2013-2014学年湖北省十堰市高一(下)期末数学试卷(解析版).pdf

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1、2013201420132014 学年湖北省十堰市高一（下）期末数学试卷学年湖北省十堰市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分. .在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的. . 1 （5 分）已知 ABCD ，且 sin=，则 tan=（） 2 （5 分）已知a，b，c 满足 abc，且ac0，那么下列选项中一定成立的是 （） Acb2ab2Bc（ba）0CabacDac（ac）0 3 （5 分）下列命题中不正确的是（） A垂直于同

2、一平面的两条直线平行 B垂直于同一直线的两平面平行 C一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这 两个平面平行 D一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于此平面内的任意一条直线 4 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列若a1=1， 则 S4=（） A15B7C8D16 5 （5 分）棱长为2 的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的体积和表面积 分别是（） ABCD 6 （5 分）已知ABC 的三边长分别为 a，b，c，若（b+c+a） （b+ca）=3bc， 则角 A 的大小为（） ABC D 7 （5 分）如图，边长为 a

3、的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G， 将ADE 绕 DE 旋转得到ADE（A 平面 ABC） ，则下列叙述错误的是（） A平面 AFG平面 ABC BBC平面 ADE C三棱锥 ADEF 的体积最大值为 D直线 DF 与直线 AE 不可能共面 8 （5 分）某同学准备利用暑假到一家商场勤工俭学，商场向他提供了三种付酬 方案：第一种，每一天支付 50 元；第二种，第一天付 20 元，第二天付 30 元， 第三天付 40 元，依此类推；第三种，第一天付 0.1 元，以后每天比前一天翻一 番（即变为前一天的 2 倍） ，对于选哪一种付款方案下列结论中错误的是（） A打工不

4、足 5 天选第一种 B打工 10 天选第二种 C打工两个星期选第三种 D打工满一星期但不足 20 天就选第二种 9 （5 分）某几何体中的一条线段长为 投影是长为 ，在该几何体的正视图中，这条线段的 a3 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是 长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最大值为（） ABC4D 10（5分） 设等差数列an的前n项和为Sn， 且S150， a8+a90， 则使得 的最小的 n 为（） A10B11C12D13 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共2525 分分. .请将答案填在答题卡对应

5、请将答案填在答题卡对应 题号的位置上题号的位置上. .答错位置，书写不清，模棱两可均不得分答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. . 11 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1中 A1C1与 AD1所成角的大小为 12（5分） 若关于x的不等式ax2+2x+a0的集为R， 则实数a的取范围是 13 （5 分）在ABC 中，若 a=，b=1，B=30，则角 A 的值是 14 （5 分）设数列an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，数列bn是以 1 为 首项，2 为公比的等比数列，则 a+a+a= 15（5 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且

6、 acosBbcosA=c， 则当角 C 的值为时，tan（AB）取最大值 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共6 6 个小题，共个小题，共 7575 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤. . 16 （12 分）已知函数 f（x）=sinxcosxcos2x+1 （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）若 f（+）=，（0，） ，求 cos（+）的值 17 （12 分）已知公差为 d（d1）的等差数列an和公比为 q（q1）的等比 数列bn， 满足集合a3，a4，a5b3，b4，b5=1，2，3，4，5 （1）求通项 an，bn；

7、 （2）求数列anbn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， （）求证：B1D1平面 C1BD； （）求证：A1C平面 C1BD； （）求二面角 BC1DC 的余弦值 19 （12 分）如图，一人在C 地看到建筑物 A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏 西 45方向，此人向北偏西 75方向前进km 到达 D，看到 A 在他的北偏东 45 方向，B 在其的北偏东 75方向，试求这两座建筑物 A 与 B 之间的距离 20 （13 分）设ABC 的内角bn的对边分别为 Tn，且 bcosC=（2ac）cosB （）求 B 的大小； （）若 1+ （）若

8、=，且，求 c 的值； ，则 a+c 的最大值 21 （14 分） 已知数列an的各项均是正数， 前 n 项和为 Sn， 且满足 （p1） Sn=p9 an，其中 p 为正常数，且 p1 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn=，求数列bnbn +1的 n 项和 Tn； （3）设 cn=log2a2n 1，数列cn的前 n 项和是 Hn，若当 nN +时 Hn存在最大值， 求 p 的取值范围，并求出该最大值 2013201420132014 学年湖北省十堰市高一（下）期末数学试卷学年湖北省十堰市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：

