《全等三角形几种类型(总结)(1).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形几种类型(总结)(1).pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、全等三角形与角平分线全等三角形与角平分线 全等图形：全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形 全等多边形：全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角 全等多边形的对应边、对应角分别相等 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE五边形ABCDE 这里符号“”表示全等，读作“全等于” A E A E B C D 全等三角形：全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形 C BD 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等 全等三角形对应的中线
2、、高线、角平分线及周长面积均相等 全等三角形的概念与表示：全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形能够相互重合的顶点、边、 角分别叫作对应顶点、对应边、对应角全等符号为“” 全等三角形的性质：全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的 角平分线相等，面积相等 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 (3)有公共边的，公共边常是对应边 (4)有公共角的，公共角常是对应角 (5)有对顶角的，对顶角常
3、是对应角 全等三角形的判定方法：全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等 (4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 (5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 判定三角形全等的基本思路：判定三角形全等的基本思路： 找夹角SAS 已知两边找直角 HL 找另一边SSS 边为角的对边找任意一角 AAS 找这条边上的另一角 ASA 已知一边一角
4、边就是角的一条边找这条边上的对角 AAS 找该角的另一边SAS 找两角的夹边 ASA 已知两角 找任意一边 AAS 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： 平移全等型 对称全等型 旋转全等型 由全等可得到的相关定理：由全等可得到的相关定理： 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等 线段垂直 平
5、分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 与角平分线相关的问题 角平分线的两个性质：角平分线的两个性质： 角平分线上的点到角的两边的距离相等； 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 它们具有互逆性 角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1 由角平分线上的一点向角的两边作垂线， 2 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3OAOB，这种对称的图形应用得也较为普遍， A O B P O B A P O A P B 三角形中线的定义：三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 三角形中线
6、的相关定理：三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半 中位线判定定理：中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边 中线中位线相关问题中线中位线相关问题( (涉及中点的问题涉及中点的问题) ) 见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤 其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线
