2015-2016年江西省赣州市高二(上)期末数学试卷(文科)及答案.pdf

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1、2015201620152016 学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（文科）学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每一小题给出的四分，在每一小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上. . 1 （5 分）从学号为1 号至 50 号的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加 数学测试，采用系统抽样的方法，则所选 5 名学生的学号可能是（） A1，2，3，4，5 C2，4，6，8，1

2、0 B5，15，25，35，45 D4，13，22，31，40 2 （5 分）已知 p： xR，x2x+10，q： x（0，+） ，sinx1，则下列 命题为真命题的是（） ApqBpqCpqDpq 3 （5 分）有 100 张卡片（从 1 号到 100 号） ，从中任取一张，取到的卡号是 7 的倍数的概率为（） ABCD 4 （5 分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了 10 场比赛，他们每场比赛 得分的情况用如图所示的茎叶图表示， 若甲运动员的中位数为 a， 乙运动员的 众数为 b，则 ab 的值是（） A7 5 （5 分）已知椭圆 B8C9D10 的一个焦点与抛物线 y2=8x 的焦点

3、重合，则该椭圆 的离心率是（） ABCD 6 （5 分）函数 Axy+2=0 在 x=1 处的切线方程是（） Bxy4=0Cx+y4=0Dx+y+2=0 第 1 1 页（共 1717 页） 7 （5 分）设双曲线 线的渐近线方程为（） A 的虚轴长为 2，焦距为，则双曲 By=2xCD 8 （5 分）设 aR，则 a1 是1 的（） A必要但不充分条件 C充要条件 B充分但不必要条件 D既不充分也不必要条件 +=1 表示焦点在9 （5 分）在区间1，5上随机取一个实数 m，则方程 y 轴上的椭圆的概率为（） ABCD 10 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图都是腰长为 5 底

4、为 8 的等腰三角形， 俯视图是边长为 8 的正方形， 那么此几何体的侧面积为 （） A48B64C80D120 11 （5 分）如图是计算 1+ + 的是（） 的值的一个程序框图，其中判断框内应填 第 2 2 页（共 1717 页） Ai10Bi10Ci20Di20 12 （5 分）函数 f（x）=lnxx 在区间（0，e（e 为自然对数的底）上的最大值 为（） A1 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，答案填写在答题卷上分，答案填写在答题卷上. . 13 （5 分）读程序，输出的结果是 B0C1D1e 14 （5

5、分）已知函数 f（x）=x3+ax2+bx（a，bR）的图象与直线 y=0 在原点处 相切，函数 f（x）有极小值，则 a 的值为 15 （5 分）已知点 A（2，3）在抛物线C：y2=2px 的准线上，过点A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率是 16 （5 分）将边长为 1 正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABDC，有 如下四个结论： （1）ACBD； （2）ACD 是等边三角形； （3）四面体ABCD 的表面积为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分）分） 17 （10 分） 一个盒

6、子中装有 2 个红球和 2 个白球， 这 4 个球除颜色外完全相同 （1）无放回的从中任取 2 次，每次取 1 个，取出的 2 个都是红球的概率； （2）有放回的从中任取 2 次，每次取 1 个，取出的 2 个都是红球的概率 18 （12 分）已知命题 p：实数 x 满足 x24ax+3a20（其中 a0） ，命题 q：实 数 x 满足0 则正确结论的序号为 （1）若 a=1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 19 （12 分）某市政府为了确定一个较为合理的居民用电标准，必须先了解全市 第 3 3 页（共 1717 页）

7、居民日常用电量的分布情况 现采用抽样调查的方式， 获得了 n 位居民在 2015 年的月均用电量（单位：度）数据，样本统计结果如图表： （1）求 n 的值和月均用电量的平均数估计值； （2） 如果用分层抽样的方法从用电量小于 30 度的居民中抽取 5 位居民， 再从这 5 位居民中选 2 人， 那么至少有 1 位居民月均用电量在 20 至 30 度的概率是多 少？ 分组 0，10） 10，20） 20，30） 30，40） 40，50） 50，60 合计 频数频率 0.05 0.10 30 0.25 0.15 15 n1 20（12分） 四棱锥PABCD中， 四边形ABCD为正方形， PD平面

