随机信号分析第3版习题及答案word资料18页.pdf

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1、1.有四批零件，第一批有有四批零件，第一批有 20192019 个零件，其中个零件，其中 5%5%是次品。第二批有是次品。第二批有 500500 个零件，其中个零件，其中 40%40% 是次品。第三批和第四批各有是次品。第三批和第四批各有10001000 个零件，次品约占个零件，次品约占10%10%。我们随机地选择一个批次，。我们随机地选择一个批次， 并随机地取出一个零件。并随机地取出一个零件。 （1 1） 问所选零件为次品的概率是多少？问所选零件为次品的概率是多少？ （2 2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：解： （1 1）用）用B i 表

2、示第表示第i批的所有零件组成的事件，用批的所有零件组成的事件，用D表示所有次品零件组成的事件。表示所有次品零件组成的事件。 （2 2）发现次品后，它来自第二批的概率为，）发现次品后，它来自第二批的概率为， 2.设随机试验设随机试验X的分布律为的分布律为 X P 1 12 23 3 0.20.50.3 求求X的概率密度和分布函数，并给出图形。的概率密度和分布函数，并给出图形。 解：解：f x 0.2x10.5x20.3x3 3.设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为f (x) ae 解：解： （1 1）由）由 所以所以a x ，求，求:(1):(1)系数系数a； （2 2）其分布

3、函数。）其分布函数。 f (x)dx 1 1 2 （2 2）Fx x f (t)dt 1 t e dt 2 x 所以所以X的分布函数为的分布函数为 4.若随机变量若随机变量X与与Y的联合分布律为的联合分布律为 Y Y -1-10 01 1 X X 0 00.070.070.180.180.150.15 1 10.080.080.320.320.200.20 求：求： （1 1）X与与Y的联合分布函数与密度函数；的联合分布函数与密度函数； （2 2）X与与Y的边缘分布律；的边缘分布律； （3 3）Z XY的的 分布律；分布律； （4 4）X与与Y的相关系数。的相关系数。 （北（北 P181,T3

4、P181,T3） 解：解： （1 1） （2 2） X的分布律为 的分布律为 Y的分布律为 的分布律为 （3 3）Z XY的分布律为的分布律为 （4 4）因为）因为 则则 X与 与Y的相关系数的相关系数 XY 0，可见它们无关。 ，可见它们无关。 U X Y 5.设随机变量设随机变量X N0,1，Y N0,1且相互独立，且相互独立，。 V X Y （1 1） 随机变量随机变量U,V的联合概率密度的联合概率密度fUVu,v； 第 1 页 （2 2） 随机变量随机变量U与与V是否相互独立？是否相互独立？ 解：解： （1 1）随机变量）随机变量X,Y的联合概率密度为的联合概率密度为 u v1 x 2

5、2 由反函数由反函数，J 1 y u v 22 1 u e （2 2）由于）由于, , 4 2 1 1 2 ， 12 2 2 v2 4 1 u e 4 2 1 v e 4 2 2 所以随机变量所以随机变量U与与V相互独立。相互独立。 6.已知对随机变量已知对随机变量X与与Y，有有EX 1，EY 3，D(X) 4，D(Y) 16， XY 0.5， ， 又设又设U 3X Y，V X 2Y，试求，试求EU，EV，D(U)，D(V)和和Cov(U,V)。 解：首先，解：首先， 又因为又因为E(XY) Cov(X,Y)EX EY XY D(X)D(Y) EX EY 7。于是 。于是 7.已知随机变量已知

6、随机变量X服从服从0,a上的均匀分布。随机变量上的均匀分布。随机变量Y服从服从X,a上的均匀分布，试上的均匀分布，试 求求 解：解： （1 1）对）对x0,a有，有，E(Y X) （2 2）EY E(E(Y X) E a X 2 aa/23 a 24 a X 2 8.设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目N服从泊松分布。进舱后每个粒子造服从泊松分布。进舱后每个粒子造 成损坏的概率为成损坏的概率为 p p，彼此独立。求：造成损坏的粒子平均数目。，彼此独立。求：造成损坏的粒子平均数目。 （北（北 P101,T10P101,T10） 解：每个粒子是否造成

