《专题4立体几何解答题(文)-2018年高考数学备考中等生综合提升训练.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题4立体几何解答题(文)-2018年高考数学备考中等生综合提升训练.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题四专题四立体几何解答题（文）立体几何解答题（文） 以直线与平面所成的角相关的综合题以直线与平面所成的角相关的综合题 【背一背重点知识】 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是 0的角直线 与平面所成角的范围是 0, 2 异面直线所成的角 如图，已知两条异面直线a, b，经过空间任一点O作直线a a, b b则把a 与b 所成的锐角(或直角)叫做异 面直线a与b所成的角(或夹角)异面直线所成的角的范围是0, 2 二面角的平面角 如图在二面角 l 的棱上任取一点O，以点O为垂
2、足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线O A和 O B，则 AO B叫做二面角的平面角二面角的范围是0, 【讲一讲提高技能】 必备技能： 异面直线所成的角的范围是(0, 转化为共面问题来解决 具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在 特殊的位置上；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角；补形法：将空间图形补成熟悉的、完整 的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角 直线与平面所成的角的范围是0, 2 求线面角方法： 2 求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题 利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性
3、质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确 定提供了捷径 利用三棱锥的等体积，省去垂足， 在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键确定垂足，是常规方法可是如果垂足位置不好确定，此 时可以利用求点面距常用方法-等体积法从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角因为垂线段的长度 实际就是点面距 h，利用三棱锥的等体积，只需求出h，然后利用sin 妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：cos cos 1 cos 2 ， 如图所示： ABC , ABO 1 , OBC 2 其中 1 为 直线 AB 与平面所成的线面角 这个公式在求解一些选择填空题时， 可直接应用 但是一定要注
4、意三个角的位置， 不能张冠李戴 h 斜线段长 进行求解 （III）确定点的射影位置有以下几种方法： 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； 如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一 条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上； 两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； 利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置： a如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b 如果顶点到底面各边距离相等或侧面
5、与底面所成的角相等， 那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或 旁心)； c如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心 二面角的范围0,，解题时要注意图形的位置和题目的要求求二面角的方法： 直接法直接法求二面角大小的步骤是：一作（找） 、二证、三计算即先作(找)出表示二面角大小的平面角， 并证明这个角就是所求二面角的平面角，然后再计算这个角的大小用直接法求二面角的大小，其关键是确定表 示二面角大小的平面角而确定其平面角，可从以下几个方面着手：利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理) 确定平面角，自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到
6、棱上的点（即垂足） ，斜足与 面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角； ；利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角， 自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；利用定义确 定平面角，在棱上任取一点， 过这点在两个平面内分别引棱的垂线， 这两条射线所成的角， 就是二面角的平面角； 射影面积法利用射影面积公式cos S S ；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还 有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法” “延伸平面法”等 典型例题： 例 1 【2018 江西抚州市高三八校联考】如图，在三棱锥 平面平面，为 平面 与平面
