高三数学解答题难题突破 函数极值问题的常见类型及解题策略.pdf

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1、函数极值问题的常见类型及解题策略函数极值问题的常见类型及解题策略 【题型综述】【题型综述】 函数极值问题的常见类型及解题策略函数极值问题的常见类型及解题策略 （1）函数极值的判断：先确定导数为0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号 （2）求函数f x极值的方法： 确定函数f x的定义域 求导函数fx 求方程fx0的根 检查fx在方程的根的左、 右两侧的符号，确定极值点如果左正右负，那么f x在这个根处取 得极大值；如果左负右正，那么f x在这个根处取得极小值；如果fx在这个根的左、右两侧符号 不变，则f x在这个根处没有极值 （3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求

2、导数 fx，求方程fx0的根的情 况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围 【典例指引】【典例指引】 例 1已知函数f (x) (x2ax2a23a)ex(xR R),其中aR R 当a 0时，求曲线y f (x)在点(1,f (1)处的切线的斜率； 当a 2 时，求函数 f (x)的单调区间与极值. 3 若a 2 ，则 2aa 2，当 x 变化时， f (x)，f (x)的变化情况如下表： 3 x ，a 2 a 2 + 0 极大值 a 2， 2a 2a 0 极小值 2a， + 所以f (x)在(，a 2)， (2a， )内是增函数，在(a 2， 2a)内是减函数。 函数f

3、(x)在x a 2处取得极大值f (a 2)，且f (a 2) (43a)ea2. 函数f (x)在x 2a处取得极小值f (2a)，且f (2a) 3ae2a. ax2b 2lnx的图象在x 1处的切线过点0,2 2a，a,bR. 例 2已知函数f x x （1）若a b 8 ，求函数f x的极值点； 5 1 x 1 1，证明：f x 2 fx 1 1.（提示 e （2）设x 1, x2 x 1 x 2是函数 f x的两个极值点，若 e2 7.40） 【思路引导】 ax22xb （1）求导 f x ，则 f 1ab2 .又f 1 ab，曲线y fx在x 1处的切线 2x 过点0,2 2a利用

4、斜率相等 ab22a 10 ab2，可得a b.，又a b 84 ，可得a b ， 55 2 则f x 2x5x20，可得函数f x 的极值点. ax22xa2x 1 2 0 （2）由题x 1,x2 是方程f x的两个根，则，由x x1a 12 22x x 1 x 2 x 1 1 11 x 1 1，可得x 2 1，a0，f x 1 是函数f x的极大值， f x 2 是函数f x的极小值， ex 1 要 证f x 2 f x 1 1， 只 需f x 1 f x 2 1 ， 计 算 整 理 可 得 f x 1 f x 2 x 1 211 2 1t 11 ln t，利用导数讨论函数h t的性质即可

5、4 2 ln x 1 ，令tx 1 2，则 2 t 1，设h t et 12x 1 12 得证. ax22xa12x 1 2 x 1 1，0 （2） x 1,x2 是方程f x的两个根， ， x x1a 12 ex2x 1 x 2 x 1 21 x 2 1 1，a0，f x 1 是函数 f x 的极大值， f x 2 是函数 f x 的极小值，要证 x 1 f x 2 f x 1 1，只需f x 1 f x 2 1，f x 1 f x 2 ax 1 aa 2ln x 1 ax 2 2ln x 2 x 2 x 1 x 1 21x 1 211 2 a1 2 ax 1 2ln x 1 4 2 ln

6、x 1 4 2 ln x 1 ， 令tx 1 2 ， 则 2 t 1 ， 设 ex 1 x 1 1x 1 12 t 1 0 t 11211 h tln t1ln t，则h t ，函数在 h t 2 ,1上单调递减， 2t 12t 12 e 2t t 1 h th 2 8211 1 ，f xf x4h 12 2222e1eee1 322 例 3已知函数f x x2mx3nx 4m 在x 1处有极值 10. （1）求实数m,n的值； （2）设aR，讨论函数f x在区间 a,a1 上的单调性. 【思路引导】 （1）根据题意得到关于 m 的方程组 22 f 134m3n 0 f 112m3n4m210

