河南省洛阳市2018-2019学年第一学期期末考试高二数学试卷(理)含答案.pdf

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1、河南省洛阳市河南省洛阳市 2018-20192018-2019 学年第一学期期末考试高二学年第一学期期末考试高二 数学试卷（理）数学试卷（理） 一、选择题（本大题共 1212小题，共 60.060.0分） 1.抛物线的焦点到准线的距离是 A.4B.2C.D. 2.命题“若 a，b 都是奇数，则是偶数”的逆否命题是 A.若 a，b 都不是奇数，则 是偶数B.若是偶数，则 a，b都是奇数 C.若 不是偶数，则 a，b都不是奇数D.若不是偶数，则 a，b 不都是奇数 0，则“ ”是“向量的夹角是 ”的 1， 与3.已知空间向量 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2、 4.等比数列的前 n 项和为，若，成等差数列，则的公比 q 等于 A.1 5.已知双曲线 积为 B.2C.D. ，右焦点分别为，若双曲线上一点P满足， 则的面的左、 A. 6.已知数列 B.9C.18D.16 ，令，若，则 n的最小值为 A.4B.5C.6D.7 7.已知内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若，则 A.B.C. 或 D. 或 目标函数仅在点处取得最小值， 则 a的取值范围为8.已知点满足， A.B.C.D. 第 1 页，共 17 页 9.给出如下四个命题： 命题 p：，则：，； 四个实数 a，b，c，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是； 函数的最小值是 2； 在中

3、，是的充要条件 其中假命题的个数是 A.0 10. 已知双曲线 C： B.1C.2D.3 ，过左焦点的直线切圆于点 P，交双曲线 C 右 支于点 Q，若，则双曲线 C的渐近线方程为 A.B.C.D. 11.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年， 例如堑堵 指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱； 鳖臑指的是四个面均为直角三角形 的三棱锥如图，在堑堵中，若，当鳖 臑体积最大时，直线与平面所成角的余弦值为 A.B.D.C. 12. 过原点的一条直线与椭圆交于 A，B两点，以线段 AB为直径的圆过该椭圆的右 焦点，若，则该椭圆离心率的取值范围为 A.B.C.D. 二、

4、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0分）分） 13. 在等差数列中，则_ B两点间的距离，14. 为了计算不可直接测量的A，另选一点 C， 测得，则 _ 15. 化简：_ F 为焦点， 16. 已知 P是抛物线上一动点，点 A 在圆上运动， 则的 最小值为_ 第 2 页，共 17 页 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0分）分） 17. 已知命题 p： 点在不等式表示的平面区域内； 命题 q： 对一切恒成立，若“”为真，“”为假，求实数 m的取值范围 18. 设数列的前 n项和为，点在直线上，且 求的通

5、项公式； 若 19. 在三角形 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c， 若，求的值； 求角 C的取值范围 20. 已知抛物线的焦点为 F，斜率为 1的一条直线与抛物线交于A，B两点，且线段 AB中 点的纵坐标为 2 求抛物线的方程； D的任一直线均满足 在x轴正半轴上是否存在点， 使得过点M与抛物线有两个交点C， 为钝角？若存在，求出m 的范围，若不存在，请说明理由 ，且数列的前 n项和为，求 第 3 页，共 17 页 21. 四棱锥的底面是边长为 2的正方形，平面 ABCD，E，F分别为线段 AB，BC的中点 ，求证：平面 PDF；线段 AP上一点 M，满足 若 PB与平面 AB

6、CD所成的角为，求二面角的余弦值 22. 已知椭圆 C：，离心率为 ，是椭圆 C的左，右焦点，且，点P 是直线上的动点，过点P作圆 O：的两条切线，切点分别为M，N，直线MN与椭圆 C交于 A，B两点 求椭圆 C 的方程； 求面积的最大值 第 4 页，共 17 页 河南省洛阳市河南省洛阳市 2018-20192018-2019 学年第一学期期末考试高二学年第一学期期末考试高二 数学试卷（理）解析数学试卷（理）解析 一、选择题（本大题共 1212小题，共 60.060.0分） 23. 抛物线的焦点到准线的距离是 A.4B.2C.D. 【答案】C 【解析】解：抛物线，即的焦点到准线的距离为： 故选

