2018版高考数学考点11导数与函数的单调性试题解读与变式.pdf

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1、考点十一：考点十一： 导数与函数的单调性导数与函数的单调性 【考纲要求】 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调 区间（其中多项式函数一般不超过三次）. （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极 小值（其中多项式函数一般不超过三次） ；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项 式函数一般不超过三次）. 【命题规律】 利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题， 常常会考查利用导数研究含参函数的单 调性，极值. 预计 2017 年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更 加灵活、新颖 【典型高考试题

2、变式】【典型高考试题变式】 （一）原函数与其导函数的图像问题（一）原函数与其导函数的图像问题 例 1.【2017 浙江高考】函数y f x的导函数y f x的图像如图所示，则函数 y fx的图像可能是（ ）. y Ox y O A. x y O B. x y O C. x y O D. x 【答案】D 【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函 数图像.故选 D 【方法技巧归纳】在(a,b)内可导函数f (x)，f (x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于 0. f (x) 0 f (x)在(a,b)上为增函数f (x) 0 f (x)在(a,b)上为减函数且

3、导函 数单调性可以判原函数图像的凹凸性：若f (x)大于 0 且递增，则原函数f (x)图像递增且 下凹；若大于 0 且递减，则原函数f (x)图像递增且上凸. 【变式 1】 【改编例题中条件， 通过原函数的性质判断导函数的图像】 【2018 河北内丘中 学 8 月月考（理） 】设函数f x的导函数为 f x，若 f x为偶函数，且在0,1上存在 极大值，则 f x的图象可能为（ ） A.B.C.D. 【答案】C 【解析】根据题意,若f(x)为偶函数,则其导数f(x)为奇函数，结合函数图象可以排 除B.D，又由函数f(x)在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左

4、侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负， 结合选项可以排除A，只有C选项符合题意；本题选择C选项. 【变式 2】 【改编例题中条件，给定解析式，判断其导函数的图像】【2017 陕西渭南市二 x2 sinx2014，则f x的大致图象是 （ ）质检】函数f x 2 A.B.C.D. 【答案】B （二）用导数求不含参数的单调区间（二）用导数求不含参数的单调区间 例 2.【2017 全国 2 卷（文） 】设函数f x 1 x （1）讨论f x的单调性. 【答案】fx在区间, 2 1， 增函数. 【解析】 （1） f x2xex 1 x2ex 12x x2ex， 令 f x 0得x2 2x 1 0，解得

5、x 1 2 1，x22 1， 所以fx在区间, 2 1， 2e . x 2 1,是减函数，在区间 2 1, 2 1是 2 1,是减函数，在区间 2 1, 2 1是增函数. 【方法技巧归纳】利用导数求不含参数的单调性容易出错的地方就是： 求导，求解不等 式，写出单调区间.单调性相同的两个区间一般要用“和”或“，”连接，不能用“或”或 “”. 【变式 1】 【改编函数条件，函数中含分式】【2016 全国 2 卷（理） 】 （1）讨论函数 f (x) x2 xe 的单调性，并证明当x 0时，(x 2)ex x 2 0; x2 2和2, 上单调递增，在(2,2上单调递减. 【答案】f x在， （三）用

6、导数求含参函数的单调区间（三）用导数求含参函数的单调区间 例 3.【2017 全国 1 卷（理） 】已知函数f x ae （1）讨论f x的单调性； 【答案】见解析 2xx 【解析】 （1）由于f x ae a 2e x， 2xa2exx. 2xxxx 故 f x 2ae a 2e 1ae 12e 1. 当a 0时，aex1 0，2ex1 0从而 f x 0 恒成立 fx在R R上单调递减. 当a 0时，令 f x 0，从而 aex1 0，得x lna x ， lna lna 0 lna， f x fx极小值 综上，当a 0时，f (x)在R R上单调递减； 当a 0时，f (x)在(,lna

7、)上单调递减，在(lna,)上单调递增. 【方法技巧归纳】1.求函数的单调区间方法一：确定函数y f (x)的定义域； 求导数y f (x)； 解不等式f (x) 0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； 解不等式f (x) 0，解集在定义域内的部分为单调递减区间 2.求函数的单调区间方法二：确定函数y f (x)的定义域； 求导数y f (x)，令 f(x)0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； 把函数f (x)的间断点(即f (x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺 序排列起来，然后用这些点把函数f (x)的定义区间分成若干个小区间； 确定f (x)在各个区间内的符号，

