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1、2017201820172018 学年湖北省宜昌市部分示范高中联考高三（上）期中学年湖北省宜昌市部分示范高中联考高三（上）期中 数学试卷（理科）数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分 ） 1 （5 分）sin570的值是（） AB CD 2 （5 分）已知集合 A=x|x2160，B=5，0，1，则（） AAB=BB ACAB=0，1DA B ，则cossin 的值为（）3 （5 分）已知（0，） ，且 ABCD 4 （5 分）已知命题 p： xR，32x+10，有命题 q：0 x2 是 log2x1
2、 的充 分不必要条件，则下列命题为真命题的是（） Ap BpqCpq Dpq ）的最小正周期为5 （5 分）已知函数 f（x）=sin（x+）+1（0，| 4，且对任意 xR，都有 f（x） 的坐标是（） ABCD 成立，则 f（x）图象的一个对称中心 6 （5 分） 若等比数列an的首项为， 且 a4= A3 B2C3D2 （1+2x） dx， 则公比等于 （） 7 （5 分）函数 f（x）=sin（x+） （其中 0 且|）的图象如图所示， 为了得到 y=sinx 的图象，只需把 y=f（x）的图象上所有点（） A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度 第 1 1 页（共 1717 页）
3、 C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度 8 （5 分）函数 f（x）=log2x的零点包含于区间（） A （1，2） B （2，3） C （3，4） D （4，+） 9 （5 分）若 围是（） A1，+）B （1，+）C （，1 ）=，则 tan（+ D （1，1） ）的值是（） 在（1，+）上是减函数，则 a 的取值范 10 （5 分）设 tan（+）=，tan（ ABCD 11 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且a1=1，an+ 1=Sn+2，则满足 的 n 的最小值为（） A4B5C6D7 ，其中 e 为自然对数的底数，若关于12 （5 分）已知函数 f（x）= x
4、的方程 f（f（x） ）=0 有且只有一个实数解，则 a 实数的取值范围是（） A （，0） B （，0）（0，1） C （0，1） D （0，1）（ 1，+） 二、二、 填空题填空题（本大题共（本大题共 4 4 小题，小题， 每小题每小题 5 5 分，分， 共共 2020 分，分， 请把答案填在答题卡上请把答案填在答题卡上 ） 13 （5 分）已知 14 （5 分）若函数 =1，则 tan= 是奇函数，则 a= 15 （5 分）已知ABC 的三边长分别为 3，5，7，则该三角形的外接圆半径等 于 16（5 分） 已知数列an与bn满足 an=2bn+3 （nN*） ， 若bn的前 n 项和为
5、 Sn= （3n1）且 anbn+36（n3）+3 对一切 nN*恒成立，则实数 的取值范围 是 第 2 2 页（共 1717 页） 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算过程三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算过程 ） 17 （10 分）已知命题 p：函数 f（x）为定义在 R 上的单调递减函数，实数 m 满 足不等式 f（m+1）f（32m） 命题 q：当 x 2sinx+1 有解 求使“p 且 q”为真命题的实数 m 的取值范围 18（12 分） 在ABC 中， 角 A、 B、 C 所对的边为 a、 b、 c， 且满足 cos2Acos2B=2cos （A）cos（A+
6、） 时，方程 m=sin2x （）求角 B 的值； （）若 b=a，求 2ac 的取值范围 19 （12 分）为了了解中学生的体能状况，某校抽取了n 名高一学生进行一分钟 跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图） ，图中第二小 组频数为 14 （1）求频率分布直方图中 a 的值及抽取的学生人数 n； （2）现从跳绳次数在179.5，199.5内的学生中随机选取 3 人，记 3 人中跳绳次 数在189.5，199.5内的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望 20 （12 分）已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，且 （）求数列an的通项公式； （）设 Tn为数列的前 n 项