7、损坏用解：每个粒子是否造成损坏用X i 表示表示 造成损坏的粒子数造成损坏的粒子数Y X i1 N i ，于是，于是 可合理地认为可合理地认为N和和X i 是独立的，于是是独立的，于是 9.随机变量随机变量X 1,X2,X3 彼此独立；且特征函数分别为彼此独立；且特征函数分别为 1(x),2(x),3(x) ，求下列随机变量的，求下列随机变量的 特征函数：特征函数： （1 1）X X1 X 2 ； （2 2）X X1 X 2 X 3 ； （3 3）X X 1 2X 2 3X 3 ； 第 2 页 （4 4）X 2X 1 X 2 4X 3 10； ； jvX 解：解： （1 1） X (v)Ee

8、1(v) 2(v) （2 2）同（）同（1 1） ， X (v) 1(v) 2(v) 3(v) （3 3） X (v)Ee jvX12X23X3 1(v) 2(2v) 3(3v) ejv10 1(2v) 2(v) 3(4v) （4 4） X (v)Ee jv2X1X24X310 10. 随机变量随机变量 X X 具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值、均方值与方差。具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值、均方值与方差。 （1 1）(v) 0.20.3e jv j2v0.2ej4v0.2e j2v0.1e j4v； ； jv （2 2）(v) 0.3e 0.7e ； （3 3）(v) 4/(

9、4 jv)； （4 4）(v) (sin5v)/(5v)； 解：解： （1 1）f x 0.2x0.3x20.2x40.2x20.1x4 （2 2）f x0.3x10.7x1 （3 3）利用傅里叶变换公式，可知这是指数分布，）利用傅里叶变换公式，可知这是指数分布， （4 4）(v) sin5v12sin 5v ，利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布，利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布， 5v10v 1ab ，中心在，中心在处的矩形函数。其傅立叶变换处的矩形函数。其傅立叶变换 ba2 11. 利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数。利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数。 解：由于解：由于f (x

10、)是宽度为是宽度为ba，高度为，高度为 为为 12. 设有高斯随机变量设有高斯随机变量X N(, )，试利用随机变量的矩发生特性证明： ，试利用随机变量的矩发生特性证明： 22 解：特征函数为解：特征函数为X(v) exp( jv v2)，由矩发生性质， ，由矩发生性质， 2 2.12.1掷一枚硬币定义一个随机过程：掷一枚硬币定义一个随机过程： 设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。试求：设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。试求： （1 1）X(t)的一维分布函数的一维分布函数FX(x,1 2)，FX(x,1)； （2 2）X(t)的二维分布函数的二维分布函数FX(x 1,x2 ;1 2

11、,1)； ； （3 3）画出上述分布函数的图形。）画出上述分布函数的图形。 2.32.3 解：解： （1 1） 第 3 页 X(0.5)X(0.5) P P X(1)X(1) P P 0 0 0.50.5 -1-1 0.50.5 2 2 1 1 0.50.5 0.50.5 0,x 0 一维分布为一维分布为: : FX(x,0.5) 0.5,0 x 1 1,x 1 (2)(2) X(1) X(1) X(0.5)X(0.5) 0 0 1 1 -1-12 2 0.50.5 0 0 0 0 0.50.5 0, 二维分布函数为二维分布函数为F(x 1,x2;0.5,1) 0.5, 1, x 1 0或x

12、2 PB(n) =PB(n) = 1 PB(n) = 00 可知出现概率最大的二进制数据为可知出现概率最大的二进制数据为 B(n) = 1B(n) = 1 ，又由独立性可得，又由独立性可得， 概率达到最大的串为概率达到最大的串为1,1,1,1 （4 4）因为此数据序列各个数据之间相互独立，）因为此数据序列各个数据之间相互独立， 下一位数据是下一位数据是 0 0 或或 1 1，与前面的序列与前面的序列 没有任何关系。没有任何关系。所以如果见到所以如果见到 10101010 后，下一位仍为后，下一位仍为0 0 或或 1 1 ，而且仍然有概率，而且仍然有概率 PB(n)=0=0.2PB(n)=0=0

13、.2 和和 PB(n)=1=0.8 PB(n)=1=0.8。 2.32.3设设 质质 点点 运运 动动 的的 位位 置置 如如 直直 线线 过过 程程 X(t) Vt X 0 ， 其其 中中 V N(1,1)与 与 X 0 N(0,2)，并彼此独立。试问： ，并彼此独立。试问： （1 1）t t 时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？ （2 2）它是可预测的随机信号吗？它是可预测的随机信号吗？ 2.72.7 解：解： （1 1）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布 (xt)2 所以它的一维概率密度函数为所以

