《2018年北京市高考数学试卷(文科)(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年北京市高考数学试卷(文科)(解析版).pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、20182018 年北京市高考数学试卷（文科）年北京市高考数学试卷（文科） 一、选择题共一、选择题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项中，选分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。出符合题目要求的一项。 1 （5 分）已知集合 A=x|x|2，B=2，0，1，2，则 AB=（） A0，1 B1，0，1 2 （5 分）在复平面内，复数 A第一象限B第二象限 C2，0，1，2 D1，0，1，2 的共轭复数对应的点位于（） C第三象限D第四象限 3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（） ABCD 4 （5
2、分）设 a，b，c，d 是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的 （） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 5 （5 分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出 半音比例， 为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分 成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前 一个单音的频率的比都等于 率为（） Af BfC 若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频 fDf 6 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个 数为（） A1B2C3D4
3、，7 （5 分）在平面直角坐标系中，是圆 x2+y2=1 上的四段弧（如 图） ，点 P 其中一段上，角 以 Ox 为始边，OP 为终边若 tancossin， 则 P 所在的圆弧是（） ABCD 8 （5 分）设集合 A=（x，y）|xy1，ax+y4，xay2，则（） A对任意实数 a， （2，1）A B对任意实数 a， （2，1）A C当且仅当 a0 时， （2，1）AD当且仅当 a 时， （2，1）A 二、填空题共二、填空题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分。分。 9 （5 分）设向量 =（1，0） ， =（1，m） 若 （m ） ，则 m= 10
4、 （5 分）已知直线 l 过点（1，0）且垂直于 x 轴若 l 被抛物线 y2=4ax 截得的 线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为 11 （5 分） 能说明“若 ab， 则”为假命题的一组 a， b 的值依次为 12 （5 分）若双曲线=1（a0）的离心率为，则 a= 13 （5 分）若 x，y 满足 x+1y2x，则 2yx 的最小值是 14 （5 分）若ABC 的面积为 的取值范围是 三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15 （13 分）设an是等差数列，且 a1=ln2，a
5、2+a3=5ln2 （）求an的通项公式； （）求 e+e+e sinxcosx （a2+c2b2） ，且C 为钝角，则B=； 16 （13 分）已知函数 f（x）=sin2x+ （）求 f（x）的最小正周期； （）若 f（x）在区间，m上的最大值为，求 m 的最小值 17 （13 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型第一第二 类 电影部数 好评率 140 0.4 类 50 0.2 第三 类 300 0.15 第四 类 200 0.25 第五 类 800 0.2 第六 类 510 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 （） 从电影公
6、司收集的电影中随机选取 1 部， 求这部电影是获得好评的第四类 电影的概率； （）随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； （）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好 评率发生变化 假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影 的好评率增加 0.1， 哪类电影的好评率减少 0.1， 使得获得好评的电影总部数与样 本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论） 18 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，PA=PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点 （）求证：PEBC； （
7、）求证：平面 PAB平面 PCD； （）求证：EF平面 PCD 19 （13 分）设函数 f（x）=ax2（3a+1）x+3a+2ex （）若曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线斜率为 0，求 a； （）若 f（x）在 x=1 处取得极小值，求 a 的取值范围 20 （14 分） 已知椭圆 M：+=1 （ab0） 的离心率为， 焦距为 2 斜 率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B （）求椭圆 M 的方程； （）若 k=1，求|AB|的最大值； （）设 P（2，0） ，直线 PA与椭圆 M 的另一个交点为 C，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D若 C，D
8、 和点 Q（，）共线，求 k 20182018 年北京市高考数学试卷（文科）年北京市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项中，选分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。出符合题目要求的一项。 1 （5 分）已知集合 A=x|x|2，B=2，0，1，2，则 AB=（） A0，1 B1，0，1C2，0，1，2 D1，0，1，2 【解答】解：集合 A=x|x|2=x|2x2，B=2，0，1，2， AB=0，1， 故选：A 2 （5 分）在复平面内
