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1、相似三角形的判定相似三角形的判定 一. 教学要求 1. 了解相似多边形的含义，经历相似多边形概念所形成的过 程，探索相似多边形的本质特征。 2. 理解相似三角形的概念，深化对相似三角形的理解和认识。 3. 掌握两个三角形相似的判定条件，能够运用三角形的相似 条件解决简单的问题。 二. 重点及难点 重点： 1、了解相似多边形的含义，正确理解概念的应用方法。 2、理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的本质特征。 3、识别相似三角形，掌握相似三角形的判定条件，并运用三 角形的相似条件解决简单的问题。 难点： 1、多边形边角关系的理解。 2、深化对相似三角形的理解和认识。 3、运用相似三角形条件解决一
2、些实际问题。 三. 课堂教学 知识要点 知识点 1、相似多边形的概念：对应角相等，且对应边成比 例的两个多边形叫做相似多边形。 例如：四边形 ABCD 与四边形 ABCD 说明：相似多边形的定义要注意一定要满足两个条件：对应 角相等，对应边成比例，这两个条件缺一不可。 知识点 2、相似比：相似多边形对应边的比叫作相似比。 说明： （1）两个全等的多边形一定是相似多边形，其相似比 等于 1。 （2）相似比大于零，因为两个多边形的边长都是正数，所 以对应边的比，即相似比也必是正数。如ABCABC 的相似比 AB k ， 则ABC AB ABC的相似比是 AB 1 ABk 。 知识点 3、 相似多边
3、形定义的逆向思维： 如果两个多边形相似， 那么对应角相等，对应边成比例，如相似四边形 ABCD四边形 ABCD 则A A,B B,C C,D D， ABBCCDDA ABBC CDDA。 知识点 4、相似三角形的定义：三个角对应相等，且三边对 应成比例的两个三角形叫做相似三角形。 说明：相似三角形定义的双重性： （1） 在ABC 和ABC 中， 若A A,B B,C C， 且 ABBCCA ABBC CA ，则ABCABC。 （2）若ABCABC，则A A,B B,C C， ABBCCA ABBC CA 知识点 5、相似比：两个三角形对应边的比叫作相似比。 知识点 6、相似三角形与全等三角形的
4、区别与联系 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形， 能够完全重合 指的是形状相同且大小也相等， 全等三角形的基本性质是对应角 相等，对应边也相等，而性状相同，大小不一定相等的两个三角 形就是相似三角形，形状相同就是指两个三角形的对应角相等， 对应边成比例，这是相似三角形的一个最基本的性质。 全等三角形与相似三角形的相同之处， （1）两者都强调形状 相同。（2） 两者都强调把表示对应顶点的字母写在对应的位置上， 这样可以比较容易的找出对应角和对应边， （）两者的性质也 非常相似，都是关于边和角，主要是线段，周长与面积等，它们 研究的方法也很类似，它们的联系：全等三角形是相似比为 1 的 相似三
5、角形，即全等三角形是相似三角形的一种特殊情况。 全等三角形与相似三角形的主要区别： 全等三角形要求对应 边相等，而相似三角形只要求对应边成比例，当对应边的比值等 于 1 时，这两个三角形不仅相似而且全等，总之，两个三角形全 等一定是相似，但相似不一定全等。 知识点 7、三角形相似的条件 全等三角形是相似比为 1 的相似三角形， 它们的共同点是对 应角相等，不同点是全等三角形对应边相等，而相似三角形是对 应边成比例，全等三角形是相似三角形的特例。 三角形全等的判别三角形相似的判别 SAS SSS ASA（AAS） HL 两边对应成比例，且夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等 有一直角边与斜边对
6、应成比例 知识点 8、三角形相似的基本图形 （1）平行型：如图“A 型”即公共角所对应的边平行， 则ADEABC “X 型” ，即对顶角对的边平行，则AOBDOC （2）相交型：“共角型” ，即其公共角的对边不平行，且 有另一对角相等，则有 ABCADE “共角共线型” ，即公共角的对边不平行，且有另一对角 相等，两个三角形有一条公共边，则ABCACD “蝴蝶型” ，即对顶角的对边不平行，且有另一对角相等， 则ABCADE （3）母子型：直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角 形与原三角形相似，即ADCCDBACB 【典型例题】 例 1. 已知两个相似三角形的最长边分别为 35 厘米和 14
7、厘 米，且较大的三角形的周长为 60 厘米，求另一个三角形的周长。 分析：两个相似三角形的最长的边的比即对应边的比，再根 据等比性质求得两个三角形边长之和的比， 即两个三角形的周长 的比等于相似比，从而求得另一个三角形的周长。 解： 不防设ABCABC， 且 AB=35 厘米， AB =14 厘米。 所以 所以 ABBCCA35 ABBC CA 14 AB BC CA5 AB BCCA2 因为 AB BC CA=60 厘米 所以 AB BCCA=24 厘米。 答：另一个三角形的周长为 24 厘米。 说明：利用等比性质能够顺利得出两个三角形的周长比，周 长比等于相似比，此题顺利得解。 例 2.
