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1、第二章测试 (时间：120 分钟满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1已知抛物线的准线方程为 x7，则抛物线的标准方程为 () Ax228y Cy228x By228x Dx228y p 解析由条件可知 27，p14，抛物线开口向右，故方程为 y228x. 答案B x2y2 2设 P 是椭圆25161 上的点若 F1，F2是椭圆的两个焦点， 则|PF1|PF2|等于() A4 C8 B5 D10 解析由题可知 a5，P 为椭圆上一点， |PF1|PF2|2a10. 答案D 3双曲线3mx2my
2、23 的一个焦点是(0,2)，则m 的值是() A1 10 C 20 B1 10 D. 2 x2y2 解析把方程化为标准形式 1 3 1， mm 31 a2m，b2m. 31 c2mm4， 解得 m1. 答案A x2y2 4椭圆25 9 1 上一点 P 到两焦点的距离之积为 m，则 m 取 最大值时，P 点坐标是() A(5,0)或(5,0) 53 353 3 B(2， 2 )或(2， 2 ) C(0,3)或(0，3) 5 335 33 D( 2 ，2)或( 2 ，2) 解析|PF1|PF2|2a10， |PF1|PF2| 2 |PF1|PF2|() 25. 2 当且仅当|PF1|PF2|5
3、时，取得最大值， 此时 P 点是短轴端点，故选 C. 答案C x2y2 5(2010天津)已知双曲线a2b21(a0，b0)的一条渐近线方 程是 y 3x，它的一个焦点在抛物线 y224x 的准线上， 则双曲线的 方程为() x2y2 A.361081 x2y2 C.108361 x2y2 B. 9 271 x2y2 D.27 9 1 解析本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程， 属 于容易题 依题意知c6， c a b ， 222 b a 3， a29，b227， x2y2 所以双曲线的方程为 9 271. 答案B 6在 y2x2上有一点 P，它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离
4、 之和最小，则点 P 的坐标是() A(2,1) C(2,1) B(1,2) D(1,2) 解析如图所示，直线 l 为抛物线 y2x2的准线，F 为其焦点， PNl，AN1l， 由抛物线的定义知，|PF|PN|， |AP|PF|AP|PN|AN1|， 当且仅当 A，P，N 三点共线时取等号， P 点的横坐标与 A 点的横坐标相同即为 1， 则可排除 A、C、D 项，故选 B. 答案B 7已知抛物线的顶点为原点，焦点在 y 轴上，抛物线上点 M(m， 2)到焦点的距离为 4，则 m 的值为() A4 或4 C4 B2 D2 或2 p 解析由题可知，2(2)4，p4. 抛物线的方程为 x28y.
5、将(m，2)代入可得 m216， m4.故选 A. 答案A x2y2 8设双曲线a2b21(a0，b0)的离心率为 3，且它的一个焦 点在抛物线 y212x 的准线上，则此双曲线的方程为() x2y2 A. 5 6 1 x2y2 C. 3 6 1 x2y2 B. 7 5 1 x2y2 D. 4 3 1 解析抛物线 y212x 的准线方程为 x3， c3， c 由题意，得a 3， c a b . 222 解得 a23，b26， x2y2 故所求双曲线的方程为 3 6 1. 答案C 9动圆的圆心在抛物线 y28x 上，且动圆恒与直线 x20 相 切，则动圆必过点() A(4,0) C(0,2) B
6、(2,0) D(0，2) 解析直线 x20 是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上， 由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0) 答案B x2y2 10椭圆a2b21(ab0)上任意一点到两焦点的距离分别为 d1，d2， 焦距为 2c， 若 d1,2c， d2成等差数列， 则椭圆的离心率为() 1 A.2 3 C. 2 2 B. 2 3 D.4 解析由椭圆的定义可知 d1d22a， 又由 d1,2c，d2成等差数列， c1 4cd1d22a，ea2. 答案A 1 2 11已知 F 是抛物线 y4x 的焦点，P 是该抛物线上的动点，则 线段 PF 中点的轨迹方程是() 11 2 Ax y2B
