双曲线 则 p=4 【解答】解：双曲线（p0）的左焦点（，0） ， （p0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上， 双曲线（p0）
13、的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上， 可得： 故答案为：4 =，解得 p=4 10 （6 分）已知斜率为 2 的直线经过椭圆 于 A、B 两点，则 AB 的长为 的右焦点 F2，与椭圆相交 【解答】解：椭圆 c= 的 a=，b=2， =1，右焦点为（1，0） ， 直线的方程为 y=2（x1） ， 代入椭圆方程，可得 6x210 x=0， 解得 x=0 或 x=， 即有交点为 A（0，2） ，B（，） ， 则弦长为|AB|= 故答案为： 11 （6 分）已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为直线 l，过抛物线上一点 P 作 = 第 9 9 页（共 1717 页） PEl 于 E，若直
14、线 EF 的倾斜角为 150，则|PF|= 【解答】解：由抛物线 y2=4x 方程，可得焦点 F（1，0） ，准线 l 的方程为：x= 1 直线 EF 的倾斜角为 150，kl=tan150= 直线 EF 的方程为：y= E PEl 于 E， yP=，代入抛物线的方程可得，解得 xP= （x1） ，联立 ，解得 y= |PF|=|PE|=xP+1= 故答案为： 12 （6 分）如图所示，已知空间四边形 OABC 中，OB=OC，且AOB=AOC= 则 cos，的值为0 ， 【解答】解： = = =0， 故答案为：0 = ，OB=OC， 第 1010 页（共 1717 页） 13 （6 分）设椭
15、圆与双曲线 有公共焦点 F1，F2，P 是两条曲 线的一个公共点，则 cosF1PF2等于 【解答】解：由题意知 F1（2，0） ，F2（2，0） ， 解方程组，得取 P 点坐标为（，） ， =（2，） ，=（2，） cosF1PF2= 故答案为： 14 （6 分）已知双曲线（a0，b0 ）的左、右焦点分别为 F1、F2， |PF1|，则双过 F2的直线交双曲线右支于 P，Q 两点，且 PQPF1，若|PQ|= 曲线的离心率为 【解答】解：设 P，Q 为双曲线右支上一点， 由 PQPF1，|PQ|=|PF1|， =|PF1|，在直角三角形 PF1Q 中，|QF1|= 由双曲线的定义可得：2a=
16、|PF1|PF2|=|QF1|QF2|， 由|PQ|=|PF1|，即有|PF2|+|QF2|= |PF1|2a= |PF1|， 即为|PF1|2a+ （1 解得|PF1|= + |PF1|， ）|PF1|=4a， 第 1111 页（共 1717 页） |PF2|=|PF1|2a= 由勾股定理可得：2c=|F1F2|= 则 e= ， =， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共5 5 小题，共小题，共 5252 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤步骤. .） 15已知三点 P（5，2） 、F1（6，0） 、F2（6，0） （）求以
17、F1、F2为焦点且过点 P 的椭圆标准方程； （）设点 P、F1、F2关于直线 y=x 的对称点分别为 P、F1、F2，求以 F1、F2 为焦点且过点 P的双曲线的标准方程 【解答】解： （1）由题意可设所求椭圆的标准方程为 （ab0） ， 其半焦距 c=6 ，b2=a2c2=9 所以所求椭圆的标准方程为 （2）点 P（5，2） 、F1（6，0） 、F2（6，0） 第 1212 页（共 1717 页） 关于直线 y=x 的对称点分别为点 P（2，5） 、F1（0，6） 、F2（0，6） 设所求双曲线的标准方程为 由题意知，半焦距 c1=6， ， b12=c12a12=3620=16 所以所求双
18、曲线的标准方程为 16已知抛物线 C：y2=2px（p0）的焦点为 F，点 D（2，y0）在抛物线 C 上， 且|DF|=3，直线 y=x1 与抛物线 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点 （1）求抛物线 C 的方程； （2）求OAB 的面积 【解答】解： （1）根据题意，D（2，y0）在抛物线 y2=2px，上且|DF|=3 由抛物线定义得，p=2 故抛物线的方程为 y2=4x； （2）由方程组，消去 y 得 x26x+1=0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2=6； 直线 y=x1 过抛物线 y2=4x 的焦点 F， |AB|=x1+x2+p=6+2=8 又 O
