2014-2015年贵州省贵阳市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案.pdf

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1、2014201520142015 学年贵州省贵阳市高二（上）期末数学试卷（理科）学年贵州省贵阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 4 分，共分，共 4040 分）分） 1 （4 分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部 分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的 视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中， 最合理的抽样方法是（） A简单的随机抽样 C按学段分层抽样 2 （4 分）“xy=0”是“x2+y2=0”的（） A充分不必要条件 C充要条件 B必要不充分条件 D既不充分也不必要条

2、件 B按性别分层抽样 D系统抽样 3 （4 分）把二进制 1011 （2）化为十进制数，则此数为（ ） A8B10C11D16 4 （4 分）已知命题p： xR，x2lgx，命题 q： xR，x20，则（） A命题 pq 是假命题 C命题 p（q）是真命题 B命题 pq 是真命题 D命题 p（q）是假命题 =1 的渐近线的距离是（） D 5 （4 分）抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2 ABC1 6 （4 分）如图是 1，2 两组各 7 名同学体重（单位：kg）数据的茎叶图，设 1， 2 两组数据的平均数依次为 （注：标准差 s= 的平均数） 和，标准差依次为 s1和 s2，那么（） ，

3、其中 为 x1，x2，xn A，s1s2B 第 1 1 页（共 1717 页） ，s1s2 C，s1s2D，s1s2 7 （4 分）已知椭圆的焦点 F1（1，0） ，F2（1，0） ，P 是椭圆上一点，且|F1F2| 是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（） A+=1B+=1 C+=1D+=1 8 （4 分）已知回归直线通过样本点的中心，若 x 与 y 之间的一组数据： x y 0 1.1 1 3.1 2 4.9 3 6.9 则 y 与 x 的线性回归方程=x+所表示的直线必过点（） A （，4）B （1，2）C （2，2）D （，0） 9 （4 分）执行如图所示的程序框图，输出的

4、 S 值为（） A162B200C242 ）2+（y D288 ）2=8，若点 P，Q 在曲10 （4 分）已知曲线 C 的方程是（x 线 C 上，则|PQ|的最大值是（） A6B8C8D6 第 2 2 页（共 1717 页） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 4 分，共分，共 2020 分）分） 11 （4 分）双曲线的离心率为 ，那么点 A 到此抛物线的焦点的距离12 （4 分）已知抛物线 y2=ax 过点 为 13 （4 分）下列四个结论，其中正确的有 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等； 如果一组数据中每个数减去同一个非零常数， 则这一组数的平均数改变，方差

5、 不改变； 一个样本的方差是 s2= 本数据的总和等于 60； 数据 a1，a2，a3，an的方差为 2，则数据 2a1，2a2，2a3，2an的方差 为 42 14 （4 分）已知椭圆的焦点为 F1、F2，P 为椭圆上一点F1PF2=90， （x13）2+（x23）2+（x203）2，则这组样 则PF1F2的面积是 15 （4 分）地面上有三个同心圆（如图） ，其半径分别为 3、2，1 若向图中最大 内投点且点投到图中阴影区域内的概率为 为 ，则两直线所夹锐角的弧度数 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 5 5 小题，共小题，共 4040 分）分） 16 （8 分）某校在自主招生考试成绩中

6、随机抽取 100 名学生的笔试成绩，被抽 取学生的成绩均不低于 160 分，且低于 185 分，如图是按成绩分组得到的频 率分布图的一部分（每一组均包括左端点数据） ，且第三组、第四组、第五组 第 3 3 页（共 1717 页） 的频数之比一次为 3：2：1 （1）请完成频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩较高的第三组、第四组、 第五组中用分层抽样 方法抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组 每组各抽取多少名学生进入第二轮面试 17 （8 分）甲袋中有 1 只白球，2 只红球，3 只黑球；乙袋中有 2 只白球，3 只 红球，1 只黑球现从两袋中各取一个

7、球 （1）求取得一个白球一个红球的概率； （2）求取得两球颜色相同的概率 18 （8 分）如图，60的二面角的棱上有 A，B 两点，线段AC，BD 分别在这个二 面角的两个半平面内，且 ACAB，BDAB，已知 AB=4，AC=6，BD=8 （1）用向量 （2）求| 、表示； |的值 19 （8 分）如图，在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB 垂直于 AD 和 BC，侧棱 SA底面 ABCD，且 SA=AB=BC=1，AD= （1）求四棱锥 SABCD 的体积； （2）求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的余弦值 第 4 4 页（共 1717 页） 20 （8 分）椭圆+=