7、和，证明： 是 1 与 an的等差中项 1（nN*） 21 （12 分）如图，多面体ABCDEF 中，正方形ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相 垂直，已知 ABCD，ADCD，AB=2，CD=4，直线 BE 与平面 ABCD 所成的角的 正切值等于 第 3 3 页（共 1717 页） （1）求证：平面 BCE平面 BDE； （2）求平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值 22 （12 分）已知函数 f（x）= （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若 g（x）=xf（x）+mx 在区间（0，e上的最大值为3，求 m 的值； （3）若 x1 时，有不等式 f（x）恒成立，求
8、实数 k 的取值范围 第 4 4 页（共 1717 页） 2017201820172018 学年湖北省宜昌市部分示范高中联考高三学年湖北省宜昌市部分示范高中联考高三 （上）期中数学试卷（理科）（上）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分 ） 1 （5 分）sin570的值是（） AB CD 【解答】解：原式=sin（720150）=sin150= 故选：B 2 （5 分）已知集合 A=x|x2160，B=5，0，1，则（） AAB=BB ACAB=0，1DA
9、B 【解答】解：A=x|x2160=x|4x4，B=5，0，1， 则 AB=0，1， 故选：C 3 （5 分）已知（0，） ，且，则cossin 的值为（ ABCD 【解答】解：cos+sin=（cos+sin）=cos（）=， cos（）=，且 必为钝角 又 （0，） ，（，） ， =，即 =， sin=sin=sin（+）=sincos+cossin=， cos=cos=cos（+）=coscossinsin=， 第 5 5 页（共 1717 页） ） 则 cossin= 故选：B = 4 （5 分）已知命题 p： xR，32x+10，有命题 q：0 x2 是 log2x1 的充 分不必要
10、条件，则下列命题为真命题的是（） Ap BpqCpq Dpq 【解答】解：命题 p： xR，32x+10，命题 p 为真， 由 log2x1，解得：0 x2，0 x2 是 log2x1 的充分必要条件， 命题 q 为假， 故选：C 5 （5 分）已知函数 f（x）=sin（x+）+1（0，| 4，且对任意 xR，都有 f（x） 的坐标是（） ABCD ）的最小正周期为 成立，则 f（x）图象的一个对称中心 【解答】解：已知函数f（x）=sin（x+）+1（0，| 为 4， 则：T= 解得： 成立， ） ， ， ）的最小正周期 对任意 xR，都有 f（x） 则函数 f（x）的最大值为：f（ 则：
11、 解得：=2k+ 由于：| =（kZ） ， （kZ） ， ， ， 第 6 6 页（共 1717 页） 故当 k=0 时，= 所以函数的解析式为：f（x）=sin（ 令=k（kZ） ， （kZ） ， ， ） ）+1 解得：x=2k 当 k=0 时，x= 故函数的对称中心为（ 故选：B 6 （5 分） 若等比数列an的首项为， 且 a4= A3 B2C3D2 （1+2x） dx， 则公比等于 （） 【解答】解：a4= =（x+x2）| （1+2x）dx =4+162=18， 设公比为 q，则 a4=a1q3， 即 18=q3， 解得 q=3， 故选：C 7 （5 分）函数 f（x）=sin（x+）
12、 （其中 0 且|）的图象如图所示， 为了得到 y=sinx 的图象，只需把 y=f（x）的图象上所有点（） A向右平移 C向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度 个单位长度 ）的图象，可得【解答】结：由函数f（x）=sin（x+） （其中 0 且| 第 7 7 页（共 1717 页） =，=2， +=，=，f（x）=sin（2x+） 再根据五点法作图可得 2 故把 y=f（x）的图象上所有点向右平移 故选：A 个单位，可得 y=sin2x 的图象， 8 （5 分）函数 f（x）=log2x的零点包含于区间（） A （1，2） B （2，3） C （3，4） D
13、（4，+） 【解答】解：函数 f（x）=log2x在（0，+）上连续， f（3）=log230；f（4）=log24 =0； 故函数 f（x）=log2x的零点所在的区间是（3，4） 故选：C 9 （5 分）若 围是（） A1，+）B （1，+）C （，1D （1，1） 在（1，+）上是减函数，则 a 的取值范 【解答】解：由题意可知 f（x）=x+0 在 x（1，+）上恒成立， 即 ax（x+2）在 x（1，+）上恒成立， 令 f（x）=x（x+2）=x2+2x，x（1，+） ， f（x）1， 要使 ax（x+2） ，需 a1， 故 a 的取值范围为（，1； 故选：C 10 （5 分）设 t