9、本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分. .在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的. . 1 （5 分）已知 ABCD ，且 sin=，则 tan=（） 【解答】解：已知 sin=， 根据 sin2+cos2=1 解得： 由于： 所以： 则 故选：B 2 （5 分）已知a，b，c 满足 abc，且ac0，那么下列选项中一定成立的是 （） Acb2ab2Bc（ba）0CabacDac（ac）0 【解答】解：已知 a，b，c 满足 abc，且 ac0， a0，c0， 对于 A：取 a=1，b

10、=0，c=1，显然不成立； 对于 B：ba0，c0，c（ba）0，B 错误； 对于 C：由 bc，不等式两边都乘以负数 a，得：abac，故 C 正确； 对于 D：ac0，ac0，得：ac（ac）0，故 D 错误； 故选：C 3 （5 分）下列命题中不正确的是（） A垂直于同一平面的两条直线平行 B垂直于同一直线的两平面平行 C一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这 两个平面平行 D一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于此平面内的任意一条直线 【解答】解：对于A，根据线面垂直的性质定理可以得到垂直于同一个平面的两 条直线平行正确； 对于 B，根据面面平行的判定定理

11、能够得到垂直于同一条直线的两个平面平行正 确； 对于 C，是面面平行的判定定理，故正确； 对于 D，一条直线平行于一个平面，则这条直线与于此平面内的任意一条直线位 置关系是平行或者异面；故 D 错误 故选：D 4 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列若a1=1， 则 S4=（） A15B7C8D16 【解答】解：4a1，2a2，a3成等差数列a1=1， 4a1+a3=22a2， 即 4+q24q=0， 即 q24q+4=0， （q2）2=0， 解得 q=2， a1=1，a2=2，a3=4，a4=8， S4=1+2+4+8=15 故选：A 5 （5 分）

12、棱长为2 的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的体积和表面积 分别是（） ABCD 【解答】解：因为棱长为 2 的正方体的顶点都在同一个球面上，所以球的直径为 2，所以半径为，所以球的体积为 ； ； 表面积为： 故选：B 6 （5 分）已知ABC 的三边长分别为 a，b，c，若（b+c+a） （b+ca）=3bc， 则角 A 的大小为（） ABC D 【解答】解：ABC 中，（b+c+a） （b+ca）=3bc， c2+b2a2=bc， 利用余弦定理可得 cosA= A= =， 故选：B 7 （5 分）如图，边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G， 将AD

13、E 绕 DE 旋转得到ADE （A平面 ABC） ，则下列叙述错误的是（） A平面 AFG 平面 ABC BBC平面 ADE C三棱锥 A DEF 的体积最大值为 D直线 DF 与直线 AE 不可能共面 a3 【解答】解：ABC 是正三角形，AGDE，DEFG，DE平面 AFG，DE 平面 ABC，平面 AFG平面 ABC，故 A 正确 BCDE，BC平面 ADE，DE 平面 ADE，BC平面 ADE，故 B 正确 当 AG平面 ABC 时，三棱锥 ADEF 的高为 AG，而底面 DEF 的面积一定， 三棱锥 ADEF 的体积最大值为a=a3，故 C 错误； A平面 ABC，由异面直线的判定定

14、理，直线 DF 与直线 AE 是异面直线，故 D 正确 故选：C 8 （5 分）某同学准备利用暑假到一家商场勤工俭学，商场向他提供了三种付酬 方案：第一种，每一天支付 50 元；第二种，第一天付 20 元，第二天付 30 元， 第三天付 40 元，依此类推；第三种，第一天付 0.1 元，以后每天比前一天翻一 番（即变为前一天的 2 倍） ，对于选哪一种付款方案下列结论中错误的是（） A打工不足 5 天选第一种 B打工 10 天选第二种 C打工两个星期选第三种 D打工满一星期但不足 20 天就选第二种 【解答】解：记打 n 天工三种方案所得报酬分别是 Sn，Tn，Hn， 则 n=5 时，Sn=2