8、如图，RtABCRtCBD，AB=4，AC=3，试求 BD， CD 的长。 分析：根据两个相似三角形中的一个三角形已知两边长，要 求另一个三角形的两边长，由相似三角形对应边成比例，显然条 件不足，但图中两个三角形有一条公共边BC 并且都是直角三角 形，所以根据勾股定理，在 RtABC 中求出 BC 的长，BC 又可 以成为 RtCBD ACAB 中的已知边长，再根据比例式 CDBC ，即可求 得 CD，然后用勾股定理或比例式求出 BD。 解：因为 RtABC 中， AB 4, AC 3 所以 BC AB2 AC242325 因为 RtABCRtCBD ACAB34 所以 CDBC ，即 CD5
9、 CD 15 4 所以 ABBC45 因为 BCBD ，即 5BD ， BD 25 4 所以 例 3. 如图， ADEABC， AD=8 厘米， DB=4 厘米， BC=15 厘米 求（1）DE AE 的长， （2） EC 分析： （1）求DE 的长则根据相似三角形对应边成比例，即 DEADAD 有 BCAB ，而 AB AD 的值用 BD 的值转化得到，从而等式中仅 DE AE AC 未知，用解方程的方法即可求得。 （2） 的值正好是两个相似 AE AC 三角形的对应边之比，由（1）即可求解，再由 质可求得。 的比用比例性 解： （1）因为ADEABC，AD=8 厘米，DB=4 厘米， BC
10、=15 厘米 DEAD 所以 BCAB ，AB=AD+DB=12 8DE 所以12 15 厘米。 所以 DE=10 厘米。 （2）因为ADEABC 所以 所以 因为 AE AC AD AB 2 3 AC3 AE2 AC AE32EC1 AE2 ，即 AE2 AE 2 所以 EC 说明：根据相似三角形的性质，并运用比例的基本性质进行 运算，这是常用的基本方法，须熟练掌握，同时，此例也可用其 他方法求解， 如， 由 AE2k 2 所以 ECk AE AC 2 = 3 ， 设 AE=2k， AC=3k， 则 EC=AC-AE=k， 例 4. 如图，点 C，D 在线段 AB 上，PCD 是等边三角形。
11、 （1）当AC，CD，DB 满足怎样的关系时，ACPPDB （2）当ACPPDB 时，求 APB 分析： （）ACP 和PDB 中，已有一组角相等，只需这 组角的两边成比例，然后再通过正三角形性质转化到 AC，CD， DB 的关系， （2）当ACPPDB，则对应角相等，这样可求出 APB 。 解： （1）因为PCD 是等边三角形，所以 PC=CD=PD， PCD PDC 60， 即PCA PDB 120 ACPC 所以只要满足 PDBD ，ACPPDB （2）因为ACPPDB，所以1 A,2 B 又因为PDC 1B 60，所以12 60 所以APB 12CPD 6060 120 例 5. 如图
12、，AOB 90，OA=OB=BC=CD，请找出图中的相 似三角形，并说明理由。 分析：有公共角的先确定，再找另一个角对应相等或夹边对 应成比例。 解：ABCDBA 设 OA=OB=BC=CD=a 则 AB= 2 a， BCa2 AB22a AB2a2 ， DB2a2 BCAB 所以 ABDB ，且ABC DBA 所以ABCDBA 【模拟试题】 （答题时间：45 分钟） 一、选择题 1. 下列图形中一定相似的是（） A. 有一个角相等的两个平行四边形 B. 有一个角相等的两个等腰梯形 C. 有一个角相等的两个菱形 D. 有一组邻边对应成比例的两个平行四边形 2. 下列结论不正确的是（） A. 所
13、有的矩形都相似 B. 所有的正方形都相似 C. 所有的等腰直角三角形都相似 D. 所有的正八边形都相似 3. 如果ABCABC，BC=3，BC=1.8，则A BC与ABC 的相似比为（） A. 53 C. 23 B. 32 D. 35 4. ABC 和ABC符合下列条件，其中使ABC 和 ABC不相似的是（） A. A=A=45B=26B=109 B. AB=1AC=1.5BC=2AB=4AC=2 BC=3 C. A=BAB=2AC=2.4AB=3.6B C=3 D. AB=3AC=5BC=7AB= BC= 7 3 AC= 5 5. 如图， 下列 条件不 能判 定 ABC 与ADE 相似 的是