14、它的一维概率密度函数为: :f X (x) exp 2 2 2(t 2) 2(t 2) 1 (2)(2) 此信号是可预测随机信号此信号是可预测随机信号 2.42.4假定（假定（-1,+1-1,+1）的伯努利序列）的伯努利序列In,n 1,2,.的取值具有等概特性。试问：的取值具有等概特性。试问： （1 1）它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？ （2 2）它是可预测的随机信号吗？它是可预测的随机信号吗？ 2.82.8 解：解： (1)(1) f X (x) 0.5(x1)0.5(x1) (2)(2) 该随机信号不可预测该随机信号不可预测 2.52.5给

15、给定定随随机机过过程程 X(t) 和和常常数数 a ，试试以以 X(t) 的的自自相相关关函函数数来来表表示示差差信信号号 Y(t) X(t a) X(t)的自相关函数。 的自相关函数。 2.102.10 解：解： 由题意可得：由题意可得： 2.62.6两个随机信号两个随机信号 X(t)=Asin(X(t)=Asin(t+t+ ) )与与 Y(t)=Bcos(Y(t)=Bcos(t+t+ ) )，其中，其中 A A 与与 B B 为未知随为未知随 机变量，机变量， 为为 0 02 2 均匀分布随机变量，均匀分布随机变量，A A、B B 与与 两两统计独立，两两统计独立， 为常数，试问，为常数，

16、试问， （1 1）两个随机信号的互相关函数）两个随机信号的互相关函数R XY(t1,t2) ； 第 5 页 （2 2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）与统计独立性；）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）与统计独立性； 题题 2.112.11 解解 ： （ 1 1 ）R XY t 1,t2 X t 1 Yt 2 Asin t 1 Bsint 2 1 ABcost 1 t 2 cost 1 t 2 2 2 1 AB cos t 1 t 2 cos t 1 t 2 2 2 因为因为 为为 0 0 至至 2 2 均匀分布随机变量，所以均匀分布随机变量，所以 cos 上式上式RXY t

17、1,t2 t 1 t 2 2 0， ， 1 AB cos t 1 t 2 ； 2 （2 2）如果）如果 EAEA或或 EBEB为为 0 0，则，则 R XY t 1,t2 0，随机信号 ，随机信号 X(t)X(t)与与 Y(t)Y(t)正交正交 ； 因为因为 为为 0 0 至至 2 2 均匀分布随机变量，所以有均匀分布随机变量，所以有 如果如果 EAEA或或 EBEB为为 0 0， 则则RXY t 1,t2 C XY t 1,t2 0 ， X(t)X(t)与与 Y(t)Y(t)互不相互不相 关；关； 如果如果 EAEA与与 EBEB均不为均不为 0 0，则，则RXY t 1,t2 C XY t

18、 1,t2 0 ，X(t)X(t)与与 Y(t)Y(t) 相关；相关； 综上，综上，X(t)X(t)与与 Y(t)Y(t)的正交性与互不相关性等价；的正交性与互不相关性等价； 因为随机信号因为随机信号 X(t)X(t)与与 Y(t)Y(t)中都有随机变量中都有随机变量 ，所以，所以 X(t)X(t)与与 Y(t)Y(t)一般一般 不会相互独立。不会相互独立。 2.72.7假定正弦电压信号假定正弦电压信号X(t) Acost ， 其中，其中，A服从均匀分布服从均匀分布U(1,1)， 服从均匀分布服从均匀分布U(,)，它们彼此独立。如果信号施加到，它们彼此独立。如果信号施加到RCRC 并联电路上，

19、求总的电流信并联电路上，求总的电流信 号及其均方值。号及其均方值。 题题 2.132.13 解：由电路原理的相关知识可知：解：由电路原理的相关知识可知： 总电流总电流 I I 为为I A cos(wt ) ACwsin(wt )，则 ，则 R t1t2 2.82.8零均值高斯信号零均值高斯信号X(t)的自相关函数为的自相关函数为R X () 0.5e 概率密度。概率密度。 题题 2.152.15 ， 求求X(t)的一维和二维的一维和二维 解：解：(1)(1) 因为因为mX(t) 0，DX(t) C X (0) R X (0) 0.5，所以一维概率密度函数为： ，所以一维概率密度函数为： (2)

