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1、20192019 届全国新高三原创试卷届全国新高三原创试卷(四) 理理科科数数学学 本试题卷共本试题卷共 4 4 页，页，2323 题（含选考题）题（含选考题） 。全卷满分。全卷满分 150150 分。考试用时分。考试用时 120120 分钟。分钟。 祝你考试顺利祝你考试顺利 注意事项：注意事项： 1 1、考试范围：高考考查范围。、考试范围：高考考查范围。 2 2、答题前，先将自己的姓名、准考证号用、答题前，先将自己的姓名、准考证号用 0.50.5 毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上 的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用的相应位置，并
2、将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B2B 铅笔将答题卡上试卷类铅笔将答题卡上试卷类 型型 A A 后的方框涂黑。后的方框涂黑。 3 3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用、选择题的作答：每个小题选出答案后，用 2B2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的一律无效。黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的一律无效。 4 4、主观题的作答：用、主观题的作答：用 0.50.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试 题
3、卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的一律无效。题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的一律无效。 5 5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B2B 铅笔涂黑。答案用铅笔涂黑。答案用 0.50.5 毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选 修题答题区域的一律无效。修题答题区域的一律无效。 6 6、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题
4、卡、草稿纸一并依序排列上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1已知复数z满足1iz 2i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（） A第一象限 【答案】D 【解析】 z B第二象限C第三象限D第四象限 13 i， 22 1iz 2i，1i1iz 2+i1i，2z 13i， z 13 1 3 i，z的共轭复数在复平面内对应点坐标为, ，z 的共轭复数在复平 22 2 2 面内对应的点在第四象限，故选 D 2设集合M= x x
5、2 36，N 2,4,6,8，则M A2， 4 N （） D2， 4， 6 - 1 - B4， 6C2， 6 【答案】A 【解析】M 6,6，故MN 2,4 3 下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案， 形若铜钱， 寓意富贵吉祥 在 圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成） 的概率是（） 1 A 2 1 B 3 C 4 1 D2 4 【答案】C 【解析】令圆的半径为 1，则P S 224 1，故选 C S 4将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同 的排法共有（） A42种 【答案】A 3【解析】最左端排甲时，有A4 4 24种排法
6、；最左端排乙时，有3A 3 18种排法， B48种C54种D60种 所以共有2418 42种排法，选 A 5如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（） - 2 - A 32 3 B 64 3 C32D 64 2 3 【答案】D 【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥， 故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以 4 为高的直三棱柱的外接球相同 由底面底边长为 4，高为 2，故底面为等腰直角三角形， 可得底面三角形外接圆的半径为r 2， 由棱柱高为 4，可得OO2 2， 故外接球半径为R 2222 2 2， 4 故外接球的体积为V 2 2 3 3 64
7、 2 选 D 3 6数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直 线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三 角形的欧拉线已知ABC的顶点A2,0，B0,4，AC BC，则ABC的欧拉 线方程为（） A2x y 3 0 【答案】D 【解析】线段 AB 的中点为 M（1，2） ，kAB=2， 线段 AB 的垂直平分线为：y2= 1 （x1） ，即 x2y+3=0 2 B2x y 3 0Cx2y 3 0Dx2y 3 0 AC=BC，ABC 的外心、重心、垂心都位于线段 AB 的垂直平分线上， 因此ABC 的欧拉线的方程为：x2y+3=0故选