8、1（ab0）的一个顶点为 A（0，3） ，离心率 e= （1）求椭圆方程； （2）若直线 l：y=kx3 与椭圆交于不同的两点 M，N若满足|AM|=|AN|，求 直线 l 的方程 第 5 5 页（共 1717 页） 2014201520142015 学年贵州省贵阳市高二学年贵州省贵阳市高二 （上）（上） 期末数学试卷期末数学试卷 （理（理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 4 分，共分，共 4040 分）分） 1 （4 分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部 分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中

9、三个学段学生的 视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中， 最合理的抽样方法是（） A简单的随机抽样 C按学段分层抽样 B按性别分层抽样 D系统抽样 【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样， 而事先已经了解到该地区小学、 初中、 高中三个学段学生的视力情况有较大差异， 而男女生视力情况差异不大 了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较 合理 故选：C 2 （4 分）“xy=0”是“x2+y2=0”的（） A充分不必要条件 C充要条件 【解答】解：xy=0， 或者 x=0，或 y=0 或 x=y=0； x2+y2=0

10、，可得 x=y=0， “x2+y2=0”“xy=0”； “xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件， 故选：B 3 （4 分）把二进制 1011 （2）化为十进制数，则此数为（ ） A8 B必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 B10C11 第 6 6 页（共 1717 页） D16 【解答】解：将二进制数 1100 化为十进制数为： 1100 （2） =123+12+1 =11 故选：C 4 （4 分）已知命题p： xR，x2lgx，命题 q： xR，x20，则（） A命题 pq 是假命题 C命题 p（q）是真命题 B命题 pq 是真命题 D命题 p（q）是假命题 【解答】解：由于

11、x=10 时，x2=8，lgx=lg10=1，故命题 p 为真命题， 令 x=0，则 x2=0，故命题 q 为假命题， 依据复合命题真假性的判断法则， 得到命题 pq 是真命题，命题 pq 是假命题，q 是真命题， 进而得到命题 p（q）是真命题，命题 p（q）是真命题 故选：C 5 （4 分）抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2 AB =1 的渐近线的距离是（） DC1 【解答】解：抛物线方程为 y2=4x 2p=4，可得 =1，抛物线的焦点 F（1，0） 又双曲线的方程为 a2=1 且 b2=3，可得 a=1 且 b= 双曲线的渐近线方程为 y= 化成一般式得： ， ，即 y=x， 因

12、此，抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线渐近线的距离为 d= 故选：B = 6 （4 分）如图是 1，2 两组各 7 名同学体重（单位：kg）数据的茎叶图，设 1， 2 两组数据的平均数依次为和，标准差依次为 s1和 s2，那么（） 第 7 7 页（共 1717 页） （注：标准差 s= 的平均数） ，其中 为 x1，x2， ，xn A C ，s1s2 ，s1s2 B D ，s1s2 ，s1s2 【解答】解：根据茎叶图中的数据，得； 1 组的平均数是 方差是 2 =（53+56+57+58+61+70+72）=61， =（5361）2+（5661）2+（5761）2+（5861）2+（6161）

13、 ，+（7061）2+（7261）2= ；标准差是 s1= 2 组的平均数是 方差是 2 =（54+56+58+60+61+72+73）=62， =（5462）2+（5662）2+（5862）2+（6062）2+（6162） ，+（7262）2+（7362）2= ；标准差是 s2= ，s1s2 故选：D 7 （4 分）已知椭圆的焦点 F1（1，0） ，F2（1，0） ，P 是椭圆上一点，且|F1F2| 是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（） A+=1B+=1 C+=1D+=1 【解答】解：F1（1，0） 、F2（1，0） ， 第 8 8 页（共 1717 页） |F1F2|=2，