8、ABCD， PD=DA=2， F，E 分别为 AD、PC 的中点 （1）证明：DE平面 PFB； （2）求三棱锥 APFB 的体积 21 （12 分）已知椭圆 E： 点，点 A（0，2） ，若直线 AF 的斜率为 （1）求椭圆 E 的方程； 的离心率为，F 是椭圆的右焦 ，O 为坐标原点 第 4 4 页（共 1717 页） （2）过点 A 倾斜角为的直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，求OPQ 的面积 22 （12 分）已知函数 f（x）=x（x+a）lnx，其中 a 为常数 （1）当 a=1 时，求 f（x）的极值； （2）若 f（x）是区间内的单调函数，求实数 a 的取值范围 第 5

9、5 页（共 1717 页） 2015201620152016 学年江西省赣州市高二学年江西省赣州市高二 （上）（上） 期末数学试卷期末数学试卷 （文（文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每一小题给出的四分，在每一小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上. . 1 （5 分）从学号为1 号至 50 号的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加 数学测试，采用系统抽样的方法，则所

10、选 5 名学生的学号可能是（） A1，2，3，4，5 C2，4，6，8，10 【解答】解：系统抽样的抽取间隔为 B5，15，25，35，45 D4，13，22，31，40 =10， 由此可得所选 5 名学生的学号间隔为 10，由此判定 B 正确， 故选：B 2 （5 分）已知 p： xR，x2x+10，q： x（0，+） ，sinx1，则下列 命题为真命题的是（） ApqBpqCpqDpq 【解答】解：关于 p： xR，x2x+1= 故命题 p 是真命题， 关于 q： x（0，+） ，sinx1， x（0，+） ，sinx1， 故命题 q 是假命题， 故 pq 是真命题， 故选：C +0，成立

11、， 3 （5 分）有 100 张卡片（从 1 号到 100 号） ，从中任取一张，取到的卡号是 7 的倍数的概率为（） ABCD 【解答】 解： 由题意知： 共有卡片 100 张， 数字是 7 的倍数的卡片有 7， 14， 21， ， 第 6 6 页（共 1717 页） 91，98，共 14 张 则从中任取一张，取到的卡号是 7 的倍数的概率为 故选：A 4 （5 分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了 10 场比赛，他们每场比赛 得分的情况用如图所示的茎叶图表示， 若甲运动员的中位数为 a， 乙运动员的 众数为 b，则 ab 的值是（） A7B8C9D10 【解答】解：甲运动员的中位数为

12、a， a=18， 乙运动员的众数为 b， b=11， ab=1811=7 故选：A 5 （5 分）已知椭圆 的离心率是（） A 的一个焦点与抛物线 y2=8x 的焦点重合，则该椭圆 BCD 【解答】解：由抛物线 y2=8x，得 2p=8， 因为椭圆 ，其焦点坐标为 F（2，0） 的一个焦点与抛物线 y2=8x 的焦点重合， 所以椭圆的右焦点为 F（2，0） 则椭圆是焦点在 x 轴上的椭圆，由 a2=b2+c2=2+22=6，得 所以椭圆的离心率为 第 7 7 页（共 1717 页） 故选：D 6 （5 分）函数 Axy+2=0 【解答】解： y=2x， 在 x=1 处的切线方程是（） Bxy4

13、=0 ， Cx+y4=0Dx+y+2=0 x=1 时，y=1， 又 x=1 时，y=3，即切点坐标为（1，3） ， 则函数在 x=1 处的切线方程为 y3=x1， 即 xy+2=0， 故选：A 7 （5 分）设双曲线 线的渐近线方程为（） A 的虚轴长为 2，焦距为，则双曲 By=2xCD 【解答】解：由已知得到 因为双曲线的焦点在 x 轴上， 故渐近线方程为 故选：C 8 （5 分）设 aR，则 a1 是1 的（） A必要但不充分条件 C充要条件 【解答】解：由 a1，一定能得到 a=1 时） ， 故 a1 是1 的充分不必要条件， 故选：B ； ， B充分但不必要条件 D既不充分也不必要条

14、件 1但当1 时，不能推出 a1 （如 9 （5 分）在区间1，5上随机取一个实数 m，则方程 第 8 8 页（共 1717 页） +=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆的概率为（） A 【解答】解：方程 m2， 区间的长度为 2， 在区间1，5上随机取一个实数 m，区间长度为 6， 方程+=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆的概率为= B + CD =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 4mm0，0 故选：A 10 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图都是腰长为 5 底为 8 的等腰三角形， 俯视图是边长为 8 的正方形， 那么此几何体的侧面积为 （） A48B64C80D120 【