8、：D 7执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（） - 3 - A4097 【答案】B 【解析】阅读流程图可知，该流程图的功能是计算： B9217C9729D20481 S 1202213221029， 10210， 12 则2S 121222323 0以上两式作差可得：S 2 2 2 1210 2 10210210， 12 910 则：S 92101 9217本题选择 B 选项 8已知函数f x Asinx（其中 A,为常数，且A 0， 0， 的部分图象如图所示，若f 3 ，则sin2 的值为（） 26 ） 2 A 3 4 1 B 8 1 C 8 1 D 3 【答案】B 7 2 【解析】由函
9、数图象可知：A 2，函数的最小正周期：T 4 2， 3 6 则 222 1，当x 2k, 2k kZ， 时，x1 T3326 - 4 - 令k 0可得 ，函数的解析式：fx 2sinx 66 由f 3 3 3 可得：2sin ,sin ，则： 26264 91 sin2 sin2 cos2 12sin2 12 63236168 本题选择 B 选项 9已知实数a Aa b c 【答案】B ln3ln22ln33ln2ln9 ln8 0，b a； 3266 ln2ln55ln2 2ln5ln32 ln25 0，a c，又a c 251010 ln2ln3ln5 ，b ，c ，则a,b,c的大小关系
10、是（） 235 Bc a bCc b aDb a c 【解析】ba b a c，即c a b选 B P10如图所示，在正方体ABCD A 1BC11D1 中，E,F分别为B 1C1,C1D1 的中点，点 是底面A 1B1C1D1内一点，且 AP平面EFDB，则tanAPA 1 的最大值是（） A 2 2 B1C2D2 2 【答案】D 【解析】由题意可得，点P位于过点A且与平面EFDB平行的平面上， 如图所示，取A 1D1,A1B1 的中点G,H，连结GH, AH, AG,GE， 由正方形的性质可知：EFGH，由ABEG为平行四边形可知AGBE， 由面面平行的判定定理可得：平面AGH平面BEFD
11、， 据此可得，点P位于直线GH上， - 5 - 如图所示，由AA 1 平面A 1B1C1D1可得 AA 1 A 1P ， 则tan APA 1 AA 1，当tan APA 1 有最大值时，A 1P 取得最小值， A 1P 即点P是GH的中点时满足题意，结合正方体的性质可得此时tan APA 1 的值是 2 2本题选择 D 选项 y2 11已知双曲线x 2 1的左右焦点分别为F 1 、F 2 ，过点F 2 的直线交双曲线右支 b 2 于A、B两点，若ABF 1是等腰三角形， A120则ABF 1的周长为（ ） A 221B 4 3 4 3 C 8 3 4 3 D 8 3 8 3 【答案】C 【解
12、析】双曲线的焦点在x轴上，则a1,2a2； 设AF 2 m，由双曲线的定义可知：AF 1 AF 2 2am2， 由题意可得：AF 1 ABAF 2 BF 2 mBF 2 ， 据此可得：BF 2 2，又BF 1 BF 2 2, BF 1 4， ABF 1由正弦定理有： BF 1 sin120 AF 1 sin30 ， 4 3 2， 3 则BF 1 3 AF 1 ，即：43 2m，解得：m - 6 - 则ABF1的周长为：422m 42 本题选择 C 选项 12已知函数f xe2x3，gx 值为（） 1 A ln2 2 4 38 3 4 33 1x ln，若f mg n成立，则nm的最小 42 1
13、 C 2ln2 2 Bln2D2ln2 【答案】A 【 解 析 】 设 e2m3 fm gnt，f xe2x3 ，gx 1x ln 42 ， 1x ln tt 0， 42 t1 4 11 tt nlnt 3lnt 3 4，m ，n 2e，nm 2e4 t 0， 222 2m3 lnt，e 令ht 2e t1 4 t1 4 lnt 3 t 0 2 1 0， 2t2 ，则 h t 2et 1 4 1 t 0 2t ， 2e h t 1 h t在0， 上为增函数，且 h 0， 4 当t 11 时， h t0，当0 t 时， h t0， 44 1 1 1 ht在0， 上为减函数，在， 上为增函数，当t
14、 时，ht取得最小 4 4 4 值， 1 此时h 2e 4 11 44 1 ln3 11 4 ln2，即nm的最小值为ln2，故选 A 222 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4 4 小题，每小题小题，每小题5 5 分分 13已知向量a 12,k，b 1k,14，若a b，则实数k _ - 7 - 【答案】6 【解析】由题意，121k14k 0，则k 6 14 ABC的 内 角A,B,C的 对 边 分 别 为a,b,c， 已 知 3a c o C sc 【答案】75 c Ao s b，则B ,A的大小为6 0_ 【解析】由3acosC ccosAb，根据正弦定理得 13 ，s