7、x 2y16 2 Cx22y1Dx22y2 1 解析由 y4x2x24y，焦点 F(0,1)， 设 PF 中点 Q(x，y)、P(x0，y0)， 2x0 x ， 则2y1y ， 4y x ， 0 0 0 2 0 x22y1. 答案C x2y2 12已知 F1，F2是双曲线a2b21(ab0)的左、右焦点，P 为 |PF2|2 双曲线左支上一点，若 |PF | 的最小值为 8a，则该双曲线的离心率的 1 取值范围是() A(1,3) C(1,3 2 |PF |2a 1 |PF2| 解析 |PF | |PF | 11 2 B(1,2) D(1,2 4a2 |PF1|PF |4a8a， 1 4a2
8、当|PF1|PF |，即|PF1|2a 时取等号 1 又|PF1|ca，2aca. c3a，即 e3. 双曲线的离心率的取值范围是(1,3 答案C 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题5 分，共20 分请把正确 答案填在题中横线上) x2y21 13 (2010福建)若双曲线 4 b21(b0)的渐近线方程为 y2x， 则 b 等于_ b1 解析由题意知22，解得 b1. 答案1 14若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点 (4,0)，离 3 心率为 2 ，则椭圆的标准方程为_ 解析若焦点在 x 轴上，则 a4， 3 由 e 2 ，可得 c2 3， b2a2c216124， x2y2
9、椭圆方程为16 4 1， 若焦点在 y 轴上，则 b4， 3c33 22 由 e 2 ，可得a 2 ，c 4a . 1 2 又 a c b ，4a 16，a264. 222 x2y2 椭圆方程为16641. x2y2x2y2 答案 16641，或164 1 x2 2 15 设 F1和 F2是双曲线 4 y 1 的两个焦点， 点 P 在双曲线上， 且满足F1PF290，则F1PF2的面积为_ |PF |PF |4， 解析由题设知 |PF | |PF | 20， 12 1 2 2 2 ) 2得|PF1|PF2|2. 1 F1PF2的面积 S2|PF1|PF2|1. 答案1 x2y2 16过双曲线
10、C：a2b21(a0，b0)的一个焦点作圆 x2y2 a2的两条切线，切点分别为 A，B.若AOB120(O 是坐标原点)， 则双曲线 C 的离心率为_ 解析如图，设双曲线一个焦点为 F， 则AOF 中，|OA|a，|OF|c，FOA60. c c2a，ea2. 答案2 三、解答题(本大题共 6 个小题，共70 分解答应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤) 5 17 (10 分)求与椭圆 4x 9y 36 有相同的焦距， 且离心率为 5 22 的椭圆的标准方程 x2y2 解把方程 4x 9y 36 写成 9 4 1， 22 则其焦距 2c2 5，c 5. c5 又 ea 5 ，a5. b
11、2a2c252520， x2y2y2x2 故所求椭圆的方程为25201，或25201. 18(12 分)已知抛物线 y26x，过点 P(4,1)引一条弦 P1P2使它恰 好被点 P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|. 解设直线上任意一点坐标为(x，y)， 弦两端点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 2 P1，P2在抛物线上，y2 16x1，y26x2. 两式相减，得(y1y2)(y1y2)6(x1x2) y1y2 6 y1y22，k3. x1x2y1y2 直线的方程为 y13(x4)，即 3xy110. y26x， 由 y3x11， 得 y22y220， y1y22，y1y22
12、2. |P1P2| 1 19 2 230 2 422 3 . 2 19、 （本小题满分 12 分） y2 设F 1 ,F2分别是椭圆 E：x+ 2 =1（0b1）的左、右焦点，过F 1 的直线l与 b 2 E 相交于 A、B 两点，且AF 2 ，AB，BF 2 成等差数列。 （）求AB （）若直线l的斜率为 1，求 b 的值 解： （1）由椭圆定义知 F 2 + F 2 又2AB= AF F 得AB （2） 即 4 2 x 2 x 1 . 3 84(1b2)4(12b2)8b4 2 则 (x 1 x 2 ) 4x 1x2 22229(1b )1b1b 解得b 2 . 2 20、(本小题满分 1
13、2 分) 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1 （I） （II） 求椭圆C的方程 若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点， OP e OM （e 为椭圆 C 的离心率） ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （20）解： （）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 w.w.w. .s.5.u.c.o.m ac1, 解得 a=4,c=3, ac7. x2y2 1. 所以椭圆 C 的方程为 167 w.w.w. s.5.u.c.o.m （）设 M（x,y）,P(x,y1),其中x4,4.由已知得 x2 y 1