15、解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是正四棱锥，画出图形如图所示； 则该几何体的侧面积为 S 侧=4SPBC =4 85=80 第 9 9 页（共 1717 页） 故选：C 11 （5 分）如图是计算 1+ 的是（） 的值的一个程序框图，其中判断框内应填 Ai10Bi10Ci20 的值， Di20 【解答】解：由于程序的功能是求 S=1+ + 分母 n 的初值为 1，终值为 39，步长为 2，故程序共执行 20 次 故循环变量 i 的值不大于 20 时，应不满足条件，继续执行循环， 大于 20 时，应满足条件，退出循环 故判断框内应填的是 i20 故选：C 12 （5 分）函数 f（x

16、）=lnxx 在区间（0，e（e 为自然对数的底）上的最大值 为（） A1B0 ， C1D1e 【解答】解：f（x）=1= 当 x（0，1）时，f（x）0， 当 x（1，e）时，f（x）0， 所以 f（x）在（0，1）上递增，在（1，e）上递减， 故当 x=1 时 f（x）取得极大值，也为最大值，f（1）=1 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，答案填写在答题卷上分，答案填写在答题卷上. . 13 （5 分）读程序，输出的结果是209 第 1010 页（共 1717 页） 【解答】解：根据程序语言的运行过程，

17、得 该程序运行后输出的是 S=2+3+4+20=19 故答案为：209 14 （5 分）已知函数 f（x）=x3+ax2+bx（a，bR）的图象与直线 y=0 在原点处 相切，函数 f（x）有极小值，则 a 的值为1 =209 【解答】f（x）与直线 y=0 在原点处相切 f（x）=3x2+2ax+b f（x）=x3+ax2 f（x）=3x2+2ax =x（3x+2a） 令 f（x）=0，则 x1=0， f（0）=0 a3=1 a=1 故答案为 a=1 15 （5 分）已知点 A（2，3）在抛物线C：y2=2px 的准线上，过点A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则

18、直线 BF 的斜率是 【解答】解：点 A（2，3）在抛物线 C：y2=2px 的准线上， 即准线方程为：x=2， 第 1111 页（共 1717 页） p0， =2 即 p=4， 抛物线 C：y2=8x，在第一象限的方程为 y=2 设切点 B（m，n） ，则 n=2 又导数 y=2 解得=2 即m+2 ， ， ， ，则在切点处的斜率为 =2m3， （舍去） ， 切点 B（8，8） ，又 F（2，0） ， 直线 BF 的斜率为 故答案为： 16 （5 分）将边长为 1 正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABDC，有 如下四个结论： （1）ACBD； （2）ACD 是等边三角形； （

19、3）四面体ABCD 的表面积为则正确结论的序号为（1） （2） （3） =， 【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示： 二面角 ABDC 为 90，E 是 BD 的中点，可以得出AEC=90，为直二面角的 平面角； 对于（1） ，由于 BD面 AEC，得出 ACBD，命题（1）正确； 对于（2） ，在等腰直角三角形 AEC 中，可以求出 AC= 所以ACD 是等边三角形，命题（2）正确； 对于（3） ，四面体 ABCD 的表面积为 S=2S ACD+2SABD=2 12sin60+211= 第 1212 页（共 1717 页） AE=AD=CD， +1， 命题（3）正确； 综上，正确的命题是

20、（1） （2） （3） 故答案为： （1） （2） （3） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分）分） 17 （10 分） 一个盒子中装有 2 个红球和 2 个白球， 这 4 个球除颜色外完全相同 （1）无放回的从中任取 2 次，每次取 1 个，取出的 2 个都是红球的概率； （2）有放回的从中任取 2 次，每次取 1 个，取出的 2 个都是红球的概率 【解答】解： （1）记两个红球为 a1，a2；两个白球为 b1，b2， 无放回的取球共有： （a1，a2） ， （a2，a1） ， （b1，b2） ， （b2，b1） ， （a1，b1） ， （a1，

21、b2） ， （a2，b1） ， （a2，b2） ， （b1，a1） ， （b1，a2） ， （b2，a1） ， （b2，a2）共 12 情况， 取到两个红球的情况 2 种（3 分） 取出的 2 个都是红球的概率 （2）有放回的取两个球共有： （a1，a1） ， （a1，a2） ， （a1，b1） ， （a1，b2） ， （a2，a1） ， （a2，a2） ， （a2，b1） ， （a2，b2） ， （b1，b1） ， （b1，b2） ， （b1，a1） （b1，a2） ， （b2，b2） ， （b2，b1） ， （b2，a1） ， （b2，a2）共 16 情况， 取到两个红球的情况 4 种（8