7、 ； 所成角的正弦值 的中点 中， （I）求证： （II ）求直线 【答案】 （I）见解析； （II ） ，再用线面垂直的判定定理进行证明； （II ）使用等 所成角的正弦值 【解析】试题分析： （I）利用勾股定理的逆定理得出 体积法求出点 到平面 试题解析： 又 平面 ， 平面，平面 的距离，进一步求出 ， ， 平面 与平面 平面，平面 【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，属中档题；文科立体几何解答题主要考查 线面位置关系的证明及几何体体积的计算，空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与 垂直关系，其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理，要
8、防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类 题目难度不大，以中档题为主 例 2 【2018 山东省济宁高三一模】如图，直三棱柱 点 中，是棱的中 （I）证明：平面平面； （II）若与平面所成角的正弦值为 中，得到 ，求四棱锥的体积 【答案】 （I）证明见解析； （II） 【解析】试题分析： （I）在 （II）取的中点 ，连接 ，根据三棱柱的性质，得到 为直线 ，再 与平面所成的角，得到，利用三棱柱的性质，得到 ，进而得到几何体的体积 试题解析： （I）证明：在中，是棱的中点， 由直三棱柱的性质知： 又 （II）解：取 ， 平面 平面 ， ， ， ，则 ， 平面 平面 ， ，平面 ， ，又， 平面
9、 的中点 ，连接 平面由直三棱柱的性质知：平面，平面， 为直线与平面所成的角， 又，即 ， 【练一练提升能力】 1 【2018 衡水金卷（三） 】如图所示，在三棱锥P ABC中，平面PAB 平面ABC，AC CB，A B 4， PA 42， P A B 45 （I）证明：AC 平面PC B； （II）若二面角A PB C的平面角的大小为60，求直线P B与平面PAC所成角的正弦值 5 5 【答案】 （I）见解析； （II）直线PB与平面PAC所成角的正弦值为 【解析】 【试题分析】 （I）用余弦定理求得P B 4，故三角形P A B为直角三角形，即PB AB，根据面面垂直 的性质定理可知 PB
10、 平面ABC，所以P B A C，结合AC BC可得AC 平面P C B （II）过点 B 作 BD PC，垂足为D，连接AD易证得 BPD即为直线P B与平面PAC所成的角计算的P B , B D的长度， 两者相比即得到所求线面角的正弦值为 【试题解析】 5 5 （I）在 P A B中，因为A B 4，PA 4 2， P A B 45 ， 所以由余弦定理，可知P B2 A B 2 A P 2 2 A B A P co s P A B 2 2 16 32 2 4 42 16， 所以PB 4故PB2 BA 2 PA 2，即有P B B A 又因为平面PAB 平面ABC，且平面PAB 平面ABC
11、AB，PB 平面P A B， 所以PB 平面ABC又AC 平面ABC，所以PB AC 又因为AC CB，PB CB B，所以AC 平面PBC 在RtPBC中，PC PB BC 22 16 4 25， 4 5 5 且P B B C P C B D 4 2 2 5 B D B D 45 5 4 5 5 因此在RtPBD中，得sin B P D B D P B ， 故直线P B与平面PAC所成角的正弦值为 5 5 2 【2018 湖北八校 高三 上学期第 一次联 考（12 月） 】四 棱锥S A B C D中， AD BC， B C C D , SD A SD C 60 ，AD D C 0 1 2
12、B C 1 2 SD ，E为SD的中点 （I）求证：平面AEC 平面ABCD； （II）求BC与平面CDE所成角的余弦值 【答案】 （I）证明见解析； （II） 3 3 【解析】 试题分析：（I） 设O为AC的中点， 连接E O , D O， 首先证明ED EC AD D C， 由此可得EO AC， 再证明EO C EO D，可得EO O D，由线面垂直判定定理可得EO 面ABCD，最后由面面垂直判定定 理可得结果； （II）设F为C D的中点，连接O F、 EF，先证得OF / / BC，通过证明面EC D 面OEF求出BC 与面ECD改成角的大小，故而得出结论 试题解析：（I） 设O为AC
13、的中点， 连接E O , D O， E 为SD的中点，A D D C 1 2 SD , SD A SD C 60 ，0 ED EC AD D C . 则EO AC， .A D / / B C , B C C D A D C D 又O D O A O C， EOC EOD，从而EO O D， AC ABCDD O 面ABCDA C D O 0， EO 面ABCDEO 面AEC，面EAC 面ABCD 以立体几何中的距离、体积问题相关的综合题以立体几何中的距离、体积问题相关的综合题 【背一背重点知识】 （I）两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距
14、离；常有求法先证线段A B 为异面直线a , b的公垂线段，然后求出A B的长即可找或作出过b且与a平行的平面，则直线a到平面的距 离就是异面直线a , b间的距离找或作出分别过a , b且与b，a分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异 面直线a , b间的距离根据异面直线间的距离公式EF d m n 2mn cos （“”符号由实际情况选 定）求距离 222 （II）点到平面的距离 点到直线a的距离为点到直线a的垂线段的长，常先找或作直线a所在平面的垂线，得垂足为，过作a 的垂线，垂足为连，则由三垂线定理可得线段即为点到直线a的距离在直角三角形中求出 的长即可常用求法作出点到平面的垂线后求
15、出垂线段的长；转移法，如果平面的斜线上两点， 到斜足的距离， 的比为m : n，则点，到平面的距离之比也为m : n特别地，时， 点，到平面的距离相等；体积法 （III）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面 的距离； （4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离 （5）多面体的面积和体积公式 名称 棱柱 棱柱 直棱柱 棱锥 棱锥 正棱锥 棱 台 棱台 正棱台 ch 侧面积(S 側 ) 直截面周长l 全面积(S 全 ) 体 积 (V) S 底 h=S 直 截 面 l S 底 S 側 +2S 底 h 各侧面积之
