线性代数期末考试试题及答案.pdf

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1、2005 -20062005 -2006 学年第一学期学年第一学期 一填空题（每小题 3 分，共 15 分） 0 1 3 1 2 11 2 2 1 1 1 0 1 5 2 0 2. 若n阶方阵 A 的秩 r n, 则A 0 3设Ax 0，A是 5 阶方阵，且R(A) 3, 则基础解系中含2个解向量 4若阶矩阵A的特征值为，则A 12 5 设 1 , 2 是对称阵A的两个不同的特征值，p 1 , p 2 是对应的特征向量， 则p 1 , p 2 0 二选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1若A为 3 阶方阵，且A 2，则2A (C) -44-1616 2设A,B为n阶方阵，满足等式AB O，

2、则必有（） A O或B OA 0或B 0A B OA B 0 3设n元线性方程组Ax b，且R(A) R(A,b) n，则该方程组( ) 有无穷多解有唯一解无解不确定 4设 P 为正交矩阵，则 P 的列向量（A） A 组成单位正交向量组B. 都是单位向量C. 两两正交D. 必含零向量 5若二次型f (x x) x xAxAx为正定, 则对应系数矩阵A的特征值( ) 都大于 0；都大于等于 0；可能正也可能负都小于 0 2 1 三 （8 分）计算行列式D 1 1 2 1 解D 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 的值 1 2 1 1 2 1 1 r r

3、 1 1 1 r2r 5 0 1 1 310 0 2 r 4 r 0 0 1 0 1 0 1 0 5 0 1 11 1 1 r r r r 5 1 2 1 12341 1 21 1 1 2 3 1 四 （8 分）设A 0 1 2 ，求A 0 0 1 1 2310 0 1 01 1 2 0 0 解：(A E) 0 12010r 1 2r 2 0 1201 0 01001 0 01001 1 2 1 1 0 0 1 2 1 r 1 r 310 1 0 0 12A01 2 （或用伴随矩阵） r 2r 23 0 0 0 0 1 0 01 1 x 1 x 2 x 3 x 4 0 五 （8 分）求齐次线性

4、方程组x 1 x 2 x 3 3x 4 0 的基础解系及通解 x x 2x 3x 0 234 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 A 1113 002 4 001 2 解： 0 012 0 0 1 1 23 00 11 1 x 1 x 2 x 4 0 0 通解方程组， 基础解系 1 ， 2 ， 通解为k 11 k 22 ， （k 1 ,k 20 x 2x 0 2 4 3 01 为任意常数） 1 1 1 1 1 3 六(8 分)已知向量 1 ， 2 ， 3 ，求向量组的秩及一个极大线性无 213 3 1 5 关组，并把其余向量用极大线性无关组表示 1 1 1 1 解 ：A 1 , 2

5、, 3 2 1 3 1 极大无关组 1 , 2 ，且 3 2 1 2 1 1 1 3 0 2 0 13 0 25 1 1 1 1 1 0 2 2 0 11 0 11 1000000 2 0 00 0 00 x 1 x 2 (1)x 3 0 七 （10 分）讨论取何值时，非齐次线性方程组x 1 (1)x 2 x 3 (1 )x x x 2 123 (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多解 1 解：法 1 A 11 1 1 2(3)11 11 （） 当 0且 3时，有A 0，方程组有惟一解； 1 2 0 1 1 1 2 0 0 333， 213 （）当 3时，A 1 1 9 0 6 2 1 0

6、 0 R(A) 2 R(A) 3，所以无解； 1 1 1 0 （）当 0时，A 0 0 0 0，R(A) R(A) 1，方程组有无穷多解 0 0 0 0 法2 11 1 A 111 1 11 1 1 0 0 0 1 0 1 11 0 2 0 0 0 1 1 0 0 2 0 ( 2)2 1 (3)(1) 222 八 （8 分）用配方法将二次型f (x 1 ,x 2 ,x 3 ) x 1 2x 2 2x 3 4x 1 x 3 化为标准形，并求可 逆的线性变换 （或上届题？） 解：f (x 1 ,x 2 ,x 3 ) (x 1 4x 1 x 3 4x 3 )2x 2 6x 3 (x 1 2x 3 )

