《2019届高三文科数学一轮复习学案 9.1直线的方程.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高三文科数学一轮复习学案 9.1直线的方程.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 9.19.1直线的方程直线的方程 最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线 位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的 直线斜率的计算公式. 3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的 几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一 般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 以考查直线方程的求法为主，直线 的斜率、 倾斜角也是考查的重点 题 型主要在解答题中与圆、圆锥曲线 等知识交汇出现，有时也会在选择、 填空题中出现. 考情考向分析 1直线的倾斜角 (1)定义：当直线l 与 x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做
2、直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (2)范围：直线 l 倾斜角的范围是0，180) 2斜率公式 (1)若直线 l 的倾斜角 90，则斜率 ktan . y2y1 (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上且 x1x2，则 l 的斜率 k. x2x1 3直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 方程 yy0k(xx0) ykxb yy1xx1 y2y1x2x1 xy 1 ab AxByC0(A2B20) 适用范围 不含直线 xx0 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 xx1 (x1x2)和直线 yy1 (y1y2)
3、 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置() (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率() (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大() (4)若直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为 .() (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等() (6)经过任意两个不同的点P1(x1， y1)， P2(x2， y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2 y1)表示() 题组二教材改编 2P86T3若过点 M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于
4、1，则 m 的值为() A1B4C1 或 3D1 或 4 答案A 解析由题意得1，解得 m1. 2m 3P100A 组 T9经过点 M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是() Axy2 Cx1 或 y1 答案D 解析若直线过原点，则直线为yx，符合题意， xy 若直线不过原点，设直线为 1，代入点(1,1)， mm 解得 m2，直线方程整理得 xy20，故选 D. 题组三易错自纠 4(2018石家庄模拟)直线 x(a21)y10 的倾斜角的取值范围是() 0， A. 4 0， ，C. 42 答案B 1 解析由直线方程可得该直线的斜率为 2 ， a 1 3 1 ， . 又1 2 0，所以
5、倾斜角的取值范围是 4 a 1 3 B. 4 ， 3 D. 4，24 ， Bxy1 Dxy2 或 xy m4 5如果 AC0 且 BC0，在y 轴上的截距 0，故直线 AB 经过第一、二、四象限，不经过第三象限 6过直线 l：yx 上的点 P(2,2)作直线 m，若直线 l，m 与 x 轴围成的三角形的面积为2，则 直线 m 的方程为 答案x2y20 或 x2 解析若直线 m 的斜率不存在，则直线m 的方程为 x2，直线m，直线l 和 x 轴围成的三 角形的面积为 2，符合题意； 若直线 m 的斜率 k0，则直线 m 与 x 轴没有交点，不符合题意； 221 2 若直线 m 的斜率 k0， 设
6、其方程为 y2k(x2)， 令 y0， 得 x2 ， 依题意有 kk2 111 1 1，解得 k ，所以直线 m 的方程为 y2 (x2)，即 x2y20. 22，即 k 22 综上可知，直线 m 的方程为 x2y20 或 x2. B第二象限 D第四象限 题型一题型一直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 ，的倾斜角的取值范围是 ( )典例 (1)直线 2xcos y30 63 A. 6，3 C. 4，2 答案B 解析直线 2xcos y30 的斜率 k2cos ， 13 ，所以 cos ，因为 63 22 因此 k2cos 1， 3 B. 4，3 2 D. 4，3 设直线的倾斜角为 ，则有 t
7、an 1， 3 又 0，)，所以 4，3， 即倾斜角的取值范围是 4，3. (2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值 范围为 答案(， 31，) 10 解析如图，kAP1， 21 30 3， 01 kBP k(， 3 1，) 引申探究 1若将本例(2)中 P(1,0)改为 P(1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围 解P(1,0)，A(2,1)，B(0， 3)， 1 kAP ， 21 3 30 10 kBP 3. 01 1 如图可知，直线 l 斜率的取值范围为 3， 3. 2若将本例(2)中的 B 点坐标改为(2