15、inAC， 22 3sinAcosC sinCcosAsinB， 即 AC 1 30， 又 6 A C 1 8 0B 1 2 0 3 s iAnC ，A 75，2A 150，故答案为75 xmyn 15已知直线l :x my n(n 0)过点A 5 3,5，若可行域x3y0的外接圆 y0 直径为 20，则n_ 【答案】10 3 【 解 析 】 由 题 意 知 可 行 域 为 图 中 OAB Bn,0, AB (n5 3)225，又tan AOB 及 其 内 部 ， 解 得 3 ，则AOB=30，由正弦定理得 3 AB 2RsinAOB 20sin3010，解得n 10 3故答案为：10 3 3
16、 43 4 16 “求方程 1的解”有如下解题思路：设fx ，则 5555 - 8 - xxxx f x在R R 上单调递减，且f 21，所以原方程有唯一解x 2类比上述解题思 路，不等式x6x2x23x2的解集是_ 【答案】,12, 【解析】不等式 x6（x+2）（x+2）3x2变形为， x6+x2（x+2）3+（x+2） ； 令 u=x2，v=x+2， 则 x6+x2（x+2）3+（x+2）u3+uv3+v； 考查函数 f（x）=x3+x，知 f（x）在 R R 上为增函数， f（u）f（v） ，uv； 不等式 x6+x2（x+2）3+（x+2）可化为 x2x+2，解得 x1 或 x2；
17、不等式的解集为： （，1）（2，+） 故答案为： （，1）（2，+） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17211721 题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答第考题，每个试题考生都必须作答第2222、2323 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：（一）必考题： 6060 分，每个试题分，每个试题 1212 分分 17已知数列a n的前 n项和S n n2 pn，且a 2 ，a 5 ，a 10 成等比数列 （1）求数列a n的通项公式； （2）若b n 1 5 ，求数列b n的前 n项和T
18、 n a n a n1 14n254n 【答案】 （1）a n 2n5； （2）T n 14n49 【解析】 （1）当n 2时，a n S n S n1 2n1 p， 当n 1时，a 1 S 1 1 p，也满足a n 2n1 p，故a n 2n1 p， a 2 ,a 5 ,a 10 成等比数列，3 p19 p9 p， p 6a n 2n5 （2）由（1）可得b n 1 2 55 5 11 11 ， a n a n1 22n52n7 2n52n7 - 9 - 51111115n14n254n T n n n 2799112n52n714n4914n49 18某单位鼓励员工参加健身运动，推广了一款
19、手机软件，记录每人每天走路消 耗的卡路里；软件的测评人员从员工中随机地选取了 40 人（男女各 20 人） ，记录 他们某一天消耗的卡路里，并将数据整理如下： （1）已知某人一天的走路消耗卡路里超过 180 千卡被评测为“积极型”， 否则为“懈 怠型”，根据题中数据完成下面的22列联表，并据此判断能否有99%以上把握认 为“评定类型”与“性别”有关？ （2）若测评人员以这 40 位员工每日走路所消耗的卡路里的频率分布来估计其所 有员工每日走路消耗卡路里的频率分布，现在测评人员从所有员工中任选 2 人， 其中每日走路消耗卡路里不超过 120 千卡的有X人，超过 210 千卡的有Y人，设 X Y，
20、求的分布列及数学期望 附：k2 nad bc2 abcdacbd ，其中nabcd 参考数据： P K2k 0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 - 10 - k 0 5 【答案】 （1）有 99以上把握认为“评定类型”与“性别”有关； （2） 8 【解析】 （1）由题意完成 22 列联表如下： 男 女 总计 则K2 有关 1 （2）任选一人，由题知：每日走路消耗卡路里不超过 120 千卡的概率为，超过 8 1 210 千卡的概率为， 4 积极型 15 5 20 2 懈怠型 5 15 20 总计 20 20 40 40151555 20
21、202020 106.635， 故有 99以上把握认为“评定类型”与“性别” 所以的分布列为： P 则数学期望为：E 0 0 29 64 1 30 64 2 5 64 293055 12 6464648 19如图，已知AB BC，BECD，DCB90，平面BCDE平面ABC， AB BC BE 2，CD4，F为AD中点 （1）证明：EF 平面ACD； （2）求直线CE与平面ABD所成角的余弦值 - 11 - 【答案】 （1）证明见解析； （2） 10 10 【解析】 （1）证明：设AC中点为G，连FG,BG， F为AD中点，FGDC,FG 又由题意BECD，BE 1 DC， 2 1 CDEBF
22、G，且EB FG， 2 四边形BEFG为平等四边形，EFBG DCB90DC BC， 又平面BCDE平面ABC，平面BCDE DC平面ABC 又BG平面ABC，DC BG，DC EF， 又AB BC，AC BG，AC EF， AC 平面ABC BC，DC平面BCDE， DC C，AC平面ACD，DC平面ACD， EF 平面ACD （2）以点B为原点，以BA方向为x轴，以BC方向为y轴，以BE方向为z轴，建 立如图所示坐标系B0,0,0，E0,0,2，A2,0,0，C0,2,0，D0,2,4， nBA 0 设平面ABD的法向量n x,y,z，则， nBD 0 2x 0 21 ，取z 1，n 0，