14、2 e2. 22x y 而e 3 2222 ，故16(x y1) 9(x y ). 4 2 1 w.w.w. .s.5.u.c.o.m 1127x2 , 由点 P 在椭圆 C 上得 y 16 代入式并化简得9y 112, 所以点 M 的轨迹方程为y 2 4 7 (4 x 4),轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 3 w.w x2y2 21(12 分)已知椭圆 C：a2b21(ab0)，直线 l 为圆 O：x2y2 b2的一条切线，记椭圆 C 的离心率为 e. (1)若直线 l 的倾斜角为3，且恰好经过椭圆 C 的右顶点，求 e 的 大小； (2)在(1)的条件下，设椭圆 C 的上顶点为 A，左焦
15、点为 F，过点 A 与 AF 垂直的直线交 x 轴的正半轴于 B 点，且过 A，B，F 三点的圆恰 好与直线 l：x 3y30 相切，求椭圆 C 的方程 解 (1)如图，设直线 l 与圆 O 相切于 E 点，椭圆 C 的右顶点为 D， 则由题意易知，OED 为直角三角形， 且|OE|b，|OD|a，ODE3， |ED|OD|2|OE|2c(c 为椭圆 C 的半焦距) c1 椭圆 C 的离心率 eacos32. c1 (2)由(1)知，a2， 可设 a2m(m0)，则 cm，b 3m， x2y2 椭圆 C 的方程为4m23m21. A(0， 3m)，|AF|2m. 直线 AF 的斜率 kAF 3
16、，AFB60. |AF| 在 RtAFB 中，|FB|4m， cosAFB B(3m,0)，设斜边 FB 的中点为 Q，则 Q(m,0)， AFB 为直角三角形， 过 A， B， F 三点的圆的圆心为斜边 FB 的中点 Q， 且半径为 2m， 圆 Q 与直线 l：x 3y30 相切， |m3| 13 2m. m 是大于 0 的常数，m1. x2y2 故所求的椭圆 C 的方程为 4 3 1. x2y2 21(12 分)设椭圆 C1：a2b21(ab0)，抛物线 C2：x2by b2. (1)若 C2经过 C1的两个焦点，求 C1的离心率； 5 (2)设 A(0，b)，Q(3 3，4b)，又 M，
17、N 为 C1与 C2不在 y 轴上的 3 两个交点，若AMN 的垂心为 B(0，4b)，且QMN 的重心在 C2上， 求椭圆 C1和抛物线 C2的方程 解(1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上， 可得 c2b2，由 a2b2c22c2， c212 有a22e 2 . (2)由题设可知 M、N 关于 y 轴对称， 设 M(x1，y1)，N(x1，y1)(x10)， 由AMN 的垂心为 B， 3 2 有BMAN0 x1(y14b)(y1b)0. 2 由点 N(x1，y1)在抛物线上，x1by1b2， b 解得 y14，或 y1b(舍去)， 55b5b 故 x1 2 b，M( 2 b，4)，N(
18、2 b，4)， b 得QMN 重心坐标( 3，4) b2 2 由重心在抛物线上得 3 4 b ， 11 b2，M( 5，2)，N( 5，2)， 16 又M，N 在椭圆上，得 a 3 ， 2 x2y2 椭圆方程为16 4 1， 3 抛物线方程为 x22y4. 22(12 分)(2010北京)已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是( 6 2，0)，( 2，0)，离心率是 3 ，直线yt 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，以线段 MN 为直径作圆 P，圆心为 P. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标； (3)设 Q(x，y)是圆 P 上的动点，当 t 变化时，求 y 的最大值 c6 解(1)a 3 ，且 c 2， a 3，b x2 2 椭圆 C 的方程为 3 y 1. (2)由题意知 P(0，t)(1t1)， a2c21. yt， 由x2 2 y 3 1， 得 x31t2， 圆 P 的半径为 2 31t2. 3 31t |t|，解得 t 2 . 3 点 P 的坐标是(0， 2 ) (3)由(2)知，圆 P 的方程为 x2(yt)23(1t2) 点 Q(x，y)在圆 P 上， yt31t2x2t 设 tcos，(0，)， 则 t 31t2cos 3sin2sin(6)， 31t2. 1 当 3，即 t2，且 x0，y 取最大值 2.