20、(2) 高斯信号高斯信号 X(t)X(t)的二维概率密度函数为：的二维概率密度函数为： X(t 1 ) t 1 0 X X ，t t， ， ， X(t ) 2 t20 第 6 页 C(t i ,t j )为协方差，则 为协方差，则 2.92.9某高斯的均值某高斯的均值 m X (t) 2 ，协方差，协方差 C X (t 1,t2 ) 8cos(t 1 t 2 )，写出当 ，写出当 t 1 0、 、 t 2 0.5和 和t3 1时的三维概率密度。 时的三维概率密度。 题题 2.182.18 解：由定义得：解：由定义得： 又因为又因为 设设 88cos(1/ 2)8cos1 X(t 1 ) t 1

21、 2 X X X(t 2 ) ，t t t2 ， 2，C C 8cos(1/ 2) 88cos(1/ 2) X(t ) t2 8cos1 8cos(1/ 2)8 3 3 则则 2 2 3 2.102.10 设随机变量设随机变量X,Y N ,C C，其中，其中 ，C C ，求 ，求X,Y的概率的概率 235 密度和特征函数密度和特征函数 XY u,v。 。 题题 2.192.19 解：因为解：因为E(X) 2与与E(Y) 2，DX 2,D Y 5，而 ，而 于是，于是，(X,Y) N 2,2;2,5;3/ 10 。则。则 (X(X，Y)Y)的概率密度函数为的概率密度函数为 其特征函数为其特征函数

22、为 3.13.1随机电压信号随机电压信号Ut在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是 高斯的、均值为高斯的、均值为 0 0，方差为，方差为 2 2，试求：，试求： （1 1）密度函数）密度函数f u;t、 、f u 1,u2;t1,t2 和 和f u 1,u2 ,.,u k ;t 1,t2 ,.,t k ， ，k k 为任意整数；为任意整数； （2 2）Ut的平稳性。的平稳性。 3.13.1 解：解： Cov(X,Y)33 。 D X D Y 2 510 x2 exp (1)(1)f (u;t) 42 1 (2)(2)由于任意由于

23、任意 k k 阶概率密度函数与阶概率密度函数与 t t 无关，因此它是严平稳的。无关，因此它是严平稳的。 3.23.2已已 知知 随随 机机 信信号号 X(t) 和和Y(t)相相 互互独独 立立 且且 各各 自自平平 稳稳 ，证证明明 新新 的的 随随 机机信信 号号 Z(t) X(t)Y(t)也是平稳的。 也是平稳的。 3.43.4 解：解： X(t)与 与Y(t)各自平稳，设各自平稳，设m X = =EX(t)，m Y = =EY(t)，R X () EX(t )X(t)， ， 第 7 页 R Y () EY(t )Y(t) m Z (t) EZ(t) EX(t)Y(t) EX(t)EY(

24、t) m X m Y ，为常数，为常数 R Z ()仅与 仅与有关，故有关，故Z(t)X(t)Y(t)也是平稳过程。也是平稳过程。 3.33.3随机信号随机信号X t10sin 0t ， ，0为确定常数，为确定常数，在在,上均匀分布的上均匀分布的 随机变量。若随机变量。若X(t)通过平方律器件，得到通过平方律器件，得到Y(t) X (t)，试求：，试求： （1 1）Y(t)的均值；的均值；（2 2）Y(t)的相关函数；的相关函数； 2 （3 3）Y(t)的广义平稳性。的广义平稳性。 22 3.53.5 解：解： (1)(1)EY(t) EX (t) E100sin ( 0 t ) 50E1co

25、s(2 0t 2 ) 50 R Z ()仅与 仅与有关，且均值为常数，故有关，且均值为常数，故Y(t)是平稳过程。是平稳过程。 3.43.4给定随机过程给定随机过程X t Acos 0t Bsin 0t ， ，其中其中0是常数，是常数，A和和B是两个是两个 任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为。证明。证明X t是广义平稳而不是严格 是广义平稳而不是严格 2 平稳的。平稳的。 3.63.6 证明：证明： m X (t) EX(t) EAcos( 0 t) Bsin( 0 t) 0 由于均值是常数，且相关函数只与由于均值是常数，且相关函数只与有关