14、 |F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项， 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|， 即|PF1|+|PF2|=4， 点 P 在以 F1，F2为焦点的椭圆上， 2a=4，a=2 c=1 b2=3， 椭圆的方程是 故选：C 8 （4 分）已知回归直线通过样本点的中心，若 x 与 y 之间的一组数据： x y 0 1.1 1 3.1 2 4.9 3 6.9 则 y 与 x 的线性回归方程=x+所表示的直线必过点（） A （，4）B （1，2）C （2，2）D （，0） 【解答】解：回归直线方程一定过样本的中心点（ ， ） ， =， =4， 样本中心点是（，4） ， 则 y 与 x 的线性回

15、归方程 y=bx+a 必过点（，4） ， 故选：A 9 （4 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（） 第 9 9 页（共 1717 页） A162B200C242D288 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 k=1，S=0 S=2，k=3 不满足条件 k20，S=8，k=5 不满足条件 k20，S=18，k=7 不满足条件 k20，S=32，k=9 不满足条件 k20，S=50，k=11 不满足条件 k20，S=72，k=13 不满足条件 k20，S=98，k=15 不满足条件 k20，S=128，k=17 不满足条件 k20，S=162，k=19 不满足条件 k20，S=200，k

16、=21 满足条件 k20，退出循环，输出 S 的值为 200 故选：B 10 （4 分）已知曲线 C 的方程是（x 线 C 上，则|PQ|的最大值是（） A6 ）2+（y）2=8，若点 P，Q 在曲 B8C8D6 【解答】解：当 x0，y0 时，方程是（x1）2+（y1）2=8； 第 1010 页（共 1717 页） 当 x0，y0 时，方程是（x1）2+（y+1）2=8； 当 x0，y0 时，方程是（x+1）2+（y1）2=8； 当 x0，y0 时，方程是（x+1）2+（y+1）2=8 曲线 C 既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称中心为（0，0） ，对称轴为 x， y 轴，点 P，Q 在

17、曲线 C 上，当且仅当 P，Q 与圆弧所在圆心共线时取得最大 值，|PQ|的最大值是圆心距加两个半径，即 6 故选：A ， 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 4 分，共分，共 2020 分）分） 11 （4 分）双曲线的离心率为 【解答】解：因为双曲线的方程为 所以 a2=4，a=2，b2=5， 所以 c2=9，c=3， 所以离心率 e= 故答案为 12 （4 分）已知抛物线 y2=ax 过点 为 ， ，那么点 A 到此抛物线的焦点的距离 【解答】解：抛物线 y2=ax 过点， 第 1111 页（共 1717 页） 1= a=4 抛物线方程为 y2=4x，焦点为（1，0） 点 A 到此

18、抛物线的焦点的距离为 故答案为： 13 （4 分）下列四个结论，其中正确的有 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等； 如果一组数据中每个数减去同一个非零常数， 则这一组数的平均数改变，方差 不改变； 一个样本的方差是 s2= 本数据的总和等于 60； 数据 a1，a2，a3，an的方差为 2，则数据 2a1，2a2，2a3，2an的方差 为 42 【解答】 解： 对于， 频率分布直方图中， 中位数左边和右边的直方图面积相等， 都等于，正确； 对于， 一组数据中每个数减去同一个非零常数 a， 这一组数的平均数变为 a， 方差 s2不改变，正确； 对于，一个样本的方差是 s2=（

19、x13）2+（x23）2+（x203）2， （x13）2+（x23）2+（x203）2，则这组样 = 这组样本数据的平均数是 3，数据总和为 320=60，正确； 对于，数据 a1，a2，a3，an的方差为 2，则数据 2a1，2a2，2a3，2an 的方差为（2）2=42，正确； 综上，正确的命题序号是 故答案为： （填对一个给一分） 14 （4 分）已知椭圆 则PF1F2的面积是9 【解答】解：椭圆 的焦点为 F1、F2，P 为椭圆上一点F1PF2=90， 的 a=5，b=3； 第 1212 页（共 1717 页） c=4， 设|PF1|=t1，|PF2|=t2， 则根据椭圆的定义得 t1

20、+t2=10， F1PF2=90，根据勾股定理得t12+t22=82， 由2得 t1t2=18， 故答案为：9 15 （4 分）地面上有三个同心圆（如图） ，其半径分别为 3、2，1 若向图中最大 内投点且点投到图中阴影区域内的概率为 ，则两直线所夹锐角的弧度数为 【解答】解：设两直线所夹锐角弧度为 ，则有： ， 解得：= 故答案为： 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 5 5 小题，共小题，共 4040 分）分） 16 （8 分）某校在自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，被抽 取学生的成绩均不低于 160 分，且低于 185 分，如图是按成绩分组得到的频 率分布图的一部分