7、 2x 2 6x 3 ， 2222222 y 1 x 1 2x 3 x 1 y 1 2y 3 x 1 1 0 2 y 1 y xx yx 010 令 2 ，即 2 ，所以 2 y 2 ， 22 y xx y x 0 01 y 33 3 3 3 3 1 0 2 20 , C 1 0. 标准形f y 1 22y 2 变换矩阵C 0 16y 3 2 0 01 0 2 0 九 （10 分）求矩阵A 2 30的特征值与最大特征值所对应的特征向量 0 04 解：AE (4) (1)，特征值 1 2 4, 3 1.2 10 2 当 1 2 4时，解(A4E)x 0 得 1 ， 2 0，A的对应于 1 2 4

8、的 01 22 全体特征向量为 k 12 k 22 ， (k 1 k 2 0） 十 （每小题 5 分，共 10 分） 1 设向量组 1 , 2 , 3 线性无关，讨论向量组 1, 1 2 , 1 2 3 的线性相关性 解：令k11k2(12)k3(123) 0,即 (k 1 k 2 k 3 ) 1 (k 2 k 3 ) 2 k 33 0 k 1 k 2 k 3 0 因为 1 , 2 , 3 线性无关，所以有k2k2 0， k3 0 由于方程组只有零解，故1,12,123线性无关。 2 1 设A为满足等式A 3A 2E O的矩阵，证明 A 可逆，并求A 2 解：A 3A 2E O A(A3E)

9、2E A 1(A3E) E 2 所以 A 可逆，且A1 1 (3E A) 2 2008 -20092008 -2009 学年第一学期学年第一学期 A A 卷卷 一、填空题（共 75 分每空 3 分） 00 1 0 0 1 1/20 ， 1设A 120，则 A - 6，A11/2 1 -1/613 -1/61 /1 3 A236. 得分 1 011 1 2 3 20102020, 0 0 21 1 2 1 1 2 2 3 5 8 2 3 4 1 4 5 12 . 1 11200 12=18，行列式01-2 _12_.3行列式2 3 36022 (1, 1, 0), 2 (1, 2, 1)的内积为

10、： 3， 夹角为： /6;4 两个向量 1 把 1，2 用施密特正交化方法得: 1 1，2 （1/2,1/2,0） (1,2), 2 (2,3)， 则用 1 , 2 组 合 的 表 达 式 是5 若 向 量 (4,7), 1 2 1 2 . (2, 0, 0), 2 (1,-1, 1), 3 (0, 1, 0), 4 (3,1,3)的线性相关性为：6向量组 1 线性相关，它的秩是3. 7已知向量组 1=(1,0,0),2=(2,5,2),3=(1,5,k)线性相关,则 k =_2_. 8若 3 阶方阵 A 的三个根分别是 1，2，3，则 方阵 A 的行列式A 6 1 010 0 9设矩阵 A=

11、01010， 则矩阵 A 的秩为2， 线性方程组A X O 0 0000 的基础解系的向量个数为 3. 10给定线性方程组 x 1 x 2 x 3 1 x1x2 x 3 , （1）x 3 2 x1 x 2 则：当 1 且 0时，方程组有唯一解；当 =1时方程组有 无穷解；当 =0时方程组无解. 2 0 0 A 12111矩阵 的特征值为： 2、1，对应于特征值 1的 1 01 0 特征向量为：k 1,k 0. 1 12 设A设方阵A满足AA E,则A _1_. 2213二次型f (x 1,x2 ,x 3 ) x 1 2 2x 1x2 2x 2 的矩阵的系数矩阵为： 2x 2 x 3 2x 3

12、0 1 1 A 121，该二次型为正 定二次型. 0 12 二、计算题（共 5 分） 得分 1 2 设矩阵 A=, 求矩阵 X, 使AX A 2E 1 1 解由 AX = A+2E得X A1(A 2E)2 14 1 1 03 -2 2 A A 2E 1 0 3 1131-25 3 -2 即X -2 5 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) 封 线 三、计算题（共 6 分） 已知向量组 得分 学 号 : 系 别 : 年 级 专 业 : 1 1 3 2 124 2 1 ,2 ,3,4 . 1132 1111 求向量组 1，2，3，4 的一组极大线性无关组,并把其余向量用此组向量表示 出来. 1 1

13、3 2 1 0 2 0 r1 2 4 2 0 1 1 0 解 1，2，3，4 1 1 320 0 01 -11 -1 1 0 0 0 0 由此可知, 1，2 , 4 为一组极大线性无关向量组, 3 2 1 2 四、计算题（共 6 分） 得分 x 1 x 2 x 3 x 4 2 求非齐次线性方程组的通解 2x 2x x x 2 234 1 1 -2 1 11 r1 -1 0 0 0 1-12 解增广矩阵B 2 2 0 0 1 -1 2 2 还原成线性方程组 x 1 x 2 1 x3 x 4 2 x 1 100 x1 2 00 可得方程组通解为 c 1 c 2 ,c1,c2为任意常数.2 x012

