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1、2014201520142015 学年四川省绵阳市高二（上）期末数学试卷（理科）学年四川省绵阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 4040 分在每小题给出的四分在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1 （4 分）刘徽是我国古代最伟大的数学家之一，他的（）是极限思想的开 始，他计算体积的思想是积分学的萌芽 A割圆术B勾股定理C大衍求一术D辗转相除法 2 （4 分）在极坐标系中，极坐标方程 =4sin表示的曲线是（） A圆B直线C椭圆D抛物线
2、3 （4 分）直线 l 的方程为 A30B60 x+3y1=0，则直线 l 的倾斜角为（） C120D150 4 （4 分）下列关于统计的说法正确的是（） A一组数据只能有一个众数 B一组数据可以有两个中位数 C一组数据的方差一定是非负数 D一组数据中的每一个数据都加上同一非零常数后，平均数不会发生变化 5 （4 分）有 5 件产品，其中 3 件正品，2 件次品，从中任取 2 件，则互斥而不 对立的两个事件是（） A至少有 1 件次品与至多有 1 件正品 B至少有 1 件次品与都是正品 C至少有 1 件次品与至少有 1 件正品 D恰有 1 件次品与恰有 2 件正品 6 （4 分）某市要对辖区内
3、的中学教师的年龄进行调查，现从中随机抽出200 名 教师，已知抽到的教师年龄都在25，50）岁之间，根据调查结果得出教师的年 龄情况残缺的频率分布直方图如图所示， 利用这个残缺的频率分布直方图估计该 市辖区内中学教师的年龄的中位数大约是（） 第 1 1 页（共 1717 页） A37.1 岁B38.1 岁C38.7 岁D43.1 岁 7 （4 分）执行如图的程序框图，任意输入一次 x（xZ，2x2）与 y（y Z，2y2） ，则能输出数对（x，y）的概率为（） ABCD x 的焦点，P 为 C 上一点，8 （4 分）已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2=4 若POF 的面积为 6 A
4、，则|PF|=（） BCD 9 （4 分）若方程 A =2x+m 有实数解，则实数 m 的取值范围是（） B，0）（0，0）2，+） 2，+）C （，D （，22，+） （x0，y0）上的动点，F1，F2为椭圆10 （4 分）已知点 P 是椭圆 的两个焦点，O 是坐标原点，若 M 是以线段 PF1为直径的圆上一点，且 M 到 F1PF2两边的距离相等，则的取值范围是（） 第 2 2 页（共 1717 页） A （0，）B （0，2）C，）D （3，2） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2020 分分 ） 11 （4 分）设 A（
5、3，2，1） ，B（1，0，5） ，则 AB 的中点 M 的坐标为 12 （4 分）如图算法最后输出的结果是 13 （4 分）质检部门对某超市甲、乙、丙三种商品共750 件进行分层抽样检查， 抽检员制作了如下的统计表格： 商品类别 商品数量（件） 样本容量 甲 x1 x3 乙 300 20 丙 x2 x4 表格中甲、丙商品的有关数据已被污染看不清楚（分别用 x1，x2，x3，x4表示） ， 若甲商品的样本容量比丙商品的样本容量多 6， 则根据以上信息可求得丙商品 数量 x2的值为 14 （4 分）已知 F1是双曲线（a0，b0）的左焦点，以线段F1O 为 边作正三角形 F1OM，若顶点 M 在
6、双曲线上，则双曲线的离心率是 15 （4 分）已知椭圆（ab0）及内部面积为S=ab ，A1，A2是长轴 的两个顶点，B1，B2是短轴的两个顶点，在椭圆上或椭圆内部随机取一点 P， 给出下列命题： PA1A2为钝角三角形的概率为 1； PB1B2为钝角三角形的概率为； PA1A2为钝角三角形的概率为； PB1B2为锐角三角形的概率为 第 3 3 页（共 1717 页） 其中正确的命题有 （填上你认为所有正确的命题序号） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 1010 分，共分，共 4040 分解答应写出文字说明、分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证
