2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一第二学期期末数学试卷含解析.pdf

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1、2015-20162015-2016 学年上海市闵行区七宝中学高一第二学期期末数学试学年上海市闵行区七宝中学高一第二学期期末数学试 卷卷 一、填空题一、填空题 1 （3 分）方程 cosxsin的解为 x 2 （3 分）设an为等差数列，若 a1+a5+a9，则 a2+a8 3 （3 分）求值： 4 （3 分）函数 yarccos（sinx） ， 5 （3 分）设数列an的前 n 项和 Sn，若 a11，Sn 公式为 6 （3 分）利用数学归纳法证明不等式“1+ 中，由“nk”变到“nk+1”时，左边增加了项 7 （3 分）若 f（x）2sinx1 在区间a，b（a，bR R 且 ab）上至少

2、含有 30 个零点，则 ba 的最小值为 8 （3 分）设数列 an的通项公式为an 9 （3 分）已知数列an中，其前 n 项和为 Sn，an 10 （3 分）对于正项数列an，定义 知某数列的“光阴”值为 22 的值域是 0（nN N*） ，则an的通项 （n2，nN N*） ”的过程 ，则（a1+a2+an） ，则 S9 为an的“光阴”值，现 ，则数列an的通项公式为 2 11 （3 分）ABC 中，sin Asin B+sin CsinBsinC，则 A 的取值范围为 12（3 分） 关于 x 的方程 x 4 arctan （cosx） +a 0 只有一个实数根， 则实数 a 13

3、（3 分） 等差数列an前 n 项和为 Sn， 已知 （a22）+2013 （a22） sin 2） +2013（a20132）cos 3 3 22 ， （a2013 ，则 S2014 14 （3 分）数列an的前 n 项和为 Sn，若数列an的各项按如下规律排列： ， 第 1 1 页（共 1717 页） ， a24； ，有如下运算和结论： 数列 a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，是等比数列； 数列 a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，的前 n 项和为 Tn 若存在正整数 k，使 Sk10，Sk+110，则 ak 其中正确的结论是 （将你认

4、为正确的结论序号都填上） 二、选择题二、选择题 15 （3 分）已知an、bn都是公差不为 0 的等差数列，且2，Sna1+a2+an， ； 则 A2 的值为（） B1C1D不存在 16 （3 分）设an是公比为 q（0|q|1）的无穷等比数列，若an的前四项之和等于第五 项起以后所有项之和，则数列a2n 1是（ ） A公比为的等比数列 B公比为 C公比为 D公比为 的等比数列 或 或 的等比数列 的等比数列 17 （3 分）函数 足此条件的一个 值为（） AB 图象的一条对称轴在内，则满 CD 18 （3 分）若数列an的前 n 项和为 Sn，则下列命题： （1）若数列an是递增数列，则数列

5、Sn也是递增数列； （2）数列Sn是递增数列的充要条件是数列an的各项均为正数； （3）若an是等差数列（公差 d0） ，则 S1S2Sk0 的充要条件是 a1a2ak0 （4）若an是等比数列，则 S1S2Sk0（k2，kN N ）的充要条件是 an+an+10 第 2 2 页（共 1717 页） 其中，正确命题的个数是（） A0 个 三、解答题三、解答题 19已知函数 f（x）x +（2n）x2n 的图象与 x 轴正半轴的交点为 A（an，0） ，n1， 2，3， （1）求数列an的通项公式； （2）令为正整数） ，问是否存在非零整数，使得对任意 2 B1 个C2 个D3 个 正整数 n，

6、都有 bn+1bn？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由 20已知函数 f（x）2sinxcosx+3sin x+cos x2，xR R； 22 （1）求函数 f（x）在（0，）上的单调递增区间； （2）在ABC 中，内角 A、B、C 所对边的长分别是 a，b，c，若 f（A）2，C 2，求ABC 的面积 S ABC 的值； 21已知函数 f（x）2sin（x） ，其中常数 0 （）令 1，判断函数的奇偶性，并说明理由 个单位，再向上平移1 个单位，得到 ，c （） 令 2，将函数yf（x）的图象向左平移 函数 yg（x）的图象对任意 aR R，求 yg（x）在区间a，a+10上的零点个数

7、的所 有可能 22已知数列an满足：a11，an+1 （1）求 a2、a3、a4； （2）求证：数列bn为等比数列，并求其通项公式； （3）求和 Tna2+a4+a2n； 23已知an，bn为两非零有理数列（即对任意的iN N ，ai，bi均为有理数） ，dn为一无 理数列（即对任意的 iN N ，di为无理数） （1）已知 bn2an，并且（an+bndnandn） （1+dn）0 对任意的 nN N 恒成立，试求dn 的通项公式 （2）若dn为有理数列，试证明：对任意的nN N ， （an+bndnandn） （1+dn）1 恒成立 3*22 22* * * ，bna2n2； 第 3 3