14、 （） A. C. AEAC ADAB AEDE AC BC B. B=ADE D. C=AED 6. 在ABCD中， E在BC边上， AE交BD于F， 若BEEC=4 5，则 BFFD 等于（） A. 45B. 54C. 59D. 49 7. 如图， 在RtABC中， ACB=90， CDAB于点D， CD=2， BD=1，则 AD 的长是（） A. 1 二、填空题 1. 如图 1，平行四边形 EFAD平行四边形 ABCD，则A 的 对应角是_，B AF() 的对应角是_，( )AB 。 B. 2 C. 2D. 4 图 1 2. 1 两个相似多边形的相似比是 8 ， 则这两个多边形的对应对角
15、 线的比是_。 3. 如果ABC 和ABC的相似比等于 1， 则这两个三角 形_。 4. 已知ABCABC，A 和 A，B 和 B分别是对 应点，若 AB=5 cm，AB=8 cm，AC=4 cm，BC=6 cm， 则ABC与ABC 的相似比为_，AC =_，BC=_。 5. 如图，D、E 分别为ABC 中 AB、AC 边上的点，请你添加 一个条件，使ADE 与ABC 相似，你添加的条件是 _（只需填上你认为正确的一种情况即可） 。 6. 如图，D、E、F 分别是ABC 各边的中点，则 DEF _，理由是_。 7. 如图BAD=CAE，B=D，AB=2AD，若 BC=3 cm， 则 DE=_c
16、m。 8. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，AE=EB，MN=1，线段 MN 的两端分别在 CB、CD 上滑动，那么当 CM=_时， ADE 与MNC 相似。 三、解答题 1. 已知： ABC 三边的比为 123， ABCABC， 且ABC的最大边长为 15 cm，求ABC的周长。 2. ABC 中， AB=12 cm， BC=18 cm， AC=24 cm， 若AB CABC，且ABC的周长为 81 cm，求ABC 各边的长。 3. 如图，在四边形ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，ABD= ACD，试找出图中的相似三角形，并加以证明。 【试题答案】 一、选择题 1. C D 2.
17、 A 7. D 3. D4. D5. C6. 二、填空题 1. FEDEFABCEF 2. 1 8 3. 全等4. 8 6.4cm， 3.75cm 5 ， 5. C=ADE（或B=AED 等） 6. ABC这两个三角形的三边对应成比例，这两个三角形 相似 7. 1.5 三、解答题 1. 30 cm 8. 2 5 5 或 5 5 2. 解法 1：设ABC与ABC 的相似比为 x，根据题意 得： AB ACBC ABAC BC =x 将 AB=12，BC=18，AC=24 代入上式可得： AB=12x，BC=18x，AC=24x ABC的周长为 81 cm 12x+18x+24x=81，解得：x= AB=12x=18（cm） ，BC=18x=27（cm） AC=24x=36（cm） 解法 2：由已知得ABC 的周长为 12+18+24=54（cm） 所以ABC与ABC 的相似比等于 8154 即 32 则 ABBC AC3 ABBCAC 2 3 2 ABBC AC3 121824 2 AB=18（cm） ，BC=27（cm） ，AC=36（cm） 3. （1）ABD=ACD，AOB=DOC（对顶角相等） AOBDOC （2）由（1）知AOBDOC OAOB OD OC OAOD OB OC ， 又AOD=BOC AODBOC