7、明过程或演算步骤 ） 16 （10 分）直线l 经过两直线 2xy+4=0 与 xy+5=0 的交点，且与直线l1：x+y 6=0 平行 （1）求直线 l 的方程； （2）若点 P（a，1）到直线l 的距离与直线 l1到直线 l 的距离相等，求实数a 的 值 17 （10 分）甲、乙两个竞赛队都参加了 10 场比赛，比赛得分情况记录如下（单 位：分） ： 甲队：57，41，51，40，49，39，52，43，45，53 乙队：30，50，67，47，66，34，46，30，64，66 （1）根据得分情况记录，请将茎叶图补充完整，并求乙队得分的中位数； （2）如果从甲、乙两队的 10 场得分中，
8、各随机抽取一场不小于 50 分的得分， 求甲的得分大于乙的得分的概率 18 （10 分）已知圆 C：x2+y2+2x3=0 （1）求过点 P（1，3）且与圆 C 相切的直线方程； （2）问是否存在斜率为 1 的直线 l，使以 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直线的圆经过 原点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由 19 （10 分）已知椭圆 C： 坐标原点，点 G（1， B （1）求椭圆 C 的方程； 第 4 4 页（共 1717 页） =1（ab0）的左焦点为 F（1，0） ，O 为 ）在椭圆上，过点 F 的直线 l 交椭圆于不同的两点 A、 （2）求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程；
9、 （3）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，P 为 x 轴上一点， 若 PA、PB 是菱形的两条邻边，求点 P 横坐标的取值范围 第 5 5 页（共 1717 页） 2014201520142015 学年四川省绵阳市高二学年四川省绵阳市高二 （上）（上） 期末数学试卷期末数学试卷 （理（理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 4040 分在每小题给出的四分在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1 （4 分
10、）刘徽是我国古代最伟大的数学家之一，他的（）是极限思想的开 始，他计算体积的思想是积分学的萌芽 A割圆术B勾股定理C大衍求一术D辗转相除法 【解答】解：刘徽是我国古代最伟大的数学家之一，他的“割圆术”是极限思想的 开始，他计算体积的思想是积分学的萌芽 故选：A 2 （4 分）在极坐标系中，极坐标方程 =4sin 表示的曲线是（） A圆B直线C椭圆D抛物线 【解答】解：由 =4sin，得 x2+y2=4y， x2+（y2）2=4， 它表示一个以（0，2）为圆心，以 2 为半径的圆， 故选：A 3 （4 分）直线 l 的方程为 A30B60 x+3y1=0，则直线 l 的倾斜角为（） C120D1
11、50 ，【解答】解：由直线 l 的方程为x+3y1=0，可得直线的斜率为 k= 设直线的倾斜角为 （0180） ， 则 tan= 故选：D 4 （4 分）下列关于统计的说法正确的是（） A一组数据只能有一个众数 第 6 6 页（共 1717 页） ，=150 B一组数据可以有两个中位数 C一组数据的方差一定是非负数 D一组数据中的每一个数据都加上同一非零常数后，平均数不会发生变化 【解答】解：一组数据可能有多个众数，A 错误， 一组数据只能有一个中位数，B 错误， 一组数据的方差一定是非负数，C 正确， 一组数据中的每一个数据都加上同一非零常数后，平均数发生变化，D 错误， 故选：C 5 （4