26、，故有关，故X(t)是广义平稳过程。是广义平稳过程。 3.53.5Y(t)是广义周期平稳的实随机信号，是广义周期平稳的实随机信号，平稳周期为平稳周期为 100100，有均值有均值m(10) 20和相关和相关 函数函数R(5,1)10，试求：，试求： （1 1）E5Y(110)，E10Y(310)50； （2 2）EY(105)Y(101)，E30Y(205)Y(201)200； （3 3）E10Y(305)Y(301)6Y(210) 80。 3.73.7 解：解： 3.63.6两个统计独立的平稳随机过程两个统计独立的平稳随机过程 X(t)和 和Y(t)，其均值都为，其均值都为 0 0，自相关函

27、数分别为，自相关函数分别为 R X () e ，RY() cos2，试求：，试求： （1 1）Z(t) X(t)Y(t)的自相关函数；的自相关函数； （2 2）W(t) X(t)Y(t)的自相关函数；的自相关函数； 第 8 页 （3 3）互相关函数）互相关函数RZW()。 3.93.9 解：解： 3.73.7广义平稳随机过程广义平稳随机过程Y(t)的自相关函数矩阵如下，的自相关函数矩阵如下， 试确定矩阵中带下划线的空白处试确定矩阵中带下划线的空白处 元素的值。元素的值。 3.123.12 解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到：解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的

28、对称性，得到： 2 1.30.4 0.9 1.321.20.8 C=C= 0.4 1.22 1.1 0.9 0.81.12 22 3.83.8对于两个零均值广义平稳随机过程对于两个零均值广义平稳随机过程X t和 和Yt，已知已知 X 5， ， Y 10， ，问下问下 述函数可否作为自相关函数，为什么？述函数可否作为自相关函数，为什么？ （1 1）RX 5uexp3； ；（2 2）RX 5sin5； ； （3 3）R Y 9 12 2 1 ；（4 4）RY 2 cos6exp； ； sin3sin10 （5 5）RX 5 ；（6 6）R 64 。 。 Y 3 10 （6 6）RX 5exp( )

29、； ；（7 7）R Y 64exp(32) 。 2 Y 解：根据平稳随机信号相关函数的性质，解：根据平稳随机信号相关函数的性质， (1)(1)否，非偶函数否，非偶函数 (2) (2)否，非偶函数否，非偶函数 (3) (3) 否，否，R Y (0) 9 (4) (4) 否，否，R Y (0) 1在原点不是非负 在原点不是非负 (5) (5)是是 (6) (6) 是是 (7) (7) 是是 (8) (8) 是是 3.93.9已已 知知 随随 机机 过过 程程 X(t) 和和 Y(t) 独独 立立 且且 各各 自自 平平 稳稳 ， 自自 相相 关关 函函 数数 为为 2 R X () 2ecos 0

30、 与与RY() 9exp(3 )。令随机过程 。令随机过程Z(t) AX(t)Y(t)，其中，其中 A A 是均值为是均值为 2 2，方差为，方差为9 9 的随机变量，且与的随机变量，且与X(t)和和Y(t)相互独立。求过程相互独立。求过程Z(t)的均值、方差的均值、方差 和自相关函数。和自相关函数。 解：解： 3.103.10 平稳信号平稳信号 X(t)X(t)的功率谱密度为的功率谱密度为 2 （1 1）S X () 4232 （2 2）S() 8()20(1/10), 0, 10 10 求它们的自相关函数和均方值。求它们的自相关函数和均方值。 解：解：(1)(1) (2)(2) 根据傅立叶

31、变换的对称性，有根据傅立叶变换的对称性，有: : 第 9 页 3.113.11 下述函数哪些是实随机信号功率谱的正确表达式？为什么？下述函数哪些是实随机信号功率谱的正确表达式？为什么？ 2 sin （1 1） 2 （2 2） 33 4 62 （3 3） () 41 2 （4 4） j 1 (1)2 62 （5 5） 42 21 （6 6） e 3.213.21 判断的原则：实平稳信号功率谱是实的，非负的偶函数。判断的原则：实平稳信号功率谱是实的，非负的偶函数。 (1)(1)是。是。(2)(2)是。是。 (3)(3)不是，不是， 0时值为负数。时值为负数。(4)(4)不是，功率谱为复数，与判断原