7、 （2）先判，解方程组求得m,n即可； 断函数 fx x 4x 11x16的单调性，然后根据a的取值情况分类讨论判断函数f x在区间 a,a1上的单调性 （2）由（1）可知f x x 4x 11x16， 32 2 f x3x 8x11x13x11 当x变化时， f x, fx的变化情况如下表： x f x 11 , 3 + 11 3 0 11 ,1 3 - 1 1, +0 f x 增极大减极小增 当a 1时，f x在区间 a,a1 上单调递增. 综上所述： 当a 当 14 或a 1时， f x在区间a,a1上单调递增； 3 1411 11 11 a 时， f x在区间上 a, 上单调递增，在

8、,a1上单调递减； 333 3 11 a 0时，f x在区间a,a1上单调递减； 3 当 当0 a 1时， f x在区间 a,1上单调递减，在1,a1 上单调递增. 点评：解答本题的易错点有两个： （1）在第一问中忽视了对m,n值的检验，因为导函数的零点是函数极值 点的必要不充分条件，这是很容易出现的错误 （2）第二问中不能熟练地通过对a进行分类讨论求解；还 有，即便是分类了，分类的情况也不完全或分类出现重漏的情况 【同步训练】【同步训练】 1设f x xlnxax 2a1x ， aR. 2 （1）令gx f x，求gx的单调区间； （2）已知f x在x 1处取得极大值，求实数a 的取值范围.

9、 【思路引导】 （1）求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数，根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的增减区 间，但要含参问题时则要注意讨论，由 g x 112ax 2a ，根据 a 的不同取值讨论即可得出单调区 xx 间； （2）已知f x在x 1处取得极大值，故 f 10 .，然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在 1 处取得极大值即可得出正确a 的取值范围 （2）由（1）知， f 10 . 当 a 0时， f x单调递增. 所以当x0,1时， f x0，f x单调递减.当x1,时， f x0， f x单调递增. 所以f x在x 1处取得极小值，不合题意. 当0 a 11 1 1，由（

10、1）知 f x在 0,内单调递增， 时， 22a 2a 可得当x0,1时， f x0， x1, 1 时， f x0， 2a 所以f x在0,1内单调递减，在1, 当a 1 内单调递增，所以 f x在x 1处取得极小值，不合题意. 2a 11 1时，f x在0,1内单调递增，在 1,内单调递减， 时，即 22a 2已知函数f x xlnx x （I）求a的取值范围； （II）求证：x 1 x 2 2e. 【思路引导】 (1) 函 数f x xlnx x 1 2axaR，在定义域内有两个不同的极值点x 1,x2 (x 1 x 2 ). 2 1 2axaR ， 在 定 义 域 内 有 两 个 不 同

11、 的 极 值点x 1, x2 ( x 1 x 2), 令 2 gx f xlnxax,即gx0在0,上有两个不同根 x 1,x2, 对gx求导,按照a 0和a 0 分 类 判 断 单 调 性 及 极 限 , 求 出 函 数 的 极 值 , 确 定 a 的 范 围 ； (2) 证 明x 1 x 2 2e , 即 证 2 x 1 x 2 a , lnx 1 ax 1 2x 2 x 1 lnx 2 lnx 1a 即证x 2 x 1 (x 2 x 1 0) lnx 2 ax 2 x 2 x 1 lnx 2 lnx 1 2x 2 x 1 x 2 x 1 (x 2 x 1 0),构造函数hx lnx 2x

12、 1 x 1 , 即证lnx 2 lnx 1 (x 1),求导判断单调性求出 函数的最值,即可证明不等式成立. 试题解析:（I）令gx f x lnxax,由题意可知, gx0在0,上有两个不同根 x 1,x2,且x1 x 2, g x 11ax a 当a 0时，gx 0,y gx在0,上单增，不合题意, xx 当 1 1 1 a 0时，令gx 0 x y gx在0, 上单增, , 单减, a a a 11 x 0时,gx ,x 时,gx ,g(x) g lna1 0 0 a , e a 1 a的取值范围为0, . e （II）由题意及（I）可知，即证x1 x 2 2 , a lnx 1 ax