12、 分）有 5 件产品，其中 3 件正品，2 件次品，从中任取 2 件，则互斥而不 对立的两个事件是（） A至少有 1 件次品与至多有 1 件正品 B至少有 1 件次品与都是正品 C至少有 1 件次品与至少有 1 件正品 D恰有 1 件次品与恰有 2 件正品 【解答】解：A、至少有 1 件次品与至多有 1 件正品 不互斥，它们都包括了“一 件正品与一件次品”的情况，故不满足条件 B、至少有 1 件次品与都是正品是对立事件，故不满足条件 C、至少有 1 件次品与至少有 1 件正品 不互斥，它们都包括了“一件正品与一件 次品”的情况，故不满足条件 D、恰有 1 件次品与恰有 2 件正 是互斥事件，但
13、不是对立事件，因为除此之外 还有“两件都是次品”的情况， 故满足条件 故选：D 6 （4 分）某市要对辖区内的中学教师的年龄进行调查，现从中随机抽出200 名 教师，已知抽到的教师年龄都在25，50）岁之间，根据调查结果得出教师的 年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图 估计该市辖区内中学教师的年龄的中位数大约是（） 第 7 7 页（共 1717 页） A37.1 岁B38.1 岁C38.7 岁D43.1 岁 【解答】解：根据频率和等于 1，得； 年龄在30，35）岁之间的频率为 1（0.01+0.08+0.05+0.02）5=0.2 0.015+0.2=0.250
14、.5， 0.25+0.085=0.650.5， 令 0.25+0.08x=0.5， 解得 x=3.125； 该市辖区内中学教师的年龄的中位数大约 35+3.12538.1 岁 故选：B 7 （4 分）执行如图的程序框图，任意输入一次 x（xZ，2x2）与 y（y Z，2y2） ，则能输出数对（x，y）的概率为（） ABCD 【解答】解：估计题意，得； 第 8 8 页（共 1717 页） 所有的基本事件 = （x，y）| =（2，2） ， （2，1） ， （2，0） ， （2，1） ， （2，2） ， （1，2） ， （1，1） ， （1，0） ， （1，1） ， （1，2） ， （0，2） ，
15、 （0，1） ， （0，0） ， （0，1） ， （0，2） ， （1，2） ， （1，1） ， （1，0） ， （1，1） ， （1，2） ， （2，2） ， （2，1） ， （2，0） ， （2，1） ， （2，2）共 25 个； 设能输出数对（x，y）为事件 A，则 A=（x，y）| =（1，1） ， （2，1） ， （0，1） ， （1，1） ， （1，0） ， （1，2） ， （1，2） ， （0，1） ， （2，1）共 9 个； 所求概率为 P（A）= 故选：C 8 （4 分）已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2=4 若POF 的面积为 6 A ， x 的焦点，P 为 C
16、上一点， ，则|PF|=（） BCD 【解答】解：O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2=4 POF 的面积为 6， ，0） ， x 的焦点，P 为 C 上一点，若 可得抛物线的焦点坐标为： （ xP=3， ，可得 yP=6， 则|PF|= 故选：C 9 （4 分）若方程 A = =2x+m 有实数解，则实数 m 的取值范围是（） B，0）（0，0）2，+） 2，+） =2x+m 可化为 C （， 【解答】解：方程 m= D （，22，+） 2x； 第 9 9 页（共 1717 页） 作函数 m= 结合选项可得， 2x 的图象如下， 实数 m 的取值范围是（， 故选：C 2，+） ； 10 （
17、4 分）已知点 P 是椭圆（x0，y0）上的动点，F1，F2为椭圆 的两个焦点，O 是坐标原点，若 M 是以线段 PF1为直径的圆上一点，且 M 到 F1PF2两边的距离相等，则 A （0，）B （0，2 的取值范围是（） ） = C =2， ，）D （3，2） 【解答】解：由题意得 c= 当 P 在椭圆的短轴顶点处时，M 与 O 重合，|OM|取得最小值等于 0 当 P 在椭圆的长轴顶点处时，M 与 F1重合，|OM|取得最大值等于 c=2 由于 xy0，故|OM|的取值范围是（0，2 故选：B 第 1010 页（共 1717 页） ） ， 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5