32、则相悖。不是，功率谱为复数，与判断原则相悖。 (5)(5)是。是。(6)(6)不是，因为它不是偶函数。不是，因为它不是偶函数。 3.123.12 X(t) 是平稳随机过程，证明过程是平稳随机过程，证明过程Y(t) X(t T) X(t)的功率谱是的功率谱是 3.223.22 Y(t)的相关函数： R Y( ) EX(t T) X(t)X(t T) X(t ) EX(t T)X(t T) X(t) X(t ) X(t) X(t T) X(t T)X(t ) 3.133.13 设两个随机过程设两个随机过程 X(t)X(t)和和 Y(t)Y(t)联合平稳，其互相关函数为联合平稳，其互相关函数为 求互

33、谱密度求互谱密度S XY ()与 与SYX()。 3.243.24 3.143.14 设随机过程设随机过程X(t) n a X (t) , ,式中式中a是一组实常数。而随机过程是一组实常数。而随机过程X iiii (t)为平稳 为平稳 i1 的和彼此正交的。试证明：的和彼此正交的。试证明：S X () 3.253.25 a i1 n 2 i S Xi () 3.313.31 假定周期为假定周期为 T T 高为高为 A A 的锯齿波脉冲串具有随机相位，的锯齿波脉冲串具有随机相位， 如题图如题图 3.313.31 所示，所示， 它在它在t 0 时刻以后出现的第一个零值时刻是时刻以后出现的第一个零值

34、时刻是0,T)均匀分布的随机变量。试说明均匀分布的随机变量。试说明X(t)的一阶密度函的一阶密度函 数为数为 题图题图 3.313.31 3.313.31 4.14.1随机信号随机信号Y 1 t与 与Y 2 t的实测样本函数如下题图 的实测样本函数如下题图 4.1(a)4.1(a)与与(b)(b)所示，试说明它们所示，试说明它们 是否均值各态历经。是否均值各态历经。 （a a）（b b） 题图题图 4.14.1 解：由均值各态历经信号的物理意义：只要观测的时间足够长，每个样本函数都将经历信解：由均值各态历经信号的物理意义：只要观测的时间足够长，每个样本函数都将经历信 号的各个状态，结合题图可见

35、：号的各个状态，结合题图可见： （a a）不可能是均值各态历经信号；）不可能是均值各态历经信号； （b b）很可能是均值各态）很可能是均值各态 第 10 页 历经信号历经信号 4.24.2随机二元传输信号如例随机二元传输信号如例 3.163.16 所述，试分析它的均值各态历经性。所述，试分析它的均值各态历经性。 解：由例解：由例 3.163.16，随机二元传输信号的协方差函数为，随机二元传输信号的协方差函数为， 又根据充分条件为：又根据充分条件为：limC 0 ，且，且C0 4pq ，因此，它是均值各态历经信号。，因此，它是均值各态历经信号。 4.34.3随机信号随机信号X(t)与与Y(t)是

36、是联合联合广义各态历经的，广义各态历经的， 试分析信号试分析信号Z(t) aX(t)bY(t) 的各态历经性，其中的各态历经性，其中 a a 与与 b b 是常数。是常数。 解：由题意，均方意义下有，解：由题意，均方意义下有， 因此，因此，Z(t)是均值各态历经信号是均值各态历经信号 4.44.4随机过程随机过程X(t) Asint Bcost， 式中，式中， A A 和和 B B 为零均值随机变量。为零均值随机变量。 求证求证 X(t) 是是 均值各态历经的，而均方值无各态历经性。均值各态历经的，而均方值无各态历经性。 解：由题意，首先，解：由题意，首先， 而而X (t) A sin t B

37、 cos t 2ABsintcost A sin t B cos t ABsin2t 显然，显然，EX(t) AX(t)，但，但EX (t) AX (t)。 5.15.1求题图求题图 5.15.1 中三个电路的传输函数（不考虑输出负载）中三个电路的传输函数（不考虑输出负载） 。 题图题图 5.15.1 解根据电路分析、信号与系统的知识，解根据电路分析、信号与系统的知识， 第一个图中系统的传输函数第一个图中系统的传输函数 H( j) 22 222222222 1/ jC1 R1/ jC1 jRC 第二个图中系统地传输函数第二个图中系统地传输函数 H( j) 1/ jC 2 1 jRC 1 R/