16、和 1 2 S 側 +S 底 1 3 ch S 底 h 各侧面面积之和 1 2 c c h S 側 +S 上 底 +S 下 底 1 3 h(S 上 底 +S 下 底 + S 上 底 S 下 底 ) 表中S表示面积，c , c分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h 表示斜高，l 表示侧棱长 （6）旋转体的面积和体积公式 名称 S 侧 圆柱 2rl 圆锥 rl 圆台 r 1 r 2 l 22 球 S 全 2rl rrl rr 1 r 2 l r 1 r 2 1 3 4R 2 Vr h(即r l) 22r h 2 1 3 hr 1 r 1 r 2 r 2 22 4 3 R 3 表中l、h分别表示母线
17、、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1 , r 2 分别表示圆台 上、下底面半径，R表示 半径 【讲一讲提高技能】 1必备技能： 求距离的关键是化归即空间距离向平面距离化归，具体方法如下： （I）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形 （II）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点 的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法 （III）求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为 点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：找出或作出表示有关距离的线段；证明它符合定义；归到 解
18、某个三角形若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之异面直线上两点间距离公式， 如果两条异面直线 a 、b 所成的角为，它们的公垂线AA的长度为 d，在 a 上有线段 AE m，b 上有线段 AF n，那么 EF d m n 2mn cos （“”符号由实际情况选定） 求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点： 注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置 作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足） ，而垂足 的寻找通常用到面面垂直的性质定理 求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视二面角的平角的常
19、用作法有三种： 根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线解决办法，先找面面垂直， 利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面作二面角的平面角应把握先找后作的原则此外在解 答题中一般不用公式“ cos S S 222 ”求二面角否则要适当扣分 求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂 直的性质定理与几何图形的特殊性质而间接法中常用的是等积法及转移法 求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过 解三角形最终求得所需的角与距离 求体积常见方法 直接法
20、（公式法）直接根据相关的体积公式计算；转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化 为与它等底、等高的几何体的体积；分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；补形法：通过 补形化归为基本几何体的体积；四面体体积变换法；利用四面体的体积性质： （）底面积相同的两个三棱 锥体积之比等于其底面积的比； （）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比； （）用平行于底面的平 面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方 求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割： 三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3 和等
21、积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等 求体积常见技巧 当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散 时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便 利 （I）几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而 求之 （II）几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方 体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补 成锥体研究体
22、积 (3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有 关的几何元素 组合体的表面积和体积的计算方法 实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这 类组合体的表面积或体积的基本方法就是“分解” ，将组合体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一 个部分，分别计算其体积，然后根据组合体的结构，将整个组合体的表面积或体积转化为这些“部分的表面积或 体积”的和或差 易错提示空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外 的所有面的面积，在计算时要注意区