8、根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 【变式1】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为二次函数型】【2017全国3卷 （文） 改编】已知函数f xlnxax 2a1x 2 （1）讨论f x的单调性； 【答案】见解析 【变式 2】 【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为类二次函数型】 【2016 全国 1 卷（文）改编】已知函数f (x) (x2)e xa(x1)2. （）讨论f (x)的单调性； 【答案】 （）见解析； 【解析】 x 试题分析：（） 先求得f xx 1e 2a .再根据 1,0,2a 的大小进行分类确定f x 的单调性； xx 试题解析： （）f xx 1e 2ax1x

9、1e 2a . （）设a 0，则当x,1时，f x0；当x1,时，f x0. 所以 f（x）在,1单调递减，在1,单调递增. 【变式 3】 【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为指对数型函数】 【2015 天津卷 （理）改编】已知函数f (x) n x x ,xR，其中nN ,n 2. （）讨论f (x)的单调性； 【答案】 （） 当n为奇数时，f (x)在(,1)，(1,)上单调递减，在(1,1)内 单调递增；当n为偶数时，f (x)在(,1)上单调递增，f (x)在(1,)上单调递减. n* 【解析】 （）由f (x) nx xn，可得，其中nN *且n 2， 下面分两种情况讨论： （1

10、）当n为奇数时： 令f (x) 0，解得x 1或x 1， 当x变化时，f (x), f (x)的变化情况如下表： x(,1)(1,1)(1,) f (x) f (x) 所以，f (x)在(,1)，(1,)上单调递减，在(1,1)内单调递增. （2）当n为偶数时， 当f (x) 0，即x 1时，函数f (x)单调递增； 当f (x) 0，即x 1时，函数f (x)单调递减. 所以，f (x)在(,1)上单调递增，f (x)在(1,)上单调递减. 【变式 4】 【例题中函数变为求导函数的“主导”函数需要二次求导型】 【2016 北京卷 （ 理 ） 】设 函数f (x) xeaxbx， 曲 线y f

11、 (x)在 点( 2,f ( 2)处)的 切线 方 程为 y (e1)x4. （）求a，b的值； （）求f (x)的单调区间. 【答案】 （）a 2,b e； （）(,) 【解析】 试题分析： （）根据题意求出f (x)，根据f (2) 2e 2, f (2) e1求 a,b 的值即可； （） 由题意判断f (x)的符号， 即判断g(x) 1 xe 由此求得 f(x)的单调区间. x1的单调性， 知 g(x)0， 即f (x)0， （）由（）知f (x) xe2xex. 由f (x) e2x(1 xex1)及e2x 0知，f (x)与1 xex1同号. 令g(x) 1 xex1，则g(x) 1

12、ex1. 所以，当x(,1)时，g(x) 0，g(x)在区间(,1)上单调递减； 当x(1,)时，g(x) 0，g(x)在区间(1,)上单调递增. 故g(1) 1是g(x)在区间(,)上的最小值， 从而g(x) 0,x(,). 综上可知，f (x) 0，x(,).故f (x)的单调递增区间为(,). 【数学思想】 分类讨论思想 1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略， 它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法， 这种思想在简化研究对象， 发展思 维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地 位.所谓分类讨论，就是在研

13、究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究， 我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点， 将对象区分为不同种类， 然后逐类 进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决， 这一思想方法，我们称之为“分 类讨论的思想” 2.分类讨论思想的常见类型 问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 问题中的条件是分类给出的； 解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 【处理导数与单调性问题注意点】【处理导数与单调性问题注意点】 解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函 数的单调

14、区间不能出现“并”的错误写法. 【典例试题演练】【典例试题演练】 1 【2018 河南郑州一中测试题】如果函数y f x在区间I 上是增函数，而函数 y f x x 在区间I上是减函数， 那么称函数y f x是区间I 上“缓增函数”， 区间I叫 做“缓增区间”.若函数f x 为 ( ) 1 2 3 x x 是区间I上“缓增函数”，则“缓增区间”I 22 A. 1, B. 0, 3 C. 0,1 D. 1, 3 【答案】D x1 0 1313 ，解之 (x1) 2 ，故【解析】因 f x x1, 3 x22x22x1 2 0 x f x 得1 x 3，应选答案 D. 2 【2018 河南南阳一中

15、上学期第二次考试（文） 】已知函数f x x 5x2lnx ，则 2 函数f x的单调递增区间是_ 【答案】0, 1 和2, 2 3 【2018 辽宁沈阳市东北育才学校上学期一模（文）改编】 已知函数f x x22ax2a ex ， a 0（e为自然对数的底数）. ()讨论f x的单调性； 【答案】 （）当a 0时， f x在,上为减函数；当a 0 时，则f x在 ,a,0,上为减函数；在a,0上为增函数； 【解析】() f x a xx ，令 ex f x0 x 1 0,x 2 a； a 0时，则 f x0（当且仅当x 0 时取等号） f x在,上为减函数； 当a 0时， 则x,a0, f