13、 1 2x 2 x 1 lnx 2 lnx 1a 即证x 2 x 1 (x 2 x 1 0), lnx 2 ax 2 x 2 x 1 lnx 2 lnx 1 即证lnx 2 lnx 1 2x 1 2x 2 x 1 x 2 x 1 (x 2 x 1 0) 2x 1 0, 14 设hx lnx(x 1),则hx x 1xx 12 xx 12 hx lnx 令x 2x 1 x 1 在1,上单增hx h1 0,lnx 2x 1 x 1 (x 1), x 21,则原不等式成立. x 1 322 3已知函数f x x 3ax bxa （）若函数y f x在x 1时有极值 0，求常数 a,b的值； （）若函

14、数gx f xsin2x 在点0,g0处的切线平行于x轴，求实数b的值 【思路引导】 （1）根据函数的极值点的概念得到 f 136ab 0 f 1 13aba 0 2 ，极值点既在切线上又在曲线上，得到 参数值.(2)根据导数的几何意义得到 g 00 ，从而得到参数值. 4 已知函数f xlnxx，gx ax 2xa 0. 2 （1）求函数f x在 ,e 上的最值； e （2）求函数hx f x gx的极值点. 【思路引导】 （1）对函数f x进行求导可得 f x 1 1 1，求出极值，比较端点值和极值即可得函数的最大值和最小 x 2ax2 x1 值； （2）对hx进行求导可得 h x ，利用

15、求根公式求出导函数的零点，得到导数与0 的 x 关系，判断单调性得其极值. 试题解析： （1）依题意， f x 11 1,令1 0，解得x 1.因为f 1 1， xx 11 f 1， e e 1 1 fe1e，且1e 1 1，故函数f x在 ,e 上的最大值为1，最小值为1e. e e 2ax2 x11 （2） 依题意，hx f x gx lnx ax x， h x 2ax 1 ， 当a 0时， xx 2 2ax x 1 x x 2 2ax2 x1 令 h x0 ，则2ax x 1 0.因为 18a 0，所以 h x ， xx 2 其中x 1 1 18a1 18a ，x 2 .因为a 0，所以

16、x 1 0，x 2 0，所以当0 x x 2 时， 4a4a h x0 ，当x x2时， h x0 ，所以函数hx在0,x2上是增函数，在x2,上是减函数，故 x2 1 18a 为函数hx的极大值点，函数hx无极小值点. 4a 5设函数 f（x）=lnx+ax2+x+1 （I）a=2 时，求函数 f（x）的极值点； （）当 a=0 时，证明 xe f（x）在（0，+）上恒成立 【思路引导】 （1）求导数判断函数的单调性，通过单调性求极值点； （2）当 a=0 时构造函数 F（x）=xexf（x）=xex lnxx1， （x0） ，只要证明 F（x）=0 即可 x （）证明：当 a=0 时，f（

17、x）=lnx+x+1 令 F（x）=xe f（x）=xe lnxx1， （x0） ， 则 F（x）=（xex1） ， xx 令 G（x）=xex1， 则 G（x）=（x+1）e 0， （x0） ， 函数 G（x）在（0，+）递增， 又 G（0）=10，G（1）=e10， 存在唯一 c（0，1）使得 G（c）=0， 且 F（x）在（0，c）上单调递减，在（c，+）上单调递增， 故 F（x）F（c）=ceclncc1， 由 G（c）=0，得 cec1=0，得 lnc+c=0， x F（c）=0， F（x）F（c）=0， 从而证得 xexf（x） 点评：在本题（）的解答中，为了求F（x）的 最小值，

18、通过求导得到F（x）= x （xe 1） ，不容 x 易判断 F（x）的单调性，故构造 G（x）=xe 1，采用二次求导的方法，在求 G（x）零点的过程中遇到了 零点不可求的问题，此类问题的解法是利用 G（x）的单调性和零点存在定理，判断零点所在的范围，然后 理通过整体代换的方法求函数F（x）的最值，这是解决函数综合问题中常用的一种方法 6已知函数f xe ，gx x a 2x x， （其中aR ，e为自然对数的底数，e 2.71828）. 2 （1）令hx f x，求hx的单调区间； （2）已知f x在x 0 处取得极小值，求实数a的取值范围. 【思路引导】 （1） 求导函数的导数得 h x