8、，1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围 解如图，直线 PA 的倾斜角为 45， 直线 PB 的倾斜角为 135， 由图象知 l 的倾斜角的范围为0，45135，180) 0， 与 ，两思维升华 直线倾斜角的范围是0，)，根据斜率求倾斜角的范围时，要分 22 种情况讨论 跟踪训练 已知过定点 P(2,0)的直线 l 与曲线 y 2x2相交于 A，B 两点，O 为坐标原点， 当AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为() A150 C120 答案A 解析由 y2x2，得 x2y22(y0)，它表示以原点 O 为圆心，以 2为半径的圆的一部 B135 D不存在 分，其图象如图所示 显
9、然直线 l 的斜率存在， 设过点 P(2,0)的直线 l 为 yk(x2)， 则圆心到此直线的距离 d |2k| 1k ， 2 弦长|AB|2 |2k| 22 2 1k2 22k2 ， 2 1k 1 |2k| 所以 S AOB 2 2 2 1k 22k22k222k2 1， 1k221k2 1 当且仅当(2k)222k2，即 k2 时等号成立， 3 由图可得 k 33， k舍去 33 故直线 l 的倾斜角为 150. 题型二题型二求直线的方程求直线的方程 1 典例 (1)求过点 A(1,3)，斜率是直线 y4x 的斜率的 的直线方程； 3 (2)求经过点 A(5,2)，且在 x 轴上的截距等于
10、在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程 解(1)设所求直线的斜率为k， 14 依题意 k4 . 33 又直线经过点 A(1,3)， 4 因此所求直线方程为 y3 (x1)， 3 即 4x3y130. xy1 (2)当直线不过原点时，设所求直线方程为 1，将(5,2)代入所设方程，解得a ， 2aa2 所以直线方程为 x2y10；当直线过原点时，设直线方程为 ykx，则5k2，解得 k 22 ，所以直线方程为 y x，即 2x5y0. 55 故所求直线方程为 2x5y0 或 x2y10. 思维升华 在求直线方程时， 应先选择适当的直线方程的形式， 并注意各种形式的适用条件 若 采用截距式，应注意
11、分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的 情况 跟踪训练 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为 10； 10 (2)经过点 P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5,10)，到原点的距离为 5. 解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式 设倾斜角为 ，则 sin 10(00，b0， xy21 直线 l 的方程为 1，所以 1. abab |MA|MB|MAMB(a2，1)(2，b1) 2(a2)b12ab5 212b2a 54，(2ab) ab ab 当且仅当 ab3 时取等号，此时直线 l 的方程为 xy3
12、0. 命题点 2由直线方程解决参数问题 典例 已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直线 l1，l2与两坐 标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值 解由题意知直线 l1，l2恒过定点 P(2,2)，直线 l1在 y 轴上的截距为 2a，直线 l2在 x 轴上 111 a 2 的截距为 a22，所以四边形的面积S 2(2a) 2(a22)a2a4 2 22 151 ，当 a 时，四边形的面积最小 42 思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求 解最值
13、(2)求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程 (3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或 基本不等式求解 跟踪训练已知直线 l 过点 P(3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A，B 两点，如图所示， 求ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程 xy 解方法一设直线方程为 1(a0，b0)， ab 32 把点 P(3,2)代入得 12 ab 6 ，得 ab24， ab 132b2 从而 S AOB ab12，当且仅当 时等号成立，这时 k ，从而所求直线方程为2aba3 2x3y120. 方法二由题意知，直线l 的
14、斜率 k 存在且 k0， 则直线 l 的方程为 y2k(x3)(k0，b0 时，a0，b0，cos 0，sin cos ， 5 sin 2 5 5， 由解得 5 cos ， 5 tan 2，即 l 的斜率为2，故选 D. 16(2018 届江西新余第一中学模拟)在平面直角坐标系中，如果x 与 y 都是整数，就称点(x， y)为整点，下列命题中正确的是(写出所有正确命题的编号) 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； 若 k 与 b 都是无理数，则直线 ykxb 不经过任何整点； 直线 l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点； 直线 ykxb 经过无穷多个整点的充要条件是k 与 b 都是有理数； 存在恰经过一个整点的直线 答案 解析对于，比如直线y 2x 3，当 x 取整数时，y 始终是一个无理数，即直线y 2 x 3既不与坐标轴平行又不经过任何整点，正确；对于，直线y 2x 2中 k 与 b 都 是无理数，但直线经过整点(1,0)，错误；对于，当直线经过两个整点时，它经过无数多 11 个整点，正确；对于，当 k0，b 时，直线 y 不通过任何整点，错误；对于， 22 比如直线 y 2x 2只经过一个整点(1,0)，正确故答案为.