21、（每一组均包括左端点数据） ，且第三组、第四组、第五组 的频数之比一次为 3：2：1 （1）请完成频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩较高的第三组、第四组、 第五组中用分层抽样 方法抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组 第 1313 页（共 1717 页） 每组各抽取多少名学生进入第二轮面试 【解答】解： （1）由题意值第 1，2 组的频数分别为 1000.015=5，1000.07 5=35， 故第 3，4，5 组的频数之和为 100535=60， 从而可得其频数分别为 30，20，10，其频率依次是 0.3，0.2，0.1， 其频率分布直方图如图

22、： ； （2）由第 3，4，5 组共 60 人，用分层抽样抽取 6 人， 故第 3，4，5 组中抽取的学生人数依次是 第 3 组： 第 4 组： 第 5 组： ， ， 17 （8 分）甲袋中有 1 只白球，2 只红球，3 只黑球；乙袋中有 2 只白球，3 只 红球，1 只黑球现从两袋中各取一个球 （1）求取得一个白球一个红球的概率； （2）求取得两球颜色相同的概率 【解答】解： （1）两袋中各取一个球，共有66=36 种取法，其中一个白球一个 红球，分为甲袋区取的为白球乙袋红球，甲袋红球乙袋白球，故有 13+2 2=7 种， 第 1414 页（共 1717 页） 故取得一个白球一个红球的概率

23、P=； （2）取得两球颜色相同有 12+23+31=11 种， 故取得两球颜色相同的概率 P= 18 （8 分）如图，60的二面角的棱上有 A，B 两点，线段AC，BD 分别在这个二 面角的两个半平面内，且 ACAB，BDAB，已知 AB=4，AC=6，BD=8 （1）用向量 （2）求| 、表示； |的值 【解答】解： （1）=+； （2）ACAB，BDAB， = =0， =+ =62+42+82+268cos（18060） =36+16+6448 =68 = 19 （8 分）如图，在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB 垂直于 AD 和 BC，侧棱 SA底面 ABCD，且 S

24、A=AB=BC=1，AD= （1）求四棱锥 SABCD 的体积； （2）求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的余弦值 第 1515 页（共 1717 页） 【解答】解： （1）底面 ABCD 是直角梯形，AB 垂直于 AD 和 BC，侧棱 SA底 面 ABCD，且 SA=AB=BC=1，AD=， 四棱锥 SABCD 的体积=； （2）以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 A（0，0，0） ，B（0，1，0） ，C（1，1，0） ，D（0.5，0，0， ） ，S（0，0，1） ， 则=（1，1，1） ，=（0.5，0，1） 设平面 SCD 的法向量是 =（x，y，z） ，则 令 z

25、=1，则 x=2，y=1于是 =（2，1，1） 设平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为 ， =（0.5，0，0） ，|cos|= 平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值为 20 （8 分）椭圆+=1（ab0）的一个顶点为 A（0，3） ，离心率 e= （1）求椭圆方程； （2）若直线 l：y=kx3 与椭圆交于不同的两点 M，N若满足|AM|=|AN|，求 直线 l 的方程 第 1616 页（共 1717 页） 【解答】解： （1）由一个顶点为 A（0，3） ，离心率 e=， 可得 b=3， =，a2b2=c2， 解得 a=5，c=4， 即有椭圆方程为+=1； （2）由|AM|=|AN|知点 A 在线段 MN 的垂直平分线上， 由，消去 y 得（9+25k2）x2150kx=0， 由 k0，得方程的=（150k）20，即方程有两个不相等的实数根 设 M（x1，y1） 、N（x2，y2） ，线段 MN 的中点 P（x0，y0） ， 则 x1+x2= y0=kx03= ，x0=， ，） ，即 P（ k0，直线 AP 的斜率为 k1=， 由 APMN，得 25k2=7，解得：k= 即有直线 l 的方程为 y= = ， ， x3 第 1717 页（共 1717 页）