14、an（+）=，tan（ ABCD ）=，则 tan（+）的值是（） 第 8 8 页（共 1717 页） 【解答】解：tan（+）=，tan（ 则tan（+）=tan ）=， （+）（ ）=， 故选：B 11 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且a1=1，an +1=Sn+2，则满足 的 n 的最小值为（） A4B5C6D7 【解答】解：由 an +1=Sn+2，得 Sn+1Sn=Sn+2， Sn +1=2Sn+2，则 Sn+1+2=2（Sn+2） ， S1+2=a1+2=3， 数列Sn+2构成以 3 为首项，以 2 为公比的等比数列， 则 由 解得： ，即 ，得 （舍） ，或 ，得
15、 22n102n+120， n 的最小值为 4 故选：A 12 （5 分）已知函数 f（x）=，其中 e 为自然对数的底数，若关于 x 的方程 f（f（x） ）=0 有且只有一个实数解，则 a 实数的取值范围是（） A （，0） B （，0）（0，1） C （0，1） D （0，1）（ 1，+） 【解答】解：若 a=0 则方程 f（f（x） ）=0 有无数个实根，不满足条件， 若 a0，若 f（f（x） ）=0， 第 9 9 页（共 1717 页） 则 f（x）=1， x0 时，f（）=1， 关于 x 的方程 f（f（x） ）=0 有且只有一个实数解， 故当 x0 时，aex=1 无解， 即
16、故 在 x0 时无解， ， 故 a（，0）（0，1） ， 故选：B 二、二、 填空题填空题（本大题共（本大题共 4 4 小题，小题， 每小题每小题 5 5 分，分， 共共 2020 分，分， 请把答案填在答题卡上请把答案填在答题卡上 ） 13 （5 分）已知 【解答】解： 可得： 解得 tan= 故答案为：； 14 （5 分）若函数是奇函数，则 a=3 ， =1，则 tan= =1， 【解答】解：函数 f（x）在 R 上时奇函数， 故 a=3， 故答案为：3 15 （5 分）已知ABC 的三边长分别为 3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 =， 第 1010 页（共 1717 页） 【解答】
17、解：可设ABC 的三边分别为 a=3，b=5，c=7， 由余弦定理可得，cosC= 可得 sinC=， = = ， 可得该三角形的外接圆半径为 故答案为： 16（5 分） 已知数列an与bn满足 an=2bn+3 （nN*） ， 若bn的前 n 项和为 Sn= （3n1）且 anbn+36（n3）+3 对一切 nN*恒成立，则实数 的取值范围 是（，+） ， ， ， 【解答】解：由 Sn=（3n1） ，得 当 n2 时， 当 n=1 时，上式成立， 代入 an=2bn+3，得 代入 anbn+36（n3）+3，得 （an3）bn+36（n3） ， 即 23n3n+36（n3） ， 则 + 由
18、n=4 时， + 故答案为： （ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算过程三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算过程 ） 17 （10 分）已知命题 p：函数 f（x）为定义在 R 上的单调递减函数，实数 m 满 足不等式 f（m+1）f（32m） 命题 q：当 x 2sinx+1 有解 第 1111 页（共 1717 页） = 有最大值为 ，+） ，得 n3 时，方程 m=sin2x 求使“p 且 q”为真命题的实数 m 的取值范围 【解答】解：对于命题 p：由函数 f（x）为 R 上的单调递减函数得： m+132m，解得 对于命题 q：当 x （2 分） 时，sin x0
19、，1， m=cos2x2sin x=sin2x2sin x+1=（sin x+1）2+22，1，（6 分） 综上，要使“p 且 q”为真命题，只需 p 真 q 真，即 解得实数 m 的取值范围是（，1（10 分） 18（12 分） 在ABC 中， 角 A、 B、 C 所对的边为 a、 b、 c， 且满足 cos2Acos2B=2cos （A）cos（A+） （）求角 B 的值； （）若 b=a，求 2ac 的取值范围 ）cos（A+） ， 【解答】解： （I）cos2Acos2B=2cos（A 根据两角和与差的正、余弦公式可得：2sin2B2sin2A=2 整理可得 sinB= 故 B=或 ，
20、 =2， ，B（0，） （II）因为 ba，所以 B= 由正弦定理= 得 a=2sinA，c=2sinC， 2ac=4sinA2sinC=4sinA2sin =3sinAcosA=2 A 第 1212 页（共 1717 页） ， ，A，因为 ba，所以 所以 2ac 19 （12 分）为了了解中学生的体能状况，某校抽取了n 名高一学生进行一分钟 跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图） ，图中第二小 组频数为 14 （1）求频率分布直方图中 a 的值及抽取的学生人数 n； （2）现从跳绳次数在179.5，199.5内的学生中随机选取 3 人，记 3 人中跳绳次 数在189.5