7、：C 直接利用抛物线方程求解即可 本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查 24. 命题“若 a，b 都是奇数，则是偶数”的逆否命题是 A.若 a，b 都不是奇数，则 是偶数 B.若 是偶数，则 a，b 都是奇数 C.若 不是偶数，则 a，b都不是奇数 D.若 不是偶数，则 a，b不都是奇数 【答案】D 【解析】解：根据逆否命题的定义可知：命题的逆否命题为： 若不是偶数，则 a，b 不都是奇数 故选：D 根据逆否命题的定义即可得到结论 本题主要考查四种命题之间的关系，比较基础 25. 已知空间向量1，0，则“”是“向量 与 的夹角是 ”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条

8、件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解：空间向量1，0， 则， ， 第 5 页，共 17 页 解得， 与故“”是“向量的夹角是 ”的充分不必要条件， 故选：A 根据空间两向量的夹角大小求出x的值，再根据充分必要条件的定义即可判断 本题考查了求空间两向量的夹角大小的应用问题和充分必要条件的判断，是基础题目 26. 等比数列的前 n 项和为，若，成等差数列，则的公比 q 等于 A.1 【答案】D B.2C.D. 【解析】解：，成等差数列， 可得， 即为， 即有， 化为， 解得舍去 ， 故选：D 由等差数列的中项性质可得，再由等比数列的通项公式解方程可得q 本题考查等差数列中项的性质和等

9、比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题 27. 已知双曲线 积为 ，右焦点分别为，若双曲线上一点P满足， 则的面的左、 A. 【答案】A B.9C.18D.16 【解析】解：由题意可得，由余弦定理可得 ， 故选：A 由题意可得，余弦定理可得，由，即可求得的 面积 本题主要考察了双曲线的简单性质，属于基础题 28. 已知数列，令，若，则 n的最小值为 第 6 页，共 17 页 A.4 【答案】A 【解析】解：数列 B.5C.6D.7 ， 令 由于， 则： ， ， 故：， 当时， 故选：A 直接利用数列的通项公式和赋值法求出结果 本题考查的知识要点：数列的相消法求出和的关系式，赋值法

10、的应用，主要考查学生的运算能力和转化能 力，属于基础题型 29. 已知内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若，则 A. 【答案】A B.C. 或 D. 或 【解析】解：， ， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得：，可得：， 舍去 ，或， ， 故选：A 由正弦定理，余弦定理化简已知等式可得，解得，结合范围，可求 B 的值 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 目标函数仅在点处取得最小值， 则 a的取值范围为30. 已知点满足， 第 7 页，共 17 页 A. 【答案】B B.C.D. 【解析】解：作出不等式对应的平面区域， 可行域为， 由可得，直

11、线的斜率 ， 若目标函数仅在点处取得最小值，则有 即 ， 即实数 a的取值范围是 故选：B 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优 解的条件，即可求出 a的取值范围 本题主要考查线性规划的应用， 利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法根据条件目标函数 仅在点处取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键 31. 给出如下四个命题： 命题 p：，则：，； 四个实数 a，b，c，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是； 函数的最小值是 2； 在中，是的充要条件 其中假命题的个数是 A.0 【答案】C B.1C.2D.3 【解析】解：，命题 p：，则：，故正确； ，四个实数 a

12、，b，c，d依次成等比数列可得， 但，推不到 a，b，c，d成等比数列，故正确； ，函数，可令，由在递增， 可得函数 y 的最小值是，故错误； ，在中， 即，即，故错误 故选：C 由特称命题的否定为全称命题，可判断；由等比数列的性质和充分必要条件的定义，可判断； 第 8 页，共 17 页 由对勾函数的单调性可判断；由三角形的边角关系和正弦定理，结合二倍角的余弦公式，可判断 本题考查命题的否定和充分必要条件的判断、函数的单调性和解三角形，考查判断能力和推理能力，属于 中档题 32. 已知双曲线 C：，过左焦点的直线切圆于点 P，交双曲线 C 右 支于点 Q，若，则双曲线 C的渐近线方程为 A.