22、 分） 取出的 2 个都是红球的概率（10 分） （5 分） 18 （12 分）已知命题 p：实数 x 满足 x24ax+3a20（其中 a0） ，命题 q：实 数 x 满足0 （1）若 a=1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）若 a=1，不等式为 x24x+30，即 1x3，即 p：1x3， 若0，则 2x3，即 q：2x3， 若 pq 为真，则 p，q 同时为真， 第 1313 页（共 1717 页） 即，解得 2x3， 则实数 x 的取值范围是 2x3； （2）x24ax+3a20， （xa）

23、（x3a）0， 若 a0，则不等式的解为 ax3a， 若 a0，则不等式的解为 3axa， q：2x3， 若 p 是 q 的必要不充分条件， 则 a0，且 即 1a2， 则实数 a 的取值范围是 1a2 19 （12 分）某市政府为了确定一个较为合理的居民用电标准，必须先了解全市 居民日常用电量的分布情况 现采用抽样调查的方式， 获得了 n 位居民在 2015 年的月均用电量（单位：度）数据，样本统计结果如图表： （1）求 n 的值和月均用电量的平均数估计值； （2） 如果用分层抽样的方法从用电量小于 30 度的居民中抽取 5 位居民， 再从这 5 位居民中选 2 人， 那么至少有 1 位居民

24、月均用电量在 20 至 30 度的概率是多 少？ 分组 0，10） 10，20） 20，30） 30，40） 40，50） 50，60 合计 频数 ， 频率 0.05 0.10 30 0.25 0.15 15 n1 【解答】解： （1）频数等于 45 时频率为 0.45， 第 1414 页（共 1717 页） （2 分） 月均用电量的平均数： （6 分） （2）用电量小于 30 度的居民共有 50 位，用分层抽样的方法从用电量小于 30 度的居民中抽取 5 位居民， 则第一组抽 1 人，第二组抽 1 人，第三组抽 3 人（8 分） 从这 5 位居民中选 2 人，共有 10 种选法， 至少有 1

25、 位居民月均用电量在 20 至 30 度的共有 9 种， （10 分） 至少有 1 位居民月均用电量在 20 至 30 度的概率是 （12 分） 20（12分） 四棱锥PABCD中， 四边形ABCD为正方形， PD平面ABCD， PD=DA=2， F，E 分别为 AD、PC 的中点 （1）证明：DE平面 PFB； （2）求三棱锥 APFB 的体积 【解答】解： （1）取 PB 中点 G，连接 EG，FG E，G 分别是 PC，PB 的中点， EGBC， DF ， ， EGDF，EG=DF 四边形 DEGF 是平行四边形， DEFG，DE 平面 PFB，FG平面 PFB DE平面 PFB （2）

26、， 第 1515 页（共 1717 页） 三棱锥 APFB 的体积 V= 21 （12 分）已知椭圆 E： 点，点 A（0，2） ，若直线 AF 的斜率为 （1）求椭圆 E 的方程； （2）过点 A 倾斜角为 的离心率为，F 是椭圆的右焦 ，O 为坐标原点 的直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，求OPQ 的面积 ，【解答】解： （1）设 F（c，0） ，由 A（0，2） ，直线 AF 的斜率为 可得 又 ，得， ，所以 a=2，b2=a2c2， ； ，所以直线方程为：， 故 E 的方程为： （2）直线的斜率为：tan120= 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，由， 消 y，化简得

27、： 可得 则 原点 O 到直线的距离： 所以： ， ， ， ， 22 （12 分）已知函数 f（x）=x（x+a）lnx，其中 a 为常数 第 1616 页（共 1717 页） （1）当 a=1 时，求 f（x）的极值； （2）若 f（x）是区间内的单调函数，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a=1 时， （2 分） 所以 f（x）在区间（0，1）内单调递减，在（1，+）内单调递增（4 分） 于是 f（x）有极小值 f（1）=0，无极大值（6 分） （2）易知 所以由题意可得 即 在区间 在 内单调递增， 内无解（8 分） 或 f（1）0（10 分） 解得实数 a 的取值范围是（，11，+） （12 分） 第 1717 页（共 1717 页）