19、e a ， 再根据是否变号进行分类讨论单调性： 当a 0时， 导函数不变号， x 为单调递增；当a 0时，导函数先负后正，对应单调区间为先减后增； （2）由题意得 f 00 ，结合（1） 根据导函数hx单调性分类讨论在x 0处是否为极小值：当a 0时，f x 在x 0附近先减后增，为 极小值；当a 0时，按lna与零大小关系进行二次讨论：lna 0， f x在lna, 单调递增；f x 在x 0附近先减后增，为极小值；当a 1时， f x0 ，无极值； lna 0时， f x在,lna单 调递减；f x 在x 0附近先增后减，为极大值；综上可得实数a的取值范围. （3）当a 1时，由（）知 f

20、 x在区间,lna单调递减， f x在区间lna,单调递增， 所以 f x在x lna 处取得最小值，即 f x f lna f 00 ， 所以函数f x在 R上单调递增， 所以f x在x 0 处无极值，不符合题意. （4）当a 1时， lna 0，由（）知 f x的减区间为,lna， 所以当x,0时， f x f 00 ，当x0,lna时， f x f 00 ， 所以f x在x 0 处取得极大值，不符合题意， 综上可知，实数a的取值范围为,1. 7已知函数 （1）若 （2）若 【思路引导】 函数在某区间上单调递增，说明函数的导数大于或等于0 在该区间上恒成立，分离参数 m,利用极值原理求 出

21、参数 m 的取值范围；当时有两个极值点为方程的两个根，根据根与系数关 （）. 在其定义域内单调递增，求实数 的取值范围； ，且有两个极值点 ，（） ，求的取值范围. 系找出与系数的关系，根据m 的范围解出 的范围，表示出，根据减元，利用构造函数 法求出其取值范围. 8已知函数f x x ax bxca,b,cR 32 （1）若函数f x在x 1和x 2 处取得极值，求a,b的值； （2）在（1）的条件下，当x 2,3时， f x 2c 恒成立，求c的取值范围 【思路引导】 3 （1）求出导函数 f x，利用 f 10，且 f 2=0，解方程组可求得 （2）利用导数研究2； b 6 a 函数f

22、x的单调性，可得函数fx在x 2,3 时， f x的最小值为c10 ，只需c10 2c即可求 c的取值范围. 3 （2）由（1）知f x x 3 2x 6xc， f x3x23x6 ， 2 当x变化时， f x, fx随x 的变化如下表： x f x f x -2 2,1 + -1 1,2 - 2 2,3 + 3 00 c2 增 c 7 2 减c10增 c 9 2 当x 2,3时， f x的最小值为c10 ， 要使f x 2c 恒成立，只要c10 2c即可， c 10， c的取值范围为,10 9已知函数 （1）当 （2）若 ，且 ，其中 时，判断函数 为常数. 是否存在极值，若存在，求出极值点

23、；若不存在，说明理由； 时，求证：.，对任意的正整数，当 【思路引导】 （1）令 值即可； ，求出的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小 （）时，求的导数，通过讨论是奇数，偶数，结合函数的单调性证明结论即可 （2）证：因为，所以. 当为偶数时，令 所以当时， ，则 单调递增，的最小值为.因此 所以成立. ，由于，所以只需证.当为奇数时，要证 令 当 所以当 时， ，则， 单调递增，又 ,命题 x ， 时，恒有成立. 10已知函数f xe tx . (1)求函数f x的极值点； (2)若 f(x)x +1 在(0,2)上恒成立,求实数t的取值范围. 2 【思路引导】 (1)首先对函数f x求导，考虑到导函数含有参数t ，对参数t大于等于 0,和小于 0 两种情况进行讨论 ex x21ex x21 (2)恒成立问题 ,首先利用参数分离，得到 t ，再令gx，原问题转化为 xx t gx min ，从而求出参数t的范围