23、分是“侧面积还是表面积” 多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋 转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是 如何构成的，在计算时不要多算也不要少算，组合体的表面积要根据情况决定其表面积是哪些面积之和 求解几何体体积的策略及注意问题 （I）与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系 （II）计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高 (3)注意求体积的一些特殊方法： 分割法、 补体法、 转化法等， 它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法， 应熟练掌握 (4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征
24、 2典型例题： 例 1 【2018 海南高三阶段性测试（二模） 】如图，在直三棱柱A B C A 1 B 1C1 中， B A C 90，AB AC 2， 点M为A 1C1 的中点，点N为A B 1 上一动点 （I）是否存在一点N，使得线段M N / /平面B B 1C1C ？若存在，指出点N的位置，若不存在，请说明理由 （II）若点N为A B 1 的中点且CM M N，求三棱锥M NAC的体积 2 3 【答案】 （I）见解析（II） 【解析】试题分析： （I）存在点N，且N为A B 1 的中点要证M N / /平面B B 1C1C ，连接A 1 B，B C 1 ，点M， 转证M N / /B
25、C即可； （II） 设点D，E分别为A B，A A 1 的中点， 连接C D，DN， N 分别为A 1C1 ，A 1 B的中点， N E，易得NE 平面A A 1C1C ，V M N A C V N A M C 1 3 S AM C N E ，从而得到三棱锥M N AC的体积 试题解析： （I）存在点N，且N为A B 1 的中点 证明如下： 如图，连接A 1 B，B C 1 ，点M，N分别为A 1C1 ，A 1 B的中点， 所以M N为 A 1 B C 1 的一条中位线，M N / /BC， M N 平面B B 1C1C ，B C 1 平面B B 1C1C ，所以M N / /平面B B 1C
26、1C （II）如图，设点D，E分别为A B，A A 1 的中点，连接C D，DN，N E，并设A A 1 a，则C M 2 2 a 1， 2 M N 1 a 4 4 2 a 8 4 2 ，C N 2 a 2 4 5 a 20 4 2 ， 由C M N，得C M2 M N 2 C N 2，解得a 2， 又易得NE 平面A A 1C1C ，NE 1， 1 3 1 3 1 2 2 3 V M N A C V N A M C S A M C N E 2 2 1 所以三棱锥M NAC的体积为 2 3 【名师点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意 求体
27、积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法 转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形 (或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到， 利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高， 特别是 在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得 到高的数值 例 2 【2018 湖北武汉高中毕业生 2 月调研测试】如图，在三棱锥 ， 中， （I）求三棱锥的体积； （II）求点 C 到平面的距离 【答案】 （I）3； （II） 【解析】 试题分析：（I
28、） 过 作 就是 到平面的距离，而 交于一点 ， 利用题设中面面垂直可以得到 ，从而所求体积为 （II）通过三角形 ， 从而 可以得到 ，从而，利用就能计算出 点到平面距离为 （II）在中，连接则 ， 在中， 设 点到平面 知 【练一练提升能力】 1 【2018 福建莆田高三下学期教学质量检测 （3 月） 】如图，四棱锥 分别为中点 从而 距离为 ，由等体积法可 点到平面距离为 中，底面是平行四边形， （I）证明： （II）若 平面； 平面，求三棱锥的体积是等边三角形，平面 【答案】 （I）见解析（II） 【解析】试题分析： （I）取 （II）取中点 ，连结 中点 ，连结 ，则 ，易证得四边形
29、为平行四边形，进而得证； 即可得解，利用等体积转换 试题解析： （I）取 因为 所以 又因为四边形 又是 又 中点 ，连结 中， 是平行四边形，所以 ，所以 平面 ，则 ，所以 所以四边形 平面 平面，平面平面 ，平面， 为平行四边形，所以， 分别为 中点， 中点，所以 平面， （II）取 所以 中点 ，连结 平面 ，因为平面 平面，所以又由（I）知 又因为为中点，所以 所以三棱锥 的体积为 2 【2018 四川成都七中高三二诊（ 3 月）模拟考试】如图，四棱锥 ， 为的中点，平行于，平行于面 中，侧棱 ， 垂直于底面 ， （I）求的长； 的距离 的中点 ，连接、，根据题设条件可证四边形 垂直于底面可证垂直于面 为平行四边形，即可求 ，即可得为点 到 （II）求点 到平面 【答案】 （I）4； （II） 【解析】试题分析： （I）取 出 平面 的长； （II）取 的距离 的中点 ，由及侧棱 试题解析： （I）取 因为 因为 所以 （II）取 因为 平行于 平行于面 ， 的中点 ，连接 平行于 ，面 、 平行于 交与 ， ，所以 平行于 ，所以平行线 ，所以 到面 、的间距为，即 ， 四点共面，所以 与面，所以 为平行四边形所以 的中点 ，则 ， 垂直于，因为平行于 垂直于垂直于，所以垂直于面的距离为