7、的应用更是较为常见 例题精讲 板块一、全等三角形的认识与性质 【例【例1 1】在在AB、AC上各取一点上各取一点E、D，使，使AE AD，连接，连接BD、CE相交于相交于O再连结再连结AO、BC， 若若12，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由 B E A 1 2 O C D 【巩固】如图所示，【巩固】如图所示，AB AD，BC DC，E、F在在AC上，上，AC与与BD相交于相交于P图中有几对全等三图中有几对全等三 角形？请一一找出来，并简述全等的理由角形？请一一找出来，并简述全等的理由 B A EPF C D 板块二、三角形全等的判定与应用
8、【例【例2 2】( (2008 年巴中市高中阶段教育学校招生考试年巴中市高中阶段教育学校招生考试) )如图，如图，ACDE，BCEF，AC DE求证：求证： AF BD E A F B D C 【例【例3 3】( (2008 年宜宾市年宜宾市) )已知：如图，已知：如图，AD BC，AC BD，求证：，求证：C D D O C AB 【巩固】如图，【巩固】如图，AC、BD相交于相交于O点，且点，且AC BD，AB CD，求证：，求证：OAOD D C AO 【例【例4 4】( (哈尔滨市哈尔滨市 2008 年初中升学考试年初中升学考试) )已知：已知： 如图，如图，C四点在同一条直线上，四点在
9、同一条直线上，AB DC，B、E、F、 BE CF，B C求证：求证：OA OD A O D B B E FC 【例【例5 5】已知，如图，已知，如图，AB AC，CE AB，BF AC，求证：，求证：BF CE A E B F C 【例【例6 6】 E、 、F分别是正方形分别是正方形ABCD的的BC、CD边上的点，且边上的点，且BE CF求证：求证：AE BF AD F P 【巩固】【巩固】E、F、G分别是正方形分别是正方形ABCD的的BC、CD、AB边上的点，边上的点，GE EF，GE EF求证：求证： BG CF BC E B C A G D F B C E 【例【例7 7】在凸五边形中
10、，在凸五边形中，B E，C D，BC DE，M为为CD中点求证：中点求证：AM CD A BE CMD 板块三、截长补短类 【例【例1 1】 如图，点如图，点M为正三角形为正三角形ABD的边的边AB所在直线上的任意一点所在直线上的任意一点( (点点B除外除外) )，作，作DMN 60， 射线射线MN与与DBA外角的平分线交于点外角的平分线交于点N，DM与与MN有怎样的数量关系有怎样的数量关系? ? D N AMBE 【巩固】如图，点【巩固】如图，点M为正方形为正方形ABCD的边的边AB上任意一点，上任意一点，MN DM且与且与ABC外角的平分线交于外角的平分线交于 点点N，MD与与MN有怎样的
11、数量关系？有怎样的数量关系？ DC N AMBE 【例【例2 2】 如图，如图，ADAB，CBAB，DM= =CM= =a，AD= =h，CB= =k，AMD= =75 ，BMC= =45 ，则，则 AB 的长为的长为( () ) A. . aB. .kC. . k h D. .h 2 D C A M B 【例【例3 3】 已知：如图，已知：如图，ABCD 是正方形，是正方形，FAD= =FAE. . 求证：求证：BE+ +DF= =AE. . AD F BC E 【例【例4 4】 如图所示，如图所示，ABC是边长为是边长为1的正三角形，的正三角形，BDC是顶角为是顶角为120的等腰三角形，以
12、的等腰三角形，以D为顶点为顶点 作一个作一个60的的MDN，点，点M、N分别在分别在AB、AC上，求上，求AMN的周长的周长 A N M B D C 【例【例5 5】 五边形五边形 ABCDE 中，中，AB= =AE，BC+ +DE= =CD，ABC+ +AED= =180 ，求证：，求证：AD 平分平分CDE A BE C D 板块四、与角平分线有关的全等问题板块四、与角平分线有关的全等问题 【例【例1 1】 如图，已知如图，已知ABC的周长是的周长是21，OB，OC分别平分分别平分ABC和和ACB，OD BC于于D，且，且 OD3，求，求ABC的面积的面积 A O B 【例【例2 2】 在
13、在ABC中，中，D为为BC边上的点，已知边上的点，已知BAD CAD， BD CD，求证：，求证：AB ACA B D C DC 【例【例3 3】 已知已知ABC中，中，AB AC，BE、CD分别是分别是ABC及及ACB平分线求证：平分线求证：CD BE A DE BC 【例【例4 4】 已知已知ABC中，中，A 60，BD、CE分别平分分别平分ABC和和ACB，BD、CE交于点交于点O，试判，试判 断断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明的数量关系，并加以证明 A E B O D C 【例【例5 5】 如图，已知如图，已知E是是AC上的一点，又上的一点，又12，3 4求证：求证：ED EB