14、 3 010 x 4 五、限选题限选题（共 8 分） 得分 （经管类学生可选做第（经管类学生可选做第 1 1、2 2 小题中的一题，理工类学生仅限做第小题中的一题，理工类学生仅限做第 2 2 小题）小题） 22(1)(理工类学生不做此小题 理工类学生不做此小题)已知二次型f (x) x1 2 x 2 x 3 2x 1x3 ， a）出二次型所对应的矩阵A b）用配方法将二次型化为标准型， C)写出相应的可逆线性变换矩阵。 0 1 1 10 2解a）A 0 1 01 222b)f (x) x 1 2 x 2 2 x 3 2x 1x3 (x 1 x 3 )2 x 2 y 1 x 1 x 3 令y 2

15、 x 2 y x 3 3 x 1 y 1 y 3 即有变换x 2 y 2 , x y 3 3 1 y 1 x 1 1 0 x 0 10 2 y2 x 0 0 1 y 3 3 222把二次型f (x) x 1 2 x 2 2 x 3 2x 1x3 化为标准型f (x) y 1 2 y 2 1 1 0 C)对应变换矩阵P 0 102 0 01 22(2) （理工类学生必做此小题） 理工类学生必做此小题）已知二次型f (x) ax1 2 x 2 3x 3 2x 1x2 的秩为 2, a)写出二次型所对应的矩阵A, 并求参数a b)求出二次型所对应的矩阵A的特征值 c)求正交变换X PY，把二次型化成

16、标准形（不写正交变换）. 1 0 a 102解a）A 1 0 03 R(A) 2, A 0 a 11 b)解特征方程AE 0，得 1 0， 2 2， 3 32 C）分别解方程组（A i）X O,i 1,2,3 ，得单位特征向量 2 2 2 2 0 2 2 p 1 ，p 2 ，p30； 2 2 1 00 2 2 0 2 2 2 2 及正交矩阵P -0，正交变换X PY2 2 2 0 01 22把二次型变为标准型:f 2y 2 13y 3 2008 -20092008 -2009 学年第一学期学年第一学期 B B 卷卷 一、填空题（共 66 分每空 3 分） 得分 1 2 2 1 2 0 1设矩阵

17、A 0 22，B 230，则行列式： A - 6，AB 0 03 0 02 1 -12，A 1/6，A* 36. 2.设 2 0 0 A 020 0 02 , 1 2 3 B 456 7 89 ,则 8A B 17 2 3 4216 7825 , 2 4 6 A B 81012, 14 1618 3设A是三阶方阵, A 8,则： a 11 A 11 a 12 A 12 a 13 A 13 8，2a31A 11 2a 32 A 12 2a 33 A 13 0其中A ij 为aij的代数余子式. 1 2 2 4A 0 22，它的第 3 行第 2 列元素 0 的代数余子式A 32 =-2 0 03

18、0 1 1 1A 0 1/21/3 0 01/3 6 6 0 A 的伴随矩阵 A*= 0 3 2. 0 02 （1， 1， 0）（0， 1， 1 ） 5. 向量 与向量 ，则:向量的长度 = = 2,与的夹角 3 ， 4 6 向量 1 ， 则向量组1， 2，3 的秩等于2， （ 1， 2， 1 ） 2 （3， 4， 3） 3 （ 1， 1， 1 ） 该组向量线性相关. 2 0 7. 设A 1 2 1 0 x 1 2 2,B 0,X x 2 ,则 x 0 1 3 当2时，线性方程组AX B有唯一解； 1 当1时，线性方程组AX B的解X= k3,k为任意常数. 1 8设Ax 0，A是45阶矩阵，

19、 R(A) 2，则基础解系中含有 3个解向量 9设 1 , 2 是对称阵A的两个不同的特征值， p 1 , p 2 是对应的特征向量，则p 1 , p 2 0 3，则矩阵A为 负定定矩阵，10 设 2 阶实对称矩阵A的两个特征值分别为 2， A 6；多项式f (x) x2 x 1，则f (A)=55. 二、选择题（共 14 分每空 2 分） 得分 1设n元线性方程组Ax b，且R(A) R(A,b) n，则该方程组( B ) 无解有唯一解有无穷多解不确定 2.设n元线性方程组Ax O，且R(A) n 1，则该方程组的解由( A )个向量 构成. 有无穷多个.1n k不确定 3设A,B为n阶方阵