13、【答案】B B.C.D. 【解析】解： 过双曲线 C：，左焦点 F 引圆 的切线，切点为 P， 丨 OP丨， 设双曲线的右焦点为， 为线段 FQ的中点， ， 由双曲线的定义知：， 双曲线 C：的渐近线方程为， 即， 故选：B ，由已知可得： 丨 OP丨， 设双曲线的右焦点为， 由 P为线段 FQ的中点， 知，由双 曲线的定义知：，由此能求出双曲线 C：的渐近线方程 本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题 时要注意合理地进行等价转化，属于中档题 33.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如 堑堵指底面为直角三角形

14、，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直 角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，若， ，当鳖臑体积最大时，直线与平面所成角的余弦值为 A.B.C.D. 第 9 页，共 17 页 【答案】A 【解析】解：在堑堵中，当 鳖臑体积最大时， 以 C 为原点，CA为 x轴，CB 为 y 轴，为 z 轴，建立空间直角坐标系， 1， 0， 0， 1， ，0， y， 设平面的法向量 1， 则，取，得 设直线与平面所成角为 ， 则， 直线与平面所成角的余弦值为 故选：A 当鳖臑体积最大时，以 C为原点，CA为 x 轴，CB为 y轴，为 z轴，建立空间 直角坐标系，由此能求出直线与平面所成角的余弦值 本题考查

15、线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解 能力，考查数形结合思想，是中档题 34. 过原点的一条直线与椭圆交于 A，B两点，以线段 AB为直径的圆过该椭圆的右 焦点，若，则该椭圆离心率的取值范围为 A.B.C.D. 【答案】B 【解析】解：如图， 设椭圆的另一焦点为，连接， 则四边形为矩形， ， 第 10 页，共 17 页 ， 得 ， 则 则椭圆离心率的取值范围为 故选：B ，由题意画出图形， 可得四边形为矩形， 则， 结合， ，列式可得e 关于的三角函数，利用辅助角公式化积后求解椭圆离心率的取值 范围 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系

16、的应用，考查数学转化思想方法，训练了三角函数最 值的求法，是中档题 二、填空题（本大题共4 4 小题，共 20.020.0分） 35. 在等差数列中，则_ 【答案】52 在等差数列中，【解析】 解： 设过程为 d， ， ， 前 13项和 故答案为：52 由，及等差数列的性质可得，再根据求和公式即可求出 本题考查等差数列的定义和性质，前n项和公式的应用，属于基础题 B两点间的距离，36. 为了计算不可直接测量的A，另选一点 C， 测得，则 _ 【答案】 【解析】解：在中，由于， 则： 利用正弦定理：， 解得： 故答案为： 直接利用三角形内角和定理和正弦定理的应用求出结果 本题考查的知识要点： 三

17、角形内角和定理的应用， 正弦定理的应用， 主要考查学生的运算能力和转化能力， ， 第 11 页，共 17 页 属于基础题型 37. 化简：_ 【答案】 【解析】解： ， 则 故答案为： 由分母有理化求得，再由裂项相消求和，化简可得所求和 本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于基础题 F 为焦点， 38. 已知 P是抛物线上一动点，点 A 在圆上运动， 则的 最小值为_ 【答案】4 【解析】解：圆的圆心为， 过点 C作抛物线准线的垂线， 垂足为 N， 如图所示： 由抛物线的定义可知：， 当 P、A、N 经过圆 C的圆心时，取得最小值， 圆心，半径为 1，所以最小值为：

18、 故答案为：4 根据题意画出图形，结合图形利用抛物线的定义与性质，转化求解 最小值问题 本题考查了直线与抛物线的位置关系应用问题，也考查了圆的方程应用问题，是中档题 三、解答题（本大题共6 6 小题，共 70.070.0分） 39. 已知命题 p： 点在不等式表示的平面区域内； 命题 q： 对一切恒成立，若“”为真，“”为假，求实数 m的取值范围 【答案】解：命题 p 真等价于：，即； 命题 q 真等价于：； “”为真，“”为假等价于 p，q一真一假； 第 12 页，共 17 页 等价于：或 或 解得或 【解析】先求出p和 q为真时，m的范围；再根据复合命题的真假得p 和 q为一真一假，分两种

19、情况列式得 结果后相并即得 本题考查了复合命题及其真假，属基础题 40. 设数列的前 n项和为，点在直线上，且 求的通项公式； 若，且数列的前 n项和为，求 【答案】解：在直线上， 可得， 时， 当时， 相减可得， 即为， 可得； ， 前 n项和为， ， 相减可得 ， 化简可得 【解析】由题意可得，由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得所求； 求得 得所求和 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的错位相减法求和，化简整理的运算 能力，属于中档题 41. 在三角形 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c， 若，求的值； 求角 C的取值范围 ，再由数列的错位