14、 D 3 E 1 A 2 B C 4 【例【例6 6】 ( (“希望杯”竞赛试题“希望杯”竞赛试题) )长方形长方形 ABCD 中，中，AB= =4，BC= =7，BAD 的角平分线交的角平分线交 BC 于点于点 E， EFED 交交 AB 于于 F，则，则 EF=_=_ A F D B E C 【例【例7 7】 如图所示，如图所示， 已知已知ABC中，中，求求DE CD，EF ACE、F分别在分别在BD、AD平分平分BAC，AD上上 证：证：EFAB A F BEDC 【巩固】如图，在【巩固】如图，在ABC中，中，AD交交BC于点于点D，点，点E是是BC中点，中点，EFAD交交CA的延长线于
15、点的延长线于点F， 交交AB于点于点G，若，若BG CF，求证：，求证：AD为为BAC的角平分线的角平分线 F G B A ED C 【巩巩固固】在在ABC中中，AB AC，AD是是BAC的的平平分分线线P是是AD上上任任意意一一点点求求证证： AB AC PB PC A P BDC 【例【例8 8】 如图，在如图，在ABC中，中，B 2C，BAC的平分线的平分线AD交交BC与与D求证：求证：AB BD AC A BDC 【例【例9 9】 如图所示，在如图所示，在ABC中，中，AC AB，M为为BC的中点，的中点，AD是是BAC的平分线，若的平分线，若CF AD 1 且交且交AD的延长线于的延
16、长线于F，求证，求证MF AC AB 2 A BD F M C 【巩固】如图所示，【巩固】如图所示，AD是是ABC中中BAC的外角平分线，的外角平分线，CD AD于于D，E是是BC的中点，求证的中点，求证 1 DEAB且且DE (AB AC) 2 A D BEC 【巩固】【巩固】 如图所示，如图所示， 在在ABC中，中，AD平分平分BAC，AD AB，CM AD于于M， 求证求证AB AC 2AM A B D M C 【例【例1010】如如图，图，ABC中，中，AB AC，BD、CE分别为两底角的外角平分线，分别为两底角的外角平分线，AD BD于于D，AE CE 于于E求证：求证：AD AE
17、A DE GBCH 【巩固】已知：【巩固】已知：AD和和BE分别是分别是ABC的的CAB和和CBA的外角平分线，的外角平分线，CD AD，CE BE，求，求 1 证：证：DEAB；DE AB BC CA 2 C DE AB 【例【例1111】在在ABC中，中，MB、NC分别是三角形的外角分别是三角形的外角ABE、ACF的角平分线，的角平分线，AM BM， 1 AN CN垂足分别是垂足分别是M、N求证：求证：MNBC，MN AB AC BC 2 A M E BC N F 【巩固】【巩固】 在在ABC中，中，ACB的角平分线，的角平分线，AM BM，AN CNMB、NC分别是三角形的内角分别是三角
18、形的内角ABC、 1 垂足分别是垂足分别是M、N求证：求证：MNBC，MN AB AC BC 2 A NM B C 【巩固】【巩固】( (北京市中考模拟题北京市中考模拟题) )如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AC平分平分BAD，过，过C作作CE AB于E， 并且并且AE 1 (AB AD)，则 ，则ABC ADC等于多少？等于多少？ 2 D C A E B 【例【例1212】如如图，图，AD 180，BE平分平分ABC，CE平分平分BCD，点，点E在在AD上上 探讨线段探讨线段AB、CD和和BC之间的等量关系之间的等量关系 探讨线段探讨线段BE与与CE之间的位置关系之间的位置关系
19、E D A BC 版块一、倍长中线 1 【例【例1 1】 已知：已知：ABC中，中，AM是中线求证：是中线求证：AM (AB AC) 2 A BMC 【巩固】【巩固】( (2002 年通化市中考题年通化市中考题) )在在ABC中，中，AB 5,AC 9，则，则BC边上的中线边上的中线AD的长的取值范围的长的取值范围 是什么？是什么？ 【例【例2 2】 如图，如图，ABC中，中，ABAC，AD是中线求证：是中线求证：DACDAB A B D C 【例【例3 3】 如图，已知在如图，已知在ABC中，中，AD是是BC边上的中线，边上的中线，E是是AD上一点，延长上一点，延长BE交交AC于于F， AF
20、 EF，求证：，求证：AC BE A F E B D 【例【例4 4】 已知已知ABC，B= =C，D，E 分别是分别是 AB 及及 AC 延长线上的一点，且延长线上的一点，且 BD= =CE，连接，连接 DE 交底交底 BC 于于 G，求证，求证 GD= =GE A C D C BG E 【例【例5 5】 已知已知AM为为ABC的中线，的中线，AMB，AMC的平分线分别交的平分线分别交AB于于E、交、交AC于于F求证：求证： BE CF EF A E F B M C 【例【例6 6】 在在RtABC中，中，A 90，点，点D为为BC的中点，点的中点，点E、F分别为分别为AB、AC上的点，且上