16、x0 f x在,a , 0,上为减函 数； xa,0 f x0 fx在a,0 上为增函数； 4 【2017 陕西省西安市长安区第一中学4 月模考（理） 】已知函数f xlnx ， gx fxax2bx，其中函数y gx的图象在点1,g1处的切线平行于x轴 （1）确定a与b的关系；若a 0，并试讨论函数gx的单调性； （2）设斜率为k的直线与函数y f x的图象交于两点Ax 1, y1 ,Bx 2 , y 2 (x 1 x 2 )，求证： 11 k x 2 x 1 【答案】(1) b 2a1 ，单调性见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)求导，利用导数的几何意义确定a与b的关系，再

17、利用导函数 的符号变换和分类讨论思想确定函数的单调性；(2)先利用直线的斜率公式确定不等关系， 再构造函数，利用导数求函数的最值即可求解 . 试题解析： （1） gx fxax bx lnxax bx，gx 22 1 2ax b， x 由题意得 g 112ab 0 ， b 2a1； g x 2ax1x1 11 2axb 2ax2a1(x 0)， xxx x1 x (x 0)， 当a 0时， g x 当x 1时， g x0 ，函数gx在1,单调减； 当0 x 1时， g x0， 函数gx在0,1单调增； 当a 11 2a x 1 x1 2 时即 2a 1， g x 2a x (x 0)， 函数g

18、x在 1 2a ,1 单调减区间；函数gx在1,和 1 0, 2a 单调增； （2）由题设x2 x 1 0， 111lnx 2 lnx x k x 1 1 21 x 2 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 lnx x 2 x 1 x 2 lnx 1 2 x 1 1 1 x ln x 2 x x 21 2 1 x 1 x 1 令hxlnxx1(x 1)，则 h x 1 x 1 1 x x (x 1)， x 1时， h x0 ，函数gx在1,是减函数， 而h10， x 1时，hx h10 x x 2 2 x 1 0， x 2 x 1，h ln x 2 x 2 xx 1 x 1 x 1 0，即l

19、n221， 1 x 1 x 1 x 1 令H x lnx 111x1 1(x 1)，则 H x 2 2 (x 1)， xxxx x 1时， H x0 ， Hx在1,是增函数， x 1时，Hx H10，H x 2 x 2 1 ln1 0， x x 1 2 x 1 x 1 即1 x111 ln2由得 k x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 5 【2017 陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试（理） 】已知函数 4 4 x2 ，其中常数k 0. f x k lnx kx （）讨论f x在0,2上的单调性； 【答案】 （）见解析; 【解析】试题分析： （1）求导数，对k分类讨论，利用导数的

20、正负，即可得到f x在 区间0,2上的单调性； 试题解析： （）由已知得， f x的定义域为0,，且 4 4 2 4 x k x4xkx k 4kk k f x 2 (k 0)， xxx2x2 当0 k 2时， 44 k 0，且 2， kk 所以x0,k时， f x0； xk,2时， f x0. 所以，函数f x在0,k上是减函数，在k,2上是增函数； 当k 2时， 4 k 2， f x0在区间0,2内恒成立， k 所以f x在0,2上是减函数； 当k 2时， 0 所以x0, 44 2,k ， kk 4 4 时，； fx 0 x ,2时， f x0 k k 所以函数在0, 6函数 （）讨论 4

21、 4 上是减函数，在 ,2上是增函数. k k . 的单调性； 【答案】 （）当时，时，单调递减；当时， 单调递增；当 递减； 时，时，单调递增；当时，单调 【解析】试题分析： （1）求出 f x， 讨论两种情况分别令f x0 可得增区间， f x0 可得得减区间； 7 【 2018 河 北 省 石 家 庄 二 中 八 月 高 三 模 拟 数 学 （ 文 科 ）】 已 知 函 数 fx ax212axlnxaR. （）若a 0，讨论f x的单调性； 【答案】 （） 当a 11 时， f x的减区间是0,， 无增区间， 当 a 0时， 22 1 1 1 f x的增区间是 1,，减区间是0,1,

22、,，当a 时，f x的增区 22a 2a 间是 1 1 ,1，减区间是0, ,1,. 2a 2a 【解析】 （） f x的定义域为0,，当a 0 时， 2 12ax 12ax1 f x 2ax12a xx 1 2ax x1 2ax1x1 2a ， xx （）若 111 1，即a ，x,1时， f x0， f x是增函数， 2a2 2a 1 x0, 时， f x0， f x是减函数， 2a x1,时， f x0， f x是减函数； 综上可得，当a 当 1 时， f x的减区间是0,，无增区间， 2 1 1 1 a 0时，f x的增区间是 1,，减区间是0,1, ,， 22a 2a 1 1 1 时