20、，满足等式AB O，则必有（ B） A O或B OA 0或B 0A B OA B 0 4设A O,B O为n阶方阵，满足等式AB O，则必有（ D） R(A) 0R(B) 0R(A) R(B) nR(A) R(B) n 5设 P 为正交矩阵，则 P 的列向量（C） A 可能不正交B. 有非单位向量C. 组成单位正交向量组C. 必含零向 量 6. n阶方阵A的行列式A 0,则A的列向量（ A） 线性相关线性无关R(A) 0R(A) 0 7n阶方阵A的行列式A 0是矩阵A可逆的（C） 充分条件必要条件充要条件无关条件 线 三、计算题（共 6 分） 得分 （1， 2， 2） 2 （2， 1， 2）（

21、0， 3， 0）， 2 (0.3,3)请 向量 1 ， 3 ，1 （2， 2， -1 ） 把向量组1， 2 表示成向量组1， 2，3 的线性组合. : 1 -2 -2 0 0 1 0 0 2 4 r 1 0 1 0 -1 1 4解 1，2，3，4，1，2 2 -1 2 1 2 2 -1 0 1 0 0 1 2 1 由此可知 1 2 1 2 2 3 2 4 1 2 3 2 四、计算题（共 6 分） 得分 x 1 x 2 x 3 1 非齐次线性方程组 x1x2 x 3 当取何值时（1）无解； （2）有唯一解； （3）有 2 x1 x 2 x 3 无穷解，并相应的通解 -1 -1 -1的行列式A (

22、2)(1)2 2解方程组的系数矩阵A -1 -1 -1 （1）当 1且 2时，方程有唯一解；1 （2）当 2时，方程组无解；1 1 1 1 -1 （3）当 1时，增广矩阵B0 0 0 0，可得方程组有无穷多解 0 0 0 0 r 1 1 1 通解为X c11 c2002 010 五、计算题计算题（共 8 分） 得分 1 0 0 试求一个正交的相似变换矩阵, 把矩阵A 0 21化为对角矩阵 0 12 解解特征方程AE 0，得特征值 1 2 1， 3 3 3 10 2 解方程(A1)X O,得相应的特征向量X C10 c21,.C12c2 01 01 0 X C 解方程(A 3 )X O,得相应的

23、特征向量 1,C 0.1 1 00 1 1 1 令P，P 3 1 1 0，P 2 2 2 0 1 1 2 2 01 1 P 0 2 0 1 2 0 1 0 0 1 10， 2 ，正交相似变换PAP 0 2 0 03 1 2 2008 -20092008 -2009 学年第一学期学年第一学期 C C 卷卷 一、填空题（共 60 分每空 3 分） 322 1 行列式：2 得分 32 28， 它的第2行第3列元素1的代数余子式A23=- 2. 223 2若A，B为 3 阶方阵，且A 2，B 2，则2A - 16，(AB) 4， A1 1/2. 1 0 0 1 0 0 1 0 0 3. 设A 0 11

24、,B 020, 则A B 022, 0 12 0 02 0 24 0 1 0 1 A =0 21. 0 11 4设A是阶方阵, A 3，则： a 11 A 11 a 12 A 12 a 13 A 13 3, a 11 A 21 a 12 A 22 a 13 A 23 0. （1， 0， 1）（1， 1， 0） 5. 向量 与向量 ，则: 与的夹角= ， 3 6 向量 1 ， 则向量组1， 2，3 的秩等于2， （ 1， 2， 3） 2 （3， 2， 1 ） 3 （ 1， 1， 1 ） 该组向量线性相关. x 1 1 0 1 7. 设A 1 10,B 0,X x 2 ,则 x 002 0 3 当

25、0时，线性方程组AX B有唯一解； 当 2时，线性方程组AX B的解 X =（1，-1，0）。 8设Ax 0，A是34阶矩阵，基础解系中含有1 个解向量，则R(A) 3 9设 1 , 2 是对称阵A的两个不同的特征值， p 1 , p 2 是对应的特征向量，则p 1 , p 2 0 2， 3，则矩阵A为 正定矩阵, A的 10设 3 阶实对称矩阵A的三个特征值分别为1， 行列式A 6. 1 0 0 222 11二次型f (x1,x2,x3) x1 x2 x3 2x2x3所对应的矩阵为A 0 11, 该矩阵 0 11 0 的最大特征值是 2, 该特征值对应的特征向量是c1,c 0. 1 二、选择