9、，复数 A第一象限B第二象限 = 的共轭复数对应的点位于（） C第三象限 =， D第四象限 【解答】解：复数 共轭复数对应点的坐标（，）在第四象限 故选：D 3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（） ABCD 【解答】解：在执行第一次循环时，k=1，S=1 在执行第一次循环时，S=1 = 由于 k=23， 所以执行下一次循环S= k=3，直接输出 S=， 故选：B 4 （5 分）设 a，b，c，d 是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的 （） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：若 a，b，c，d 成
10、等比数列，则 ad=bc， 反之数列1，1，1，1满足11=11， 但数列1，1，1，1 不是等比数列， 即“ad=bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的必要不充分条件 故选：B ， 5 （5 分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出 半音比例， 为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分 成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前 一个单音的频率的比都等于 率为（） Af BfCfDf 若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频 【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比 都等于 =若第一个
11、单音的频率为 f，则第八个单音的频率为： 故选：D 6 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个 数为（） A1B2C3D4 【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA底面 ABCD， AC=，CD=， ，可得三角形 PCD 不是直角三角形PC=3，PD=2 所以侧面中有 3 个直角三角形，分别为：PAB，PBC， PAD 故选：C 7 （5 分）在平面直角坐标系中，是圆 x2+y2=1 上的四段弧（如 图） ，点 P 其中一段上，角 以 Ox 为始边，OP 为终边若 tancossin， 则 P 所在的圆弧是（） ABCD 【解答】解：A在 AB 段，正弦线
12、小于余弦线，即 cossin 不成立，故 A 不 满足条件 B在 CD 段正切线最大，则 cossintan，故 B 不满足条件 C在 EF 段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正， 满足 tancossin， D在 GH 段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值， 满足 cossintan 不满足 tancossin 故选：C 8 （5 分）设集合 A=（x，y）|xy1，ax+y4，xay2，则（） A对任意实数 a， （2，1）A B对任意实数 a， （2，1）A C当且仅当 a0 时， （2，1）AD当且仅当 a 时， （2，1）A 【解答】解：当 a=1 时，集合 A=（x，y）|xy1
13、，ax+y4，xay2=（x， y）|xy1，x+y4，x+y2，显然（2，1）不满足，x+y4，x+y2， 所以 A，C 不正确； 当 a=4，集合 A=（x，y）|xy1，ax+y4，xay2=（x，y）|xy1， 4x+y4，x4y2，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以 B 不正确； 故选：D 二、填空题共二、填空题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分。分。 9 （5 分）设向量 =（1，0） ， =（1，m） 若 （m ） ，则 m=1 【解答】解：向量 =（1，0） ， =（1，m） m =（m+1，m） （m ） ， m+1=0，解得 m
14、=1 故答案为：1 10 （5 分）已知直线 l 过点（1，0）且垂直于 x 轴若 l 被抛物线 y2=4ax 截得的 线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为（1，0） 【解答】解：直线 l 过点（1，0）且垂直于 x 轴， x=1， 代入到 y2=4ax，可得 y2=4a，显然 a0， y=2， l 被抛物线 y2=4ax 截得的线段长为 4， 4=4， 解得 a=1， y2=4x， 抛物线的焦点坐标为（1，0） ， 故答案为： （1，0） 11 （5 分）能说明“若 ab，则”为假命题的一组 a，b 的值依次为a=1， b=1 【解答】解：当 a0，b0 时，满足 ab，但为假命题， 故答案可
15、以是 a=1，b=1， 故答案为：a=1，b=1 12 （5 分）若双曲线=1（a0）的离心率为，则 a=4 【解答】解：双曲线=1（a0）的离心率为， 可得： 故答案为：4 ，解得 a=4 13 （5 分）若 x，y 满足 x+1y2x，则 2yx 的最小值是3 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设 z=2yx，则 y=x+z， 平移 y=x+z， 由图象知当直线 y=x+z 经过点 A 时， 直线的截距最小，此时 z 最小， 由得，即 A（1，2） ， 此时 z=221=3， 故答案为：3 14 （5 分）若ABC 的面积为（a2+c2b2） ，且C 为钝角，则B=； 的取值范
16、围是（2，+） 【解答】解：ABC 的面积为 可得： （a2+c2b2） ， ， ） ，cotA（，+） （a2+c2b2）=acsinB， ，所以 B=可得：tanB= = ，C 为钝角，A（0， =cosB+cotAsinB= ； （2，+） cotA（2，+） 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15 （13 分）设an是等差数列，且 a1=ln2，a2+a3=5ln2 （）求an的通项公式； （）求 e+e+e 【解答】解： （）an是等差数列，且 a1=ln