20、相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可 第 13 页，共 17 页 【答案】 本题满分为 12分 解：， 可得：， ，由余弦定理可得：， 由正弦定理，可得： 中， 由正弦定理，得 由此可得， ，可得：， ， ， 结合函数的图象，可得， 又，可得角 C 是锐角， 【解析】利用同角三角函数基本关系式可求的值，由余弦定理可得 b的值，由正弦定理可得的 值 根据正弦定理，代入题中数据得，结合A 为三角形内角算出根据正弦函数的 图象，可得 C 的范围，注意到得 C 不是最大角，因此得到满足题意C 的范围 此题考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定 理

21、是解本题的关键，属于中档题 42. 已知抛物线的焦点为 F，斜率为 1的一条直线与抛物线交于A，B两点，且线段 AB中 点的纵坐标为 2 求抛物线的方程； D的任一直线均满足 在x轴正半轴上是否存在点， 使得过点M与抛物线有两个交点C， 为钝角？若存在，求出m 的范围，若不存在，请说明理由 【答案】解：设点、，则 由于直线 AB的斜率为 1，则 将点 A、B的坐标代入抛物线的方程得， 将上述两式相减得，则， ，所以， 第 14 页，共 17 页 所以，即，解得 因此，抛物线的方程为； 设直线 CD的方程为，设点、 将直线 CD的方程与抛物线的方程联立，消去 x得， ，恒成立，由韦达定理得， 由

22、于为钝角，则， ，同理可得且 ， 即不等式对任意的实数恒成立，所以，解得 由于，因此，实数 m的取值范围为 D的任一直线均满足为 所以， 在x轴正半轴上是否存在点， 使得过点M与抛物线有两个交点C， 钝角，且实数 m的取值范围是 【解析】设点、，利用已知条件得出，将 A、B两点坐标代入抛 物线的方程，并将两个等式作差，结合前面两个等式可求出p 的值，进而得出抛物线的方程； 设直线 CD的方程为，设点、，将直线CD的方程与抛物线的方程联立，并 列出韦达定理，由为钝角得出，然后利用韦达定理并结合向量数量积的坐标运算得出关 于 m 的不等式，解出即可 本题考查直线与抛物线的综合问题，考查点差法以及韦

23、达定理法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能 力，属于中等题 43. 四棱锥的底面是边长为 2的正方形，平面 ABCD，E，F 分别为线段 AB，BC的中点 ，求证：平面 PDF；线段 AP上一点 M，满足 若PB与平面ABCD所成的角为， 求二面角的余弦值 【答案】证明：以 A为原点，AB为 x 轴，AD为 y 轴，AP为 z轴，建立空间直角坐标系， ，0， ，0， ，1， ，设， 则0， 2， 0， 0， ，1，2， 第 15 页，共 17 页 y， 设平面 PDF的法向量 ，取，得 a， 则 ，平面 PDF， 平面 PDF 解：与平面 ABCD所成的角为， 0， 2， 1， 1， 2，

24、y， 设平面 PDF的法向量为 1， 则，取，得 0， 平面 PAD的法向量 设二面角的平面角为 ， 则， 二面角的余弦值为 AB为x轴， AD为y轴， AP为z轴，以A为原点，【解析】建立空间直角坐标系， 利用向量法能证明平面 PDF 推导出平面 PDF的法向量，平面 PAD的法向量，由此能求出二面角的余弦值 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 44. 已知椭圆 C：，离心率为，是椭圆 C 的 左， 右焦点， 且， 点 P是直线上的动点， 过点 P作圆 O： 的两条切线，切点分别为

25、M，N，直线 MN与椭圆 C交于 A，B 两点 求椭圆 C 的方程； 求面积的最大值 【答案】解：由题意可得，可得， 则， 椭圆方程为， 设点，、， 第 16 页，共 17 页 以点 P为圆心，MP的长为半径的圆的方程为， 由已知圆的方程为， 由可得直线 MN的方程为：， 直线 MN恒过点，此点为椭圆的右焦点， ，可得，由 ， ， 的面积 ， 当且仅当，即时等号成立， 故面积的最大值 【解析】由题意可得，可得，即可求出椭圆方程； 根据两圆求出直线 MN，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等 式，结合已知条件能求出的面积的最大值 本题考查椭圆性质、根的判别式、 韦达定理、弦长公式、基本不等式等基础知识，考查考查推理论证能力、 数据处理能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，属于中档题 第 17 页，共 17 页