38、jC 11/ jC 2 1 jRC 1 C 2 R1/ jC 1 2| 第三个图中系统地传输函数第三个图中系统地传输函数 5.25.2若平稳随机信号若平稳随机信号X(t)的自相关函数的自相关函数R X () A Be wt ，其中，其中，A A和和B B都是正常都是正常 数。又若某系统冲击响应为数。又若某系统冲击响应为h(t) u(t)te 解：解： 因为因为E2 。当。当X(t)输入时，求该系统输出的均值。输入时，求该系统输出的均值。 X R X A2 所以所以EX A A。 5.35.3若输入信号若输入信号X(t) X 0 cos( 0t ) 作用于正文图作用于正文图5.25.2所示所示R

39、CRC电路，电路， 其中其中X 0 为为0,10,1 上均匀分布的随机变量，上均匀分布的随机变量，为为0,20,2 上均匀分布的随机变量，并且上均匀分布的随机变量，并且X 0 与与彼此独立。求输出彼此独立。求输出 信号信号 Y(t)Y(t)的功率谱与相关函数。的功率谱与相关函数。 解：首先我们求系统的频率响应解：首先我们求系统的频率响应H( j)。根据电路分析、信号与系统的知识，。根据电路分析、信号与系统的知识， 然后，计算然后，计算X(t)的均值与自相关函数，的均值与自相关函数， 第 11 页 可见可见X(t)是广义平稳的。考虑系统稳态时的解，可利用推论得出是广义平稳的。考虑系统稳态时的解，

40、可利用推论得出 于是，于是， 5.45.4设某积分电路输入输出之间满足以下关系设某积分电路输入输出之间满足以下关系 式中，式中，T T 为积分时间。并设输入输出都是平稳过程。求证输出功率谱密度为为积分时间。并设输入输出都是平稳过程。求证输出功率谱密度为 （提示：（提示：Y(t) X(t)h(t)，而，而h(t) u(t)u(t T)，是矩形方波。，是矩形方波。 ） 解：因为解：因为 Y(t) 而而 Hj t tT X()d所以 所以Y(t) X(t)h(t) h(t) u(t)u(t T) hte jtdt 2sinT /2 e j/2 所以所以 Hj2 T 4sin2 2 2 2 所以所以S

41、Y() S X () Hj 4S X () 2 T sin2 2 5.55.5若线性时不变系统的输入信号若线性时不变系统的输入信号X(t)是均值为零的平稳高斯随机信号，且自相关函数是均值为零的平稳高斯随机信号，且自相关函数 为为RX() ()，输出信号为，输出信号为Y(t)。试问系统。试问系统h(t)要具备什么条件，才能使随机变量要具备什么条件，才能使随机变量X(t1)与与 Y(t 1) 互相独立。互相独立。 解：解：由于输入信号由于输入信号X(t)是均值为零的平稳高斯随机信号，是均值为零的平稳高斯随机信号， 所以通过线性时不变系统后所以通过线性时不变系统后Y(t) 仍然是均值为零的平稳高斯随

42、机信号，且仍然是均值为零的平稳高斯随机信号，且X(t)和和Y(t)是高斯联合平稳过程。如果是高斯联合平稳过程。如果Xt1与与 Yt 1 相互独立，则 相互独立，则EXt1Yt1 RXY(0) 0。而。而 因此，因此，h(t)要满足要满足h0 0。 5.65.6 系统的均方值与功率谱密度。系统的均方值与功率谱密度。 解：由题知：解：由题知：H j ath(t) eu(t) 的系统上，求的系统上，求若功率谱为若功率谱为 5W/Hz5W/Hz 的平稳白噪声作用到冲击响应为的平稳白噪声作用到冲击响应为 2 15 ，所以，所以SY 5 Hj 2jaa2 而而 输输 出出 过过 程程 的的 自自 相相 关