18、小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2020 分分 ） 11 （4 分）设 A（3，2，1） ，B（1，0，5） ，则 AB 的中点 M 的坐标为（2，1， 3） 【解答】解：A（3，2，1） ，B（1，0，5） ， 设 AB 中点 M 坐标为（x，y，z） ，可得 x=（3+1）=2，y=（2+0）=1，z=（1+5）=3， 即得 M 坐标为（2，1，3） 故答案为： （2，1，3） 12 （4 分）如图算法最后输出的结果是18 【解答】解：模拟执行程序，可得 i=1，S=2 满足条件 i5，i=3，S=8 满足条件 i5，i=5，S=18 不满足条件 i5，退出循环，输出 S
19、的值为 18 故答案为：18 13 （4 分）质检部门对某超市甲、乙、丙三种商品共750 件进行分层抽样检查， 抽检员制作了如下的统计表格： 商品类别 商品数量（件） 样本容量 甲 x1 x3 乙 300 20 丙 x2 x4 表格中甲、丙商品的有关数据已被污染看不清楚（分别用 x1，x2，x3，x4表示） ， 若甲商品的样本容量比丙商品的样本容量多 6， 则根据以上信息可求得丙商品 数量 x2的值为180 【解答】解：根据题意，三种商品的抽样比例是相等的，为=， 第 1111 页（共 1717 页） 样本容量为=50； 又x3x4=6， x3+x4+20=50， 由、组成方程组，解得 x3=
20、18，x4=12； x2=1215=180 故答案为：180 14 （4 分）已知 F1是双曲线（a0，b0）的左焦点，以线段F1O 为 边作正三角形 F1OM， 若顶点 M 在双曲线上， 则双曲线的离心率是 【解答】解：双曲线（a0，b0）的左焦点 F1为（c，0） ， 以线段 F1O 为边作正三角形 F1OM， 则可设 M（， 由 M 在双曲线上，则 c） ， =1， 由 e=，b2=c2a2，则e2 则 e48e2+4=0，解得，e2=4 即有 e=+1 或1（舍去） ， =1， 故答案为： 15 （4 分）已知椭圆（ab0）及内部面积为S=ab，A1，A2是长轴 的两个顶点，B1，B2
21、是短轴的两个顶点，在椭圆上或椭圆内部随机取一点 P， 给出下列命题： PA1A2为钝角三角形的概率为 1； PB1B2为钝角三角形的概率为； PA1A2为钝角三角形的概率为； 第 1212 页（共 1717 页） PB1B2为锐角三角形的概率为 其中正确的命题有 （填上你认为所有正确的命题序号） 【解答】解：如图，以短轴两个顶点为直径的两个端点作圆 O， 则圆 O 的面积为：b2 易得当点 P 位于圆 O 内（含边界）时，PB1B2为钝角三角形， PB1B2为钝角三角形的概率为：=， 当点 P 位于圆 O 外、椭圆内（含边界）时，PB1B2为锐角三角形， PB1B2为锐角三角形的概率为：1 以
22、长轴两个顶点为直径的两个端点作圆 O， 则在椭圆上或椭圆内部随机取一点 P，PA1A2为钝角三角形， PA1A2为钝角三角形的概率为 1， 故答案为： =1=， 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 1010 分，共分，共 4040 分解答应写出文字说明、分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 ） 16 （10 分）直线l 经过两直线 2xy+4=0 与 xy+5=0 的交点，且与直线l1：x+y 6=0 平行 （1）求直线 l 的方程； （2）若点 P（a，1）到直线l 的距离与直线 l1到直线 l 的距离相等，求实数a 的 值 第
23、 1313 页（共 1717 页） 【解答】解： （1）由 即两直线的交点为（1，6） ， ，解得 直线 l1：x+y6=0 的斜率为1， 直线 l 的斜率为1， 直线 l 的方程为 y6=（x1） ，即 x+y7=0； （2）由题意知， 整理得：|a6|=1解得：a=7 或 a=5 17 （10 分）甲、乙两个竞赛队都参加了 10 场比赛，比赛得分情况记录如下（单 位：分） ： 甲队：57，41，51，40，49，39，52，43，45，53 乙队：30，50，67，47，66，34，46，30，64，66 （1）根据得分情况记录，请将茎叶图补充完整，并求乙队得分的中位数； （2）如果从甲、