8、页（共 1717 页） 的充要条件为 （3）已知 sin2（0） ，dn，试计算 bn 第 4 4 页（共 1717 页） 2015-20162015-2016 学年上海市闵行区七宝中学高一第二学期期学年上海市闵行区七宝中学高一第二学期期 末数学试卷末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）方程 cosxsin 【考点】&5：三角方程 的解为 x2k（kZ Z） 【解答】解：因为方程 cosxsin 所以 x2k 故答案为：2k （kz） ， （kz） coscos（） ， 2 （3 分）设an为等差数列，若 a1+a5+a9，则 a2+a8 【考点

9、】84：等差数列的通项公式 【解答】解：a1+a5+a93a5， a5， ， a2+a82a5 故答案为： 3 （3 分）求值： 【考点】HV：反三角函数 【解答】解：由题意，sinarccos（） 故答案为： 的值域是 4 （3 分）函数 yarccos（sinx） ， 【考点】HV：反三角函数 【解答】解：当时，sinx1， 由于反余弦函数是定义域1，1上的减函数， 且 arccos（），arccos10， 第 5 5 页（共 1717 页） 所以值域为 故答案为： 0（nN N*） ，则an的通项5 （3 分）设数列an的前 n 项和 Sn，若 a11，Sn 公式为an 【考点】8H：数

10、列递推式 【解答】解：n2 时，anSnSn1an+1，化为：an+13an n1 时，1a1a2，解得 a22不满足上式 数列an在 n2 时成等比数列 n2 时，an23 an n2 故答案为：an （n2，nN N*） ”的过程 k 6 （3 分）利用数学归纳法证明不等式“1+ 中，由“nk”变到“nk+1”时，左边增加了2项 【考点】RG：数学归纳法 【解答】解：由题意，nk 时，最后一项为 由 nk 变到 nk+1 时，左边增加了 2 故答案为：2 k k+1k ，nk+1 时，最后一项为 k ， （2 +1）+12 ， 7 （3 分）若 f（x）2sinx1 在区间a，b（a，bR

11、 R 且 ab）上至少含有 30 个零点，则 ba 的最小值为 【考点】H1：三角函数的周期性 【解答】解：根据 f（x）2sinx10，即 sinx，故 x2k+，或 x2k+， f（x）2sinx1 在区间a，b（a，bR R 且 ab）上至少含有 30 个零点， 不妨假设 a（此时，k0） ，则此时 b 的最小值为 28+ ， ， （此时，k14） ， ba 的最小值为 28+ 第 6 6 页（共 1717 页） 故答案为： 8 （3 分）设数列an的通项公式为 an 【考点】8J：数列的极限 ，则（a1+a2+an） 【解答】解：数列an的通项公式为 an， 则 a1+a2+an1+2

12、+3+6+， 则（a1+a2+an） 6+ 故答案为： 9 （3 分）已知数列an中，其前 n 项和为 Sn，an 【考点】8E：数列的求和 ，则 S9377 【解答】解： 024 ， 68 数列的前 9 项分别为 2 ，3，2 ，7，2 ，11，2 ，15，2 +（3+7+11+15） 377 故答案为 377 10 （3 分）对于正项数列an，定义 知某数列的“光阴”值为 【考点】8H：数列递推式 为an的“光阴”值，现 ，则数列an的通项公式为 【解答】解： a1+2a2+nan 第 7 7 页（共 1717 页） a1+2a2+nan a1+2a2+（n1）an 1 得 故答案为： 2

13、22 11 （3 分）ABC 中，sin Asin B+sin CsinBsinC，则 A 的取值范围为（0，60 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理 【解答】解：利用正弦定理化简sin Asin B+sin CsinBsinC 得：a b +c bc， 变形得：b +c a bc， cosA， 222 222222 又 A 为三角形的内角， 则 A 的取值范围是（0，60 故答案为： （0，60 12（3 分） 关于 x 的方程 x 4 arctan （cosx） +a 0 只有一个实数根， 则实数 a1 【考点】HV：反三角函数 22 【解答】解：设 f（x）x 4arctan（cos

14、x）+a ，则 f（x）（x） 4arctan（cos （x） ）+a x 4arctan（cosx）+a f（x） f（x）为偶函数，其图象关于y 轴对称， 又依题意 f（x）只有一个零点，故此零点只能是x0， 所以 04arctan（cos0）+a 0， 4arctan1+a 0， 4 2 2 2 222 222 +a 0， 2 a 1，a1， 故答案为：1 13 （3 分） 等差数列an前 n 项和为 Sn， 已知 （a22）+2013 （a22） sin 2） +2013（a20132）cos 【考点】83：等差数列的性质 3 ， （a2013 3 ，则 S20144028 第 8 8