15、50，Tn=200，Hn=3.1 n=10 时，Sn=500，Tn=650，Hn=102.4 n=7 时，Sn=350，Tn=350，Hn=12.7 n=14 时 Sn=700，Tn=1190，Hn=1638.4 比较以上数据可知前三个选项正确 故选：D 9 （5 分）某几何体中的一条线段长为 投影是长为 ，在该几何体的正视图中，这条线段的 ， 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是 长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最大值为（） ABC4D 【解答】解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算如图设长方体的 长宽高分别为 m，n，k， 由题意得，n=1， 所以（a2

16、1）+（b21）=6a2+b2=8， （a+b）2=a2+2ab+b2=8+2ab8+a2+b2=16a+b4 当且仅当 a=b=2 时取等号 故选：C 10（5分） 设等差数列an的前n项和为Sn， 且S150， a8+a90， 则使得 的最小的 n 为（） A10B11C12D13 【解答】解：设等差数列an的首项和公差分别为 a1和 d， 则可得 S15=15a8=15（a1+7d）0，解得 a1+7d0， 又a8+a90，2a1+15d0， 又a8=0，a8+a90，a90，d0， 由可得 故 而 令 2a1+ 7，由可得 7， =a1+（n1）d+a1+d=2a1+ ， ， 11 d

17、， ， d0 可解得 n1 7，7 10， 1 使得的最小的 n 为 11 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共2525 分分. .请将答案填在答题卡对应请将答案填在答题卡对应 题号的位置上题号的位置上. .答错位置，书写不清，模棱两可均不得分答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. . 11 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1中 A1C1与 AD1所成角的大小为60 【解答】解：如图， 连接 AC，CD1，则：A1C1AC； D1AC 或其补角便是 A1C1与 AD1所成角； 显然ACD1为等边三角形； D1AC=60

18、； A1C1与 AD1所成角为 60 故答案为：60 12 （5 分） 若关于 x 的不等式 ax2+2x+a0 的集为 R， 则实数 a 的取范围是 （1， +） 【解答】解：当 a=0 时，不等式化为 2x0，解得 x0，其解集不是 R 当 a0 时，由不等式 ax2+2x+a0 的集为 R，则 综上可知：实数 a 的取范围是（1，+） 故答案为（1，+） 13 （5 分）在ABC 中，若 a= ，解得 a1 ，b=1，B=30，则角 A 的值是60或 120 【解答】解：a= 由正弦定理= ，b=1，B=30， 得：sinA=， ab，AB， A=60或 120 故答案为：60或 120

19、 14 （5 分）设数列an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，数列bn是以 1 为 首项，2 为公比的等比数列，则 a+a+a=2036 【解答】解：数列an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，bn是以 1 为首 项，2 为公比的等比数列， an=1+2（n1）=2n1， 12=204812=2036 故答案为：2036 15（5 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且 acosBbcosA=c， 则当角 C 的值为时，tan（AB）取最大值 =2bn1=22n 11=2n1 =（21）+（221）+（2101）=10=211 【解答】解：解

20、法一：由 acosBbcosA=c， 得： 即：， ， tan（AB）= B）0， ，当 tan（AB）取最大值时，必有 cos（A tan（AB），设， 则 tan（AB） 当，即时，tan（AB）取最大值为 解法二：由 acosBbcosA=c， 得： 整理得：sinAcosB=3cosAsinB， 即 tanA=3tanB， 易得 tanA0tanB0， ， =， 当 故答案为：， ，即 ， （任对一空给 3 分） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共6 6 个小题，共个小题，共 7575 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤. .

21、 16 （12 分）已知函数 f（x）=sinxcosxcos2x+1 （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）若 f（+）=，（0，） ，求 cos（+）的值 sin2xcos2x+=sin（2x【解答】解： （1）函数f（x）= ）+， 2x2k+ sinxcosxcos2x+1= 令 2k，kz，求得 kxk+，可得函数的 增区间为k，k+，kz （2）若 f（+）=sin（+ ， ）+=sin+=，（0，） ， sin=，cos= cos（+）=coscossinsin= 17 （12 分）已知公差为 d（d1）的等差数列an和公比为 q（q1）的等比 数列bn， 满足集合a3，