21、的点，且 ED FD 以线段以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，为边能否构成一个三角形？若能， 该三角形是锐角三角形、该三角形是锐角三角形、 直角三角形或钝角三角形？直角三角形或钝角三角形？ A E B F C D 【巩固】如图所示，在【巩固】如图所示，在ABC中，中，D是是BC的中点，的中点，DM垂直于垂直于DN，如果，如果BM2CN2 DM2 DN2， 1 求证求证AD2 AB2 AC2 4 A M N BDC 【例【例7 7】 ( (2008年四川省初中数学联赛复赛年四川省初中数学联赛复赛 初二组初二组) )在在RtABC中，中，F是斜边是斜边AB的中点，的中点，D、E分
22、别分别 在边在边CA、CB上，满足上，满足DFE 90若若AD 3，BE 4，则线段，则线段DE的长度为的长度为_ A D F C E B 版块二、中位线的应用 1 【例【例8 8】 AD是 是ABC的中线，的中线，F是是AD的中点，的中点，BF的延长线交的延长线交AC于于E求证：求证：AE AC 3 A E F BDC 【例【例9 9】 如图所示，如图所示，在在ABC中，中，AB AC，延长延长AB到到D，使使BD AB，E为为AB的中点，的中点，连接连接CE、 CD，求证，求证CD 2EC A E BC 【巩固】【巩固】已知已知ABC 中，中，AB= =AC，BD 为为 AB 的延长线，的
23、延长线，且且 BD= =AB，CE 为为ABC 的的 AB 边上的中线边上的中线求求 证证 CD= =2CE C D A EBD 【例【例1010】已已知：知：ABCD 是凸四边形，且是凸四边形，且 AC GNM A E D M N G B F C 【例【例1111】在在ABC中，中，ACB90，AC 求证：求证：AE EB且且AE BE E C D 1 BC，以以BC为底作等腰直角为底作等腰直角BCD，E是是CD的中点，的中点， 2 AB 【例【例1212】如如图，图，在五边形在五边形ABCDE中，中，ABC AED90，BAC EAD，F为为CD的中点的中点求证：求证： BF EF A B
24、 E CFD 【例【例1313】( (“ “祖冲之杯祖冲之杯 ” ”数学竞赛试题，中国国家集训队试题数学竞赛试题，中国国家集训队试题) )如图所示，如图所示，P是是ABC内的一点，内的一点， PAC PBC，过，过P作作PM AC于于M，PL BC于于L，D为为AB的中点，求证的中点，求证DM DL C M P L ADB 【例【例1414】( (全国数学联合竞赛试题全国数学联合竞赛试题) ) 如图所示，在如图所示，在ABC中，中，D为为AB的中点，分别延长的中点，分别延长CA、CB到点到点 E、F，使使DE DF过过E、F分别作直线分别作直线CA、CB的垂线，的垂线，相交于点相交于点P，设线
25、段设线段PA、PB 的中点分别为的中点分别为M、N求证：求证： ( (1) )DEM FDN； ( (2) )PAEPBF C D A B A D M E P N M FE P 家庭作业 【习题【习题 1 1】如图，已知】如图，已知AC BD，AD AC，BC BD，求证：，求证：AD BC AB DC 【习题【习题 2 2】点】点 M，N 在等边三角形在等边三角形 ABC 的的 AB 边上运动，边上运动，BD= =DC，BDC= =120，MDN= =60，求，求 证证 MN= =MB+ +NC A N M B C D 【习题【习题 3 3】在】在ABC中，中，AB 3AC，BAC的平分线交
26、的平分线交BC于于D，过，过B作作BE AD，E为垂足，求为垂足，求 证：证：AD DE A C D BE 【习题【习题 4 4】如图，在】如图，在ABC中，中，AB BD AC，BAC的平分线的平分线AD交交BC与与D求证：求证：B 2C A BDC 【习题【习题 5 5】如图，在等腰】如图，在等腰ABC中，中，AB AC，D是是BC的中点，过的中点，过A作作AE DE，AF DF，且，且 AE AF 求证：求证：EDB FDC A E BDC F 【习题【习题 6 6】如图，已知在】如图，已知在ABC中，中，AD是是BC边上的中线，边上的中线，E是是AD上一点，且上一点，且BE AC，延长，延长BE交交 AC于于F，AF与与EF相等吗？为什么？相等吗？为什么？ A F E B DC 【习题【习题 7 7】如右下图，在】如右下图，在ABC中，若中，若B 2C，AD BC，E为为BC边的中点求证：边的中点求证：AB 2DE A BDEC