43、关 函函 数数 R Y 2 E Y t R Y 0 1 2 S Y ejd 5 a e 。 于于 是是 ， 2a 5.75.7 5 2a 功率谱为功率谱为N 0 2的白噪声作用到 的白噪声作用到| H(0)| 2的低通网络上，网络的等效噪声带宽的低通网络上，网络的等效噪声带宽 2 为为 2MHz2MHz。若噪声输出平均功率是。若噪声输出平均功率是 0.10.1 瓦，求瓦，求N 0 的值。的值。 解：解： 由由N0BN H0 0.1得， 得，N0 0.1 B N H02 0.1 81.2510 （瓦（瓦/Hz/Hz） 21064 第 12 页 5.85.8已知平稳随机信号的相关函数为已知平稳随机

44、信号的相关函数为 1 2(1|), X （1 1） R X () 1 0, 求它们的矩形等效带宽。求它们的矩形等效带宽。 （2 2）RX() X e 2| 解：解： （1 1）因为）因为RX()是三角函数，所以，由几何图形易知，是三角函数，所以，由几何图形易知，Beq （2 2）S X 2 0 R X e j 2 X 2 d 22 1 所以所以B eq 2 S X R X 0 2 X d S X 0 2S X 0 42 X 4 j( 0 t) 6.16.1复随机过程复随机过程Z(t) e， 式中式中 0 为常数，为常数，是在是在(0,2)上均匀分布的随机变量。上均匀分布的随机变量。 求：求：

45、（1 1）EZ(t )Z (t)和和EZ(t )Z(t)； （2 2）信号的功率谱。）信号的功率谱。 解：解： (1)(1) (2)(2) 6.26.2 6.36.3 6.46.4 已知已知a(t)的频谱为实函数的频谱为实函数A()，假定，假定 时， 时，A() 0，且满足，且满足0 比较：比较： （1 1） a(t)cos 0t 和和(1 2)a(t)exp( j 0t) 的傅立叶变换。的傅立叶变换。 （2 2） a(t)sin 0t 和和( j 2)a(t)exp( j 0t) 的傅立叶变换。的傅立叶变换。 （3 3） a(t)cos 0t 和和a(t)sin 0t 的傅立叶变换。的傅立叶

46、变换。 解：解： 由傅立叶变换的定义可以得到：由傅立叶变换的定义可以得到： （1 1） ，试 ，试 1 a(t)ej 0t的傅立叶变换是的傅立叶变换是a(t)cos0t的傅立叶变换的正频率部分。的傅立叶变换的正频率部分。 2 （2 2） j a(t)ej 0t的傅立叶变换是的傅立叶变换是a(t)sin 0t 的傅立叶变换的正频率部分。的傅立叶变换的正频率部分。 2 （3 3） a(t)cos 0t 和和a(t)sin0t的傅立叶变换是希尔伯特变换对。的傅立叶变换是希尔伯特变换对。 6.66.6 6.76.7若零均值平稳窄高斯随机信号若零均值平稳窄高斯随机信号X(t)的功率谱密度如题图的功率谱密

47、度如题图 6.76.7 （1 1）试写出此随机信号的一维概率密度函数；试写出此随机信号的一维概率密度函数； （2 2）写出写出X(t)的两个正交分量的联合概率密度函数。的两个正交分量的联合概率密度函数。 第 13 页 题图题图 6.76.7 解：解： (1)(1) 零均值平稳窄带高斯信号零均值平稳窄带高斯信号X(t)的正交表达式为的正交表达式为 基于功率谱计算功率得基于功率谱计算功率得 X(t)为 为 0 0 均值的高斯随机信号均值的高斯随机信号, ,所以所以 X(t) 所以一维概率密度所以一维概率密度 N(0,2) (2)(2) 又因为又因为X(t)的功率谱关于中心频率的功率谱关于中心频率0偶对称偶对称 由（由（6.376.37）得）得 S qi () 0 即即 R qi () Ei(t 1)q(t2 ) 0 所以所以i(t),q(t)彼此正交，做为零均值的高斯信号也彼此独立，所以彼此正交，做为零均值的高斯信号也彼此独立，所以 6.86.8 对于窄带平稳随机过程对于窄带平稳随机过程x(t) i(t)cos0t q(t)sin0t， 若其均值为零，若其均值为零， 功率谱密度为功率谱密度为 式中式中P,及0 都是正实常数。试求都是正实常数。试求 （1 1）x(t)x(t)的