19、 到直线 y=x1 的距离 ABO 的面积 17三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，ABC=90，AB=BC=BB1=2，M， N 分别是 AB，A1C 的中点 （）求证：MN|平面 BCC1B1； 第 1313 页（共 1717 页） ， （）求证：平面 AMN平面 A1B1C 【解答】证明： （）连接 BC1，AC1， 在ABC1中，由 AM=MB，AN=NC1， 可得 MNBC1，MN 平面 BCC1B1，BC1 平面 BCC1B1， 则 MN平面 BCC1B1； （）三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB=BC=BB1=2， 可得四边形 BCC1B1为正方形， 即
20、有 BC1B1C，MNB1C， 连接 A1M，CM， 由 AM=BM，AA1=BC，A1AM=MBC=90， 可得AMA1BMC， 可得 A1M=CM，又 N 是 A1C 的中点，则 MNA1C， B1CA1C=C，MN平面 A1B1C， MN 平面 AMN， 则平面 AMN平面 A1B1C 18已知椭圆E：（ab0 ）的离心率为 ，C 为椭圆 E 上位于第一 第 1414 页（共 1717 页） 象限内的一点 （1）若点 C 的坐标为（2，） ，求椭圆 E 的标准方程； （2）设 A 为椭圆 E 的左顶点，B 为椭圆 E 上一点，且 斜率 【解答】解： （1）由题意可知：椭圆的离心率 e=，
21、则=， =，求直线 AB 的 由点 C 在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，+=1， 解得：a2=9，b2=5， 椭圆 E 的标准方程为+=1； （2）方法一：由（1）可知：=，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2， 设直线 OC 的方程为 x=my（m0） ，B（x1，y1） ，C（x2，y2） ， ，消去 x 整理得：5m2y2+9y2=5a2， y2=，由 y20，则 y2=， 由=，则 ABOC，设直线 AB 的方程为 x=mya， 则，整理得： （5m2+9）y210amy=0， 由 y=0，或 y1=， 由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2） ， 则 y2=2y1， 则=2， （m
22、0） ， 解得：m=， 则直线 AB 的斜率=； 第 1515 页（共 1717 页） 方法二：由（1）可知：椭圆方程 5x2+9y2=5a2，则 A（a，0） ， B（x1，y1） ，C（x2，y2） ， 由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2） ，则 y2=2y1， 由 B，C 在椭圆上， ， 解得：x2=，y2= 则直线直线 AB 的斜率 k= 直线 AB 的斜率= =； 19如图，在四棱锥 SABCD 中，SD平面 ABCD，四边形 ABCD 是直角梯形， ADC=DAB=90，SD=AD=AB=2，DC=1 （1）求二面角 SBCA 的余弦值； （2）设 P 是棱 BC 上一点，E
23、 是 SA 的中点，若 PE 与平面 SAD 所成角的正弦值为 ，求线段 CP 的长 【解答】解： （1）以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz， 则 D（0，0，0） ，B（2，2，0） ，C（0，1，0） ，S（0，0，2） ， 第 1616 页（共 1717 页） ， 设面 SBC 的法向量为 由可取 SD面 ABC，取面 ABC 的法向量为 |cos|=， 二面角 SBCA 为锐角 二面角 SBCA 的余弦值为 （2）由（1）知 E（1，0，1） ，则， 设， （01） 则， 易知 CD面 SAD，面 SAD 的法向量可取 |cos|=， 解得 =或 =（舍去） 此时，|=， 线段 CP 的长为 第 1717 页（共 1717 页）