22、a4，a5b3，b4，b5=1，2，3，4，5 （1）求通项 an，bn； （2）求数列anbn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）1，2，3，4，5 这 5 个数中成公差大于 1 的等差数列的三个数 只能是 1，3，5；成公比大于 1 的等比数列的三个数只能是 1，2，4 而a3，a4，a5b3，b4，b5=1，2，3，4，5， a3=1，a4=3，a5=5，b3=1，b4=2，b5=4 a1=3，d=2，b1=，q=2， an=a1+（n1）d=2n5，bn=b1qn1=2n3 （2）anbn=（2n5）2n3 Sn=（3）22+（1）21+120+（2n5）2n3 2sn=321+

23、（1）20+（2n7）22n3+（2n5）2n2， 两式相减得 Sn=（3）22+221+220+22n3（2n5） 2n 2= （nN*） 18 （12 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， （）求证：B1D1平面 C1BD； （）求证：A1C平面 C1BD； （）求二面角 BC1DC 的余弦值 【解答】解： （）B1D1BD， 又 BD 平面 C1BD，B1D1平面 C1BD，B1D1平面 C1BD（2 分） （）连接 AC，交 BD 于 O，则 BDAC 又 A1ABD，BD平面 A1ACA1C 平面 A1AC，BDA1C 连接 C1O，在矩形 A1C1CA 中，设 A1C

24、交 C1O 于 M 由，知 ACA1=CC1O ，A1CC1O 又 COBD=0，CO 平面 C1BD，BD 平面 C1BD，A1C平面 C1BD（7 分） （）取 DC1的中点 E，连接 BE，CE BD=BC1，BEDC1CD=CC1，CEDC1BEC 为二面角 BC1DC 的平 面角 设正方体的棱长为 a，则 又由，得 （12 分） ， 在BEC 中，由余弦定理，得 所以所求二面角的余弦值为 19 （12 分）如图，一人在C 地看到建筑物 A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏 西 45方向，此人向北偏西 75方向前进km 到达 D，看到 A 在他的北偏东 45 方向，B 在其的北偏东 7

25、5方向，试求这两座建筑物 A 与 B 之间的距离 【解答】解：在ADC 中，ACD=75，则ADC=10545=60，DAC=45， 且 由正弦定理，得km；（4 分） 又在BDC 中，BCD=7545=30，BDC=10575=30， DBC=120， 结合 在 利用正弦定理，得 ABC中，ACB=45，由余弦 km；（8 分） 定理，得 km2（12 分） 可得 AB=km （13 分）答：这两座建筑物 A 与 B 之间的距离是 20 （13 分）设ABC 的内角bn的对边分别为 Tn，且 bcosC=（2ac）cosB （）求 B 的大小； （）若 1+ （）若 =，且，求 c 的值；

26、，则 a+c 的最大值 【解答】解： （）正弦定理得 sinBcosC=2sinAcosBsinCcosB， 则 sin（B+C）=sinA=2sinAcosB（2 分） 又 sinA0， cosB=，又 0B， （4 分） （）由 1+ 所以 =，得 （6 分） ， ABC 为等边三角形 又 c=4 （8 分） （）， 由余弦定理可知 b2=a2+c22accosB 得 3=a2+c2ac （10 分） 得，当且仅当时取等号 ， 故 a+c的最大值为 （13 分） 21 （14 分） 已知数列an的各项均是正数， 前 n 项和为 Sn， 且满足 （p1） Sn=p9 an，其中 p 为正常数

27、，且 p1 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn=，求数列bnbn +1的 n 项和 Tn； （3）设 cn=log 2a2n1，数列cn的前 n 项和是 Hn，若当 nN +时 H n 存在最大值， 求 p 的取值范围，并求出该最大值 【解答】解（1）当 n=1 时， 同时 ，解得， 相减得： （p1） （Sn +1Sn）=anan+1，且 p1 整理得 （2） ，则数列an是首项是 p8，公比是的等比数列 ， Tn=b1b2+b2b3+b3b4+ +bnbn +1 = （3） cn +1cn=2log2p， cn是一个首项是 c1=8log2p，公差是 d=2log2p 的等差数列 方法一：当 0p1 时，log2p0，此时 Hn是存在最小值，没有最大值； 当 p1 时，log2p0，此时 Hn存在最大值， 由 得4n 5，则H4=H5 且为最大值， 方法 = 二： 由上式可知：当 0p1 时 log2p0，此时 Hn是存在最小值，没有最大值； 当 p1 时 log2p0，此时 Hn存在最大值，且 H4=H5且为最大值， 故当 p1 时 Hn存在最大值，H4=H5且为最大值是 20log2p