17、2，a2+a3=5ln2 可得：2a1+3d=5ln2，可得 d=ln2， an的通项公式；an=a1+（n1）d=nln2， （）e e 16 （13 分）已知函数 f（x）=sin2x+ （）求 f（x）的最小正周期； （）若 f（x）在区间，m上的最大值为，求 m 的最小值 sinxcosx=+sin2x sinxcosx +e = +e =2n， =21+22+23+2n=2n 12+ 【解答】解： （I）函数 f（x）=sin2x+ =sin（2x）+， =；f（x）的最小正周期为 T= （）若 f（x）在区间 可得 2x 即有 2m ，m上的最大值为， ， ， ，2m ，解得 m
18、则 m 的最小值为 17 （13 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型第一第二 类 电影部数 好评率 140 0.4 类 50 0.2 第三 类 300 0.15 第四 类 200 0.25 第五 类 800 0.2 第六 类 510 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 （） 从电影公司收集的电影中随机选取 1 部， 求这部电影是获得好评的第四类 电影的概率； （）随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； （）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好 评率发生变化 假设表格中只有两类电影的好评
19、率数据发生变化，那么哪类电影 的好评率增加 0.1， 哪类电影的好评率减少 0.1， 使得获得好评的电影总部数与样 本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论） 【解答】解： （）总的电影部数为 140+50+300+200+800+510=2000 部， 获得好评的第四类电影 2000.25=50， 故从电影公司收集的电影中随机选取 1 部， 求这部电影是获得好评的第四类电影 的概率=； （）获得好评的电影部数为1400.4+500.2+3000.15+2000.25+800 0.2+5100.1=372， 估计这部电影没有获得好评的概率为 1=0.814， （）故只要第五类电影的好评率
20、增加 0.1，第二类电影的好评率减少 0.1，则使 得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大 18 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，PA=PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点 （）求证：PEBC； （）求证：平面 PAB平面 PCD； （）求证：EF平面 PCD 【解答】证明： （）PA=PD，E 为 AD 的中点， 可得 PEAD， 底面 ABCD 为矩形，可得 BCAD， 则 PEBC； （）由于平面 PAB和平面 PCD 有一个公共点 P， 且 ABCD， 在平面 PAB内过 P 作直线 PGA
21、B， 可得 PGCD， 即有平面 PAB平面 PCD=PG， 由平面 PAD平面 ABCD，又 ABAD， 可得 AB平面 PAD，即有 ABPA， PAPG； 同理可得 CDPD，即有 PDPG， 可得APD 为平面 PAB和平面 PCD 的平面角， 由 PAPD， 可得平面 PAB平面 PCD； （）取 PC 的中点 H，连接 DH，FH， 在三角形 PCD 中，FH 为中位线，可得 FHBC， FH=BC， 由 DEBC，DE=BC， 可得 DE=FH，DEFH， 四边形 EFHD 为平行四边形， 可得 EFDH， EF 平面 PCD，DH平面 PCD， 即有 EF平面 PCD 19 （
22、13 分）设函数 f（x）=ax2（3a+1）x+3a+2ex （）若曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线斜率为 0，求 a； （）若 f（x）在 x=1 处取得极小值，求 a 的取值范围 【解答】解： （）函数 f（x）=ax2（3a+1）x+3a+2ex的导数为 f（x）=ax2（a+1）x+1ex 曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线斜率为 0， 可得（4a2a2+1）e2=0， 解得 a=； （）f（x）的导数为 f（x）=ax2（a+1）x+1ex=（x1） （ax1）ex， 若 a=0 则 x1 时，f（x）0，f（x）递增；x1，f（x）0，f（x）递减
23、x=1 处 f（x）取得极大值，不符题意； 若 a0，且 a=1，则 f（x）=（x1）2ex0，f（x）递增，无极值； 若 a1，则1，f（x）在（，1）递减；在（1，+） ， （，）递增， 可得 f（x）在 x=1 处取得极小值； 若 0a1，则 1，f（x）在（1， ）递减；在（ ，+） ， （，1）递增， 可得 f（x）在 x=1 处取得极大值，不符题意； 若 a0，则1，f（x）在（，1）递增；在（1，+） ， （，）递减， 可得 f（x）在 x=1 处取得极大值，不符题意 综上可得，a 的范围是（1，+） 20 （14 分） 已知椭圆 M：+=1 （ab0） 的离心率为， 焦距为
24、2 斜 率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B （）求椭圆 M 的方程； （）若 k=1，求|AB|的最大值； （）设 P（2，0） ，直线 PA与椭圆 M 的另一个交点为 C，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D若 C，D 和点 Q（，）共线，求 k 【解答】解： （）由题意可知：2c=2 a=， ，则c=，椭圆的离心率e=，则 b2=a2c2=1， 椭圆的标准方程：； （）设直线 AB 的方程为：y=x+m，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立，整理得：4x2+6mx+3m23=0，=（6m）2443（m21） 0，整理得：m24， x1+x2= |AB
25、|= ，x1x2=， = ； （x+2） ， ， 当 m=0 时，|AB|取最大值，最大值为 （）设直线 PA的斜率 kPA=，直线 PA的方程为：y= 联立，消去 y 整理得： （x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y123x12 12x112）=0， 由代入上式得，整理得： （4x1+7）x2+（124x12）x（7x12+12x1）=0， x1x C= ，xC=，则 yC=（+2）=， 则 C（，） ，同理可得：D（，） ， 由 Q（，） ，则=（，） ，=（， ） ， 由与三点共线，则=， 整理得：x1x1=y1y1，则直线 AB 的斜率 k= k 的值为 1 =1，