24、乙两队的 10 场得分中，各随机抽取一场不小于 50 分的得分， 求甲的得分大于乙的得分的概率 【解答】解： （1）补全的茎叶图如图 乙队的中位数为（47+50）2=48 （2）甲队中得分不小于 50（分）的有 4 场，乙队中得分不小于 50（分）的有 5 场， 各从中抽取一场进行比较，共有 20 种情况 其中，甲的得分大于乙的得分仅有取到乙的得分为 50 的情况，共 4 种情况 第 1414 页（共 1717 页） 所求的概率为 18 （10 分）已知圆 C：x2+y2+2x3=0 （1）求过点 P（1，3）且与圆 C 相切的直线方程； （2）问是否存在斜率为 1 的直线 l，使以 l 被圆
25、 C 截得的弦 AB 为直线的圆经过 原点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）圆 C 的方程可化为（x+1）2+y2=4，即圆心为（1，0） ，半径 为 r=2 若过点 P 的直线斜率不存在，即 x=1，与圆 C 相切，满足条件；（1 分） 若过点 P 的切线斜率存在，设为 k， 则切线的方程为 y3=k（x1） ，即 kxyk+3=0， ，解得 k= 切线方程为 5x12y+31=0 综上，所求的切线方程为 x=1 或 5x12y+31=0（4 分） （2）假设直线存在，设方程为 y=x+b， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 若以 l 被圆 C 截
26、得的弦 AB 为直线的圆经过原点，则 OAOB， 即，即 x1x2+y1y2=0， 联立消去 y 得 2x2+（2b+2）x+b23=0， 则判别式=（2b+2）242（b23）=4b2+8b+280， 得 12b1+2， ， +b（b1）=， 则 x1+x2=b1，x1x2= 则 y1y2=（x1+b） （x2+b）=x1x2+b（x1+x2）+b2= 由 解得 b= +=0 得 b2b3=0， 或 b=， 检验都满足条件， 第 1515 页（共 1717 页） 故直线方程为 y=x+或 y=x 19 （10 分）已知椭圆 C： 坐标原点，点 G（1， B （1）求椭圆 C 的方程； =1（
27、ab0）的左焦点为 F（1，0） ，O 为 ）在椭圆上，过点 F 的直线 l 交椭圆于不同的两点 A、 （2）求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程； （3）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，P 为 x 轴上一点， 若 PA、PB 是菱形的两条邻边，求点 P 横坐标的取值范围 【解答】解： （1）由题意有 a2b2=1，且 解得 a2=2，b2=1， 椭圆 C 的方程为=1 （2 分） =1， （2）设 M（x，y） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x= 当 x1=x2时，M 点的坐标为（1，0） 当 x1x2时， 2 ，y= =1， 2=1， ，两式相减得
28、又 AB 过 F 点，于是 AB 的斜率为 =， ， 整理得 x2+2y2+x=0 （1，0）也满足上式， 第 1616 页（共 1717 页） M 的轨迹方程为 x2+2y2+x=0 （6 分）百 度 文库 （3）设 P（m，0） ，AB 的中点 M（a，b） ， 由（2）知，a2+2b2+a=0 |PA|=|PB|， PMAB kABkMP=1，即=1， 整理得 b2=a2a+am+m， 将代入中，得 a2+a2am2m=0， 化为 （a+1） （a2m）=0， a1， m= 由 2b2=a2a0（当 b=0 时，AB 与 x 轴垂直，不合题意，舍去） ，得1a 0， 于是m0，即 P 点的横坐标的取值范围为（，0） （10 分） 第 1717 页（共 1717 页）