21、，199.5内的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望 【解答】解： （1）由频率分布直方图得： （0.008+a+0.04+0.016+0.008）10=1， 解得 a=0.028 抽取的学生人数为 n=50 人 （2）跳绳次数在179.5，199.5内的学生有：50（0.016+0.008）10=12 人， 其中跳绳次数在189.5，199.5内的学生有：500.00810=4 人， 由题意 X 的可能取值为 0，1，2，3， P（X=0）=， P（X=1）=， P（X=2）=， P（X=3）=， 第 1313 页（共 1717 页） 随机变量 X 的分布列为 X P 0123 （10 分
22、） 随机变量 X 的数学期望为： E（X）= 20 （12 分）已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，且 （）求数列an的通项公式； （）设 Tn为数列的前 n 项和，证明： ， 1（nN*） 是 1 与 an的等差中项 =1（12 分） 【解答】 （）解：由题意， 即 当 n=1 时， 当 n2 时， 得： 整理得： （an+an 1） （anan12）=0， an0，anan 1=2（n2） ， ， ，解得：a1=1， ， ， an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 即 an=1+2（n1）=2n1； （）证明： Tn1 又 ， ， = ， ， 第 1414 页（共 1717 页）
23、 综上，1（nN*）成立 21 （12 分）如图，多面体ABCDEF 中，正方形ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相 垂直，已知 ABCD，ADCD，AB=2，CD=4，直线 BE 与平面 ABCD 所成的角的 正切值等于 （1）求证：平面 BCE平面 BDE； （2）求平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值 【解答】 （1）证明：在正方形 ADEF 中，EDAD 平面 ADEF平面 ABCD， 平面 ADEF平面 ABCD=AD， ED平面 ABCD， BC 平面 ABCD，BCED ED平面 ABCD，EBD 为 BE 与平面 ABCD 所成的角， 设 ED=a，则 AD=
24、a，DB= 在 RtEDB 中，tanEBD= 在直角梯形 ABCD 中，BC=2 在BDC 中，BD=2，BC=2 ， ，CD=4， ， =，a=2，（3 分） BD2+BC2=CD2，BCBD 又 EDBD=D，故 BC平面 BDE 又 BC 平面 BEC，则平面 BDE平面 BEC（6 分） （2）解：由题知，DA，DC，DE 两两垂直，如图，以 D 为原点，DA，DC，DE 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，（7 分） 第 1515 页（共 1717 页） 则 D（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B（2，2，0） ，F（2，0，2） ，C（0，4，0） ，
25、E （0，0，2） ， 取平面 CDE 的一个法向量=（2，0，0） ，（8 分） 设平面 BDF 的一个法向量 =（x，y，z） ， 则 令 x=1，则 y=z=1， 所以 =（1，1，1） （10 分） 、 设平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的大小为 ， 则 cos=|cos， |=，（11 分） （12 分）所以平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值是 22 （12 分）已知函数 f（x）= （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若 g（x）=xf（x）+mx 在区间（0，e上的最大值为3，求 m 的值； （3）若 x1 时，有不等式 f（x）恒成立，求实数 k
26、 的取值范围 ，令 f（x）=0，【解答】解： （1）易知 f（x）定义域为（0，+） ， 得 x=1 当 0 x1 时，f（x）0；当 x1 时，f（x）0 f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数 第 1616 页（共 1717 页） （2）g（x）=1+lnx+mx，x（0，e， 若 m0，则 g（x）0，从而 g（x）在（0，e上是增函数，g（x）max=g （e）=me+20，不合题意 若 m0，则由 g（x）0，即 增函数， 由知不合题意 由 g（x）0，即 从而 g（x）在 上是增函数，在 ，令 ln（ ，所求的 m=e3 恒成立，k（x+1）f（x）=lnx+ ， 恒大于 0， +1， 为减函数， ）=3，所以 m=e3， ，若，g（x）在（0，e上是 （3）x1 时， 令 h（x）在1，+）为增函数， h（x）min=h（1）=2，k2 第 1717 页（共 1717 页）