23、， f x的增区间是 ,1，减区间是0, ,1,. 22a 2a 当a 8 【 2017湖 北 省 浠 水 县 实 验 高 级 中 学 测 试 题 （ 文 ）】 已 知 函 数 1 1 f x mlnx x，其中常数m 0. mx （1）当m 2时，求f x的极大值； （2）试讨论f x在区间0,1上的单调性. 【答案】 （1）f 2 在m,1上单调递增； 当m 1时， f x在0,1上单调递减；当 m 1时，f x在 0, 53 ln2 ； （2）当0 m 1时， f x在0,m上单调递减， 22 1 上单调递减，在 m 1 ,1上单调递增. m 【 解 析 】 试 题 分 析 ： （ 1

24、） 借 助 题 设 条 件 将m 2代 入 函 数 解 析 式 可 得 f x 51 lnx x，进而求导，运用导数与函数的单调性之间的关系求解； （2）先对函 2x 数f x m 1 1 再借助分类整合思想及导数与函数的单调性之间的关lnx x求导， mx 系进行分类求其单调区间： （2） f x m 1 1 xmx m m 1 1 x 0,m 0， 22xxx 当0 m 1时， f x在0,m上单调递减，在m,1上单调递增； 当m 1时， f x在0,1上单调递减； 当m 1时， f x在 0, 1 1 上单调递减，在 ,1上单调递增. m m 9 【 2017湖 北 省 浠 水 县 实

25、验 高 级 中 学 测 试 题 （ 文 ）】 已 知 函 数 f x 1 2x 1axalnx. 2 （）讨论f x的单调性； 【答案】 （）见解析； 【解析】 试题分析： （） 求出f x的定义域为0,，求导数， 若a 0 ，若a 0， 判断导函数的符号，然后推出函数的单调性； 试题解析： （） f x的定义域为0,，求导数，得 2 ax 1axa x1xa .若a 0，则f x0，此时f x x1a xxx f x在0,上单调递增，若a 0 ，则由f x0，得x a.当0 x a时， f x0；但x a时，f x0，此时f x在0,a上单调递减，在a,上单调 递增. 2 10 【2017

26、河北省唐山市三模（理）改编】已知函数f xlnx1ax ， a 0. （1）讨论函数f x的单调性； 【答案】 （）见解析 2ax22ax1 【解析】 试题分析：（） 求导得f x，分 0， 0， 0， x1 三种情况讨论可得单调区间. 12ax22ax1 2ax 试题解析： （） f x ， x 1， x1x1 令gx 2ax 2ax1， 4a 8a 4aa2， 22 若 0，即0 a 2，则gx0， 当x1,时， f x0，f x单调递增， 若 0，即a 2，则gx0，仅当x 1 时，等号成立， 2 当x1,时， f x0，f x单调递增. 若 0，即a 2，则gx有两个零点x 1 由g1

27、 g010，g aaa2 2a ，x2 aaa2 2a ， 1 1 1 x x 2 0， 得 0 1 2 2 当x1,x 1 时， gx0，f x0，f x单调递增； 当xx 1,x2 时， gx0，f x0，f x单调递减； 当xx2,时， gx0，f x0，f x单调递增. 综上所述， 当0 a 2时， f x在1,上单调递增； aaa2 aaa2 和 当a 2时， f x在1, ,上单调递增， 2a2a aaa2aaa2 上单调递减. 在, 2a2a 11 【2018 河北省武邑中学第一次月考（理）改编】已知函数f xe ax（aR ， x e为自然对数的底数）. （1）讨论函数f x的

28、单调性； 【答案】 （1）见解析 x 【解析】试题分析： （1）求函数的导数 f xe a 通过a 0和a0两种情况分 类讨论，分别判断函数的单调性 12 【 2018湖 南 省 岳 阳 市 一 中 第 一 次 月 考 （ 理 ） 改 编 】 已 知 函 数 f x alnxa 1x 1 2xa 0. 2 （1）讨论f x的单调性； 【答案】(1) 当a 1时， f x在0,上单调递减；当0 a 1， f x的单调 递增区间为a,1；单调递减区间是0，a和1,；当a 1， f x的单调递增区间 为1,a，单调递减区间是01 ， 和a,； 【解析】试题分析： （1）求出f x的导数，通过 a 1,0 a 1,a 1的讨论，分别令 f x0得增区间，f x0得减区间； x2a1xa xax1 a 试题解析： （1） f x a1 x ， xxx f x xax1 a a1 x ， xx 当a 1时， f x xax1 0 x ，f x在0,上单调递减； 当0 a 1，由 f x0解得a x 1， f x的单调递增区间为a,1， 单调递减区间是0，a和1,； 当a 1，同理可得f x的单调递增区间为1,a，单调递减区间是01 ，和a,.