23、 ， 2y 4z 0 CE 0,2,2，cosCE,n CEn CE n 423 10 10 ， 2 2 5 3 1010 ，cos 1010 ， 设直线CE与平面ABD所成角为，则sin 即直线CE与平面ABD所成角的余弦值 10 10 - 12 - 3x2y2 1,20已知椭圆E： 2 2 1(a b 0)经过点，焦距为2 3 2 ab （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线l: y 2xmmR与椭圆E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直 平分线交y轴交于点M，若tanAMB 2 2，求m的值 x2 【答案】 （1） y21； （2）m1或m 1 4 【解析】 （1）由题意得2c 2 3，
24、所以c 3， 3 31 4 1 ，1,又点在椭圆上，所以： a2b2 2 2 2 b a 3 整理得：4a419a212 0，解得：a2 4或a2 x2 椭圆的标准方程为： y21 4 3 （舍） ，b21， 4 （2）设Ax 1,y1 ,Bx 2,y2 ，线段 AB中点坐标Cx 3,y3 ,M0,y 0 ， y 2xm 整理得：9x28 2mx4m24 0，由 x2 2 y 1, 4 8 2m49 4m24 14416m2 0， m2 9， 2 8 2m4m24 又x 1 x 2 ，x 1 x 2 ， 99 - 13 - x 3 x 1 x 2 4 2m ， 29 m ， 9 y 3 2x
25、3 m 4 2m m 线段AB的中点C坐标为 9 , 9 又AB 1 2 2 x 1 x 2 4 3 9m2， 9 AC 2 3 9m2， 9 又k MC m 9 1 ，y m ， 0 34 22 m 9 y 0 m 点M坐标为0, ， 3 m 02 1 m 4 3 3 m，MC 9 3 CM垂直平分AB， AMB2AMC， 又tanAMB 2tanAMC 2 2， 21tan AMC 解得tanAMC 2或tanAMC 2 （舍） ， 2 2 23 9m AC9m2 9 在RtAMC中，AMC ， 2 mMC4 3 m 9 9m2 2，9m28m2， 2 m m1或m 1 - 14 - 21
26、已知函数fxx2 ax 2a 3ex （1）若x 2是函数f x的一个极值点，求实数a的值 ,2时， 函数f x的图象恒不在直线 y e2的上方，求实数a（2）设a 0， 当x1 的取值范围 【答案】 （1）a 5； （2）e2,0 【解析】 （1）由fxx2 ax 2a 3ex可得： 2x f x2x aex x2 ax 2a 3 ex x 2 ax a 3 e， x 2是函数f x的一个极值点， f 20， a5e20，计算得出a 5 代入 f xxa3x1ex x2x1ex， 当1 x2时， f x0；当x 2时， f x0， x 2是f x的极值点a 5 （2）当x1,2时，函数f x
27、的图象恒不在直线 y e2上方， 等价于x1,2，f xe2恒成立， 即x1,2，f x max e2恒成立， 由（1）知， f xxa3x1ex ， 令 f x0，得 x 1 a3，x 2 1， 当a5时，a32，f x在x1,2单调减， fx max f1a2ee2，ae2与a5矛盾，舍去 当5a4时，1a32， fx在x1,a3上单调递减，在xa3,2上单调递增， f x max 在f 1或 f2处取到， - 15 - f1a2e，f2e2， 只要f 1a2ee2， 计算得出e2a 4 当4a 0时，a31， fx在x1,2上单调增，fx max f2e2，符合题意， 实数a的取值范围是
28、e2,0 （二）选考题（共（二）选考题（共 1010 分请考生在第分请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答如果多做，题中任选一题作答如果多做， 则按所做第一题计分）则按所做第一题计分） 22在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标 2 x 1t 2 (t为参数）系已知直线l的参数方程为 ，曲线C的极坐标方程为 y 2 t 2 4cos； （1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C交点分别为A,B，点P1,0，求 11 的值 PAPB 14 3 【答案】 （1）l : x y 1 0，曲线C : x2 y24x 0； （2）
29、 【解析】 （1）l : x y 1 0，曲线C : x2 y24x 0； 2 x 1t 2 （ 为参数）代入曲线 C 的方程，得t22t 3=0，（2）将t y 2 t 2 t 1 t 2 t 1 t 2 4t 1t2 14， 2 t 1 t 2 1114 PAPBt 1t2 3 23已知函数fx 2x 1 2x 1 （1）求函数f x的最小值m ； - 16 - （2）若正实数a,b满足 1211 3，求证： 2 2 m abab 【答案】 （1）2； （2）见解析 11 【解析】 （1）2x1 2x12x12x1 2当且仅当x时，等式成 22 立 12 1 2 1 1 1 （2） 2 2 1 则 2 2 2， ab a b 2 a b 2 当且仅当b 2a时取，等号成立 - 17 -