15、 页（共 1717 页） 【解答】解： （a22） +2013（a22）sin （a20132） +2013（a20132）cos +得， 3 3 ， ， （a22） +2013（a22）+（a20132） +2013（a20132）0， 即（a22+a20132）（a22） （a22） （a20132）+（a20132） +2013（a22+a2013 2）0， a22+a201320， 即 a2+a20134， S2014 故答案为：4028 14 （3 分）数列an的前 n 项和为 Sn，若数列an的各项按如下规律排列： ， ， a24； 数列 a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+

16、a8+a9+a10，是等比数列； 数列 a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，的前 n 项和为 Tn 若存在正整数 k，使 Sk10，Sk+110，则 ak 其中正确的结论是 （将你认为正确的结论序号都填上） 【考点】2K：命题的真假判断与应用；87：等比数列的性质；8E：数列的求和；8K：数列 与不等式的综合 33 22 1007（a2+a2013）4028， ，有如下运算和结论： ； 【解答】 解：前 24 项构成的数列是： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， a24，故正确； 数列 a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，是，

17、1，2， 由等差数列定义（常数） ， 所以数列 a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，是等差数列，故不正确 数列 a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，是等差数列， 第 9 9 页（共 1717 页） 所以由等差数列前 n 项和公式可知：Tn 由知 Sk10，Sk+110， 即：， ，故正确； ，k7，ak故正确 故答案为： 二、选择题二、选择题 15 （3 分）已知an、bn都是公差不为 0 的等差数列，且2，Sna1+a2+an， 则 A2 的值为（） B1C1D不存在 【考点】8J：数列的极限 【解答】解：因为an和bn都是公差不为零的等差

18、数列， 所以设 bnb1+（n1）d1ana1+（n1）d2 故2，可得 d12d2 又因为 a1+a2+anna1+和 b2nb1+（2n1）d1代入 则（2）1 故选：C 16 （3 分）设an是公比为 q（0|q|1）的无穷等比数列，若an的前四项之和等于第五 项起以后所有项之和，则数列a2n 1是（ ） A公比为的等比数列 B公比为 C公比为 D公比为 的等比数列 或 或 的等比数列 的等比数列 【考点】89：等比数列的前 n 项和 【解答】解：根据题意，若an的前四项之和等于第五项起以后所有项之和， 第 1010 页（共 1717 页） 则 Sn2S4， 又由an是公比为 q（0|q

19、|1）的无穷等比数列，则2，变形可得 q 4 ，则 q， 数列a2n1为an的奇数项组成的数列，则数列a2n1为公比为 q 故选：B 17 （3 分）函数 足此条件的一个 值为（） AB 2 的等比数列； 图象的一条对称轴在内，则满 CD 【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性 【解答】解：函数 kZ Z， 函数 所以 故选：A 18 （3 分）若数列an的前 n 项和为 Sn，则下列命题： （1）若数列an是递增数列，则数列Sn也是递增数列； （2）数列Sn是递增数列的充要条件是数列an的各项均为正数； （3）若an是等差数列（公差 d0） ，则 S1S2Sk0 的充要条件是 a1a2ak0

20、 （4）若an是等比数列，则 S1S2Sk0（k2，kN N）的充要条件是 an+an+10 其中，正确命题的个数是（） A0 个B1 个C2 个 图象的对称轴方程为：x 图象的一条对称轴在 当 k0 时 内， ， D3 个 【考点】83：等差数列的性质；87：等比数列的性质 【解答】解：数列an的前 n 项和为 Sn，故 Sna1+a2+a3+an， 若数列an是递增数列，则数列Sn不一定是递增数列，如当an0 时，数列Sn是递减数 列，故（1）不正确 由数列Sn是递增数列，不能推出数列an的各项均为正数，如数列：0，1，2，3， 第 1111 页（共 1717 页） 满足Sn是递增数列，但

21、不满足数列an的各项均为正数，故（2）不正确 若an是等差数列 （公差 d0） ， 则由 S1S2Sk0 不能推出 a1a2ak0， 例如数列： 3， 1，1，3， 满足 S40，但 a1a2a3a40，故（3）不正确 若an是等比数列， 则由 S1S2Sk0 （k2， kN N） 可得数列的an公比为1， 故有 an+an+1 0 由 an+an+10 可得数列的an公比为1，可得 S1S2Sk0（k2，kN N） ，故（4）正确 故选：B 三、解答题三、解答题 19已知函数 f（x）x +（2n）x2n 的图象与 x 轴正半轴的交点为 A（an，0） ，n1， 2，3， （1）求数列an的