26、题（共 20 分每空 2 分） 得分 1设n元线性方程组Ax b，且R(A,b) n1，则该方程组( B) 有唯一解有无穷多解无解不确定 2.设n元线性方程组Ax O，且R(A) k，则该方程组的基础解系由( C ) 个向量构成. 有无穷多个有唯一个n k不确定 3设矩阵A,B，C为n阶方阵，满足等式AB C，则下列错误的论述是（ B） . 矩阵的行向量由矩阵A的行向量线性表示； 矩阵的列向量由矩阵A的列向量线性表示； C AB C ; 矩阵的行向量由矩阵B的行向量线性表示. 4设矩阵A,B，C为n阶方阵，满足等式AB C，则下列关于矩阵秩的论述正确的是 （ D） R(A) R(C) R(B)

27、 R(C)R(A) R(B) nR(A) R(C) 5设 P 为正交矩阵，则 P 的列向量（ C） A 可能不正交B. 有非单位向量C. 组成单位正交向量组C. 必含零向 量 6. n阶方阵A，B的乘积的行列式AB 5,则A的列向量（ B） 方阵A的列向量线性相关方阵A的列向量线性无关 R(A) 5R(A) n 7n阶方阵A的行列式A 0是齐次线性方程组AX O有非零解的（C） (注: 此空得分值为 2 分) 充分条件必要条件充要条件无关条件 线 三、计算题（共 6 分） 得分 （1， 0， 0） 向量 1 ， 3 ，请把向量 表示成向 （1， 2， 2） 2 （2， 1， 2）（2， 2，

28、-1 ） 量组1， 2，3 的线性组合. 解 解方程 业 : ( 1 , 2 , 3 )X , 即AX 1 22 1 1 1 1知X A 2 12 0 9 2 210 即 1 1 1 2 9 2 3 1 9 22 2 3 1 99 四、计算题（共 6 分） 求非齐次线性方程组 得分 x 1 2x 2 x 3 x 4 2 的通解 2x1 4x 2 x 3 x 4 2 1 -2 1 21 r1 -2 0 0 0 1-12 解增广矩阵B B 2 4 0 0 1 -1 2 2 还原成线性方程组 x 1 x 2 1 x3 x 4 2 x 1 100 x1 2 00 可得方程组通解为 c 1 c 2 ,c

29、1,c2为任意常数.2 x012 3 010 x 4 五、计算题计算题（共 8 分） 得分 222 用配方法将二次型f (x1,x2,x3) x1 2x22x3 2x1x24x2x3化为标准形，并求可逆 的线性变换 解 f (x 1,x2 ,x 3 ) （x 1 x 2） （x2 2x 3）6x3 2 222 y 1 x 1 x 2 令y2 x2 2x3 y x 3 3 x 1 y 1 y 2 2y 3 得x2 y 2 2y 3 x y 3 3 x 1 1 -1-2 y 1 12y 2 2即有可逆线性变换x20 x 0 0 1 y 3 3 222 把二次型f (x1,x2,x3) x1 2x2

30、2x3 2x1x24x2x3化为标准形 22f (x 1,x2 ,x 3 ) y 1 y 2 16y3 2 附：附： 试试 卷卷 命命 题题 计计 划划 课程名称课程名称线性代数线性代数考试时间考试时间 课程性课程性 质质 考试方考试方 式式 必修必修 考试班级考试班级 题题 号号 1 1 本科理工、经管类各班级本科理工、经管类各班级闭卷 题型题型 填空填空 所占比例（所占比例（% %）与出题说明）与出题说明 75%75%考察向量、矩阵、方阵的行列式、线性考察向量、矩阵、方阵的行列式、线性 方程组的解法与矩阵的关系等等基本概念方程组的解法与矩阵的关系等等基本概念 5%5%考察用矩阵考察用矩阵 出题人出题人 李绍明，刘群锋李绍明，刘群锋 2 2计算题计算题李绍明、刘群锋李绍明、刘群锋 3 3计算题计算题6%6%李绍明，刘群锋李绍明，刘群锋 4 4计算题计算题6%6%求解简单线性方程组求解简单线性方程组李绍明，刘群锋李绍明，刘群锋 5 5限选题限选题 8%8%矩阵的特征值与特征向量、矩阵的特征值与特征向量、二次型的标准型二次型的标准型 李绍明，刘群锋李绍明，刘群锋 等等 6 6 7 7 教研室主任审核签名：教研室主任审核签名：系主任审核签名：系主任审核签名：