22、通项公式； （2）令为正整数） ，问是否存在非零整数，使得对任意 2 正整数 n，都有 bn+1bn？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由 【考点】84：等差数列的通项公式；8K：数列与不等式的综合 【解答】解： （1）设 f（x）0，x +（2n）x2n0 得 x12，x2n 所以 ann（4 分） （2）bn3 +（1） 即：3n+1 n nn1 2 2 ，若存在 0，满足 bn+1bn恒成立 3 +（1） nn1 n +（1） 2n+12 ， （6 分） n 恒成立（8 分） 当 n 为奇数时， 当 n 为偶数时， 所以（13 分） ， 1（10 分） （12 分） 故：1（14 分

23、） 20已知函数 f（x）2sinxcosx+3sin x+cos x2，xR R； 22 （1）求函数 f（x）在（0，）上的单调递增区间； （2）在ABC 中，内角 A、B、C 所对边的长分别是 a，b，c，若 f（A）2，C 2，求ABC 的面积 SABC的值； 第 1212 页（共 1717 页） ，c 【考点】HR：余弦定理 【解答】解： （1）因为 f（x）2 sin2x+2sin x1 sin2xcos2x ） ， 2 sinxcosx+3sin x+cos x2 22 2sin（2x 由 得 +2k+2k，kZ Z， +kx+k，kZ Z， 或x， ，） ， ）1， 又 x（0

24、，） ，所以 0 x 所以函数 f（x）在（0，）上的递增区间为： （0， （2）因为 f（A）2，2sin（2A 2A+2k，kZ Z，A B， ）2，sin（2A +k，kZ Z， 0A，A 在三角形 ABC 中由正弦定理得，a， S ABC acsinB2sin 21已知函数 f（x）2sin（x） ，其中常数 0 （）令 1，判断函数的奇偶性，并说明理由 个单位，再向上平移1 个单位，得到（） 令 2，将函数yf（x）的图象向左平移 函数 yg（x）的图象对任意 aR R，求 yg（x）在区间a，a+10上的零点个数的所 有可能 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；53：函数的零点与

25、方程根的关系；HJ：函数 y Asin（x+）的图象变换 【解答】解： （1）f（x）2sinx， F（x）f（x）+f（x+ F（）2，F（ ）2sinx+2sin（x+ ）0，F（ ）2（sinx+cosx） ， ）F（） ，F（）F（） ， 第 1313 页（共 1717 页） 所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数 （2）f（x）2sin2x， 将 yf（x）的图象向左平移个单位，再向上平移 1 个单位后得到 y2sin2（x+ ）+1 （kz） ， ）+1 的图象，所以 g（x）2sin2（x+ 令 g（x）0，得 xk+或 xk+ 因为a，a+10恰含 10 个周期，所以，当 a

26、 是零点时，在a，a+10上零点个数 21， 当 a 不是零点时，a+k（kz）也都不是零点，区间a+k，a+（k+1）上恰有两个零点， 故在a，a+10上有 20 个零点 综上，yg（x）在a，a+10上零点个数的所有可能值为21 或 20 22已知数列an满足：a11，an+1 （1）求 a2、a3、a4； （2）求证：数列bn为等比数列，并求其通项公式； （3）求和 Tna2+a4+a2n； 【考点】8E：数列的求和 ，bna2n2； 【解答】解： （1）a11，an+1 可得 a21+a11+； a3a24，a43+a3； ， （2）证明：bna2n2a2n1+2n12（a2n24n+

27、4）+2n12 （a2n22）bn1， 可得数列bn为公比为，首项为等比数列， 即 bn（） ； （3）由（2）可得 a2n2（） ， Tna2+a4+a2n2n（+） n n 第 1414 页（共 1717 页） 2n2n1+（） n 23已知an，bn为两非零有理数列（即对任意的iN N ，ai，bi均为有理数） ，dn为一无 理数列（即对任意的 iN N ，di为无理数） （1）已知 bn2an，并且（an+bndnandn） （1+dn）0 对任意的 nN N 恒成立，试求dn 的通项公式 （2）若dn为有理数列，试证明：对任意的nN N ， （an+bndnandn） （1+dn）1

28、 恒成立 3*22 22* * * 的充要条件为 （3）已知 sin2（0） ，dn，试计算 bn 【考点】8B：数列的应用；8H：数列递推式 【解答】解： （1） an0， （2） ， ， ， an，bn， ， 为有理数列，dn为无理数列， ， ，即， ，以上每一步可逆 （3） ，25tan12+12tan ， 2 第 1515 页（共 1717 页） 当 n2k（kN N ）时， 当 n2k1（kN N ）时， ， an，bn， ， 为有理数列，dn为无理数列， * * ， ， 为有理数列， ， 当 n2k（kN N ）时， 当 n2k1（kN N ）时， * ， * 第 1616 页（共 1717 页） 第 1717 页（共 1717 页）