高中数学经典例题及跟踪训练 空间垂直关系的证明.pdf

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1、高中数学经典例题及跟踪训练高中数学经典例题及跟踪训练空间垂直关系的证明空间垂直关系的证明 I I题源探究黄金母题题源探究黄金母题 【例 1】如图，在正方体ABCD A 1B1C1D1 中，求证： （1）B 1D 平面A 1C1B ； （2）B 1D 与平面A 1C1B 的交点H是A 1C1B 的重心 （三角形三条中线的交点） 【解析】 （1）连接B 1D1 ，B 1D1 A 1C1， 又DD 1 面A 1B1C1D1， DD 1 AC 11 ， B 1D1 A 1C1， DD 1 的体积为 8 ，求该四棱锥的侧面积 3 【答案】 （1）证明见解析； （2）6 2 3 【解析】分析： （1）由A

2、B AP，AB PD， 得AB 平面PAD； （2）设ABx，则四棱锥 P ABCD V PABCD 的体积 11 AB ADPE x3，解得x 2， 33 B 1D1 D 1 可得所求侧面积 解析： （1）由已知BAPCDP90，得 A 1C1 面D 1DB ，因此AC 11 B 1D 同理可证：B 1D A1B ，B 1D 平面A 1C1B （2）连接A 1H，BH，C1H ， 由A 1B1 BB 1 C 1B1 ，得A 1H BH C1H 点H为A 1BC1 的外心.又A 1BC1 是正三角形， 点H为A 1BC1 的中心，也为A 1BC1 的重心 D1 A1 H B1 C1 AB AP

3、，CD PD由于ABCD，故 AB PD，从而AB 平面PAD又AB平 面PAB，所以平面PAB平面PAD （2）在平面PAD内作PE AD，垂足为E C D AB 由（1）知，AB 平面PAD，故AB PE， 可得PE 平面ABCD设AB x，则由已知 II II考场精彩考场精彩 真题回放真题回放 可得AD 【例 2】 【2017 课标 1 文 18】 如图， 在四棱锥 P-ABCD 中， AB/CD，且BAP CDP 90 2x，PE 2 x故四棱锥 2 P ABCD的体积 11 V PABCD ABADPEx3由题设得 33 1 3 8 x ，故x 2从而PA PD 2， 33 AD B

4、C 2 2，PB PC 2 2可得四 （1）证明：平面 PAB平面 PAD；棱锥 P 2 AB 的侧面积为 （2） 若 PA=PD=AB=DC，且四棱锥 P-ABCD 1 PAPD 1 PA AB APD 90， 2 11 PDDC BC2sin60 62 3 22 【点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再 由线面垂直证明面面垂直；先利用线面平行说明点面距为 （2）设ADCD 2，AC 2 2， AB CD 2 2，又AB BD， ABD CBD， AE EC，BD 2 2， 定值，计算点面距时， 如直接求不方便， 应首先想到转化， AE EC2， 如平行转化、对称转化、比例转化等，

5、找到方便求值时再 又AE EC，AC 2 2， 计算，可以减少运算量，提高准确度，求点到平面的距离 在ABD中 ， 设DE x， 根 据 余 弦 定 理 有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱 锥的高，利用等体积法求出 【例 3】【2017 课标 3 文 19】 如图， 四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形，AD=CD AD2 BD2 AB2AD2 DE2 AE2 cosADB 2ADBD2ADDE 22(2 2)2(2 2)222 x222 22x222 2 解 得x 2， 点E是BD的 中 点 ， 则 V DACE1. V BACE V DACE V BACE ， 【例

6、4】【2016 年全国卷】 如图， 菱形ABCD的 （1）证明：ACBD；对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在 （2）已知ACD 是直角三角形，AB=BD若 E 为棱 BD AD，CD上，AE CF，EF交BD于点H， 上与 D 不重合的点，且 AEEC，求四面体 ABCE 与四面 体 ACDE 的体积比 【答案】（1）详见解析；（2）1 【解析】分析： （1）取AC中点O，由等腰三角形及等比 三角形性质得AC OD，AC OB，再根据线面垂直 判定定理得AC 平面OBD，即得 ACBD； （2）先由 AEEC，结合平几知识确定AE EC，再根据锥体体积 公式得，两者体积比为 1:1. 解

7、析：（1）证明：取AC中点O，连OD,OB ADCD，O为AC中点，AC OD， 又ABC是等边三角形，AC OB，又 又由AECF得 （1）证明：AC HD； （2） 若A B 5 ,A C 6 ,A E 将DEF沿EF折到DEF的位置. 5 ，OD 2 2， 4 求五棱锥D ABCEF体积. 【解析】 （1）由已知得，AC BD, AD CD AECF ，故AC ADCD EF 由此得EF HD,EF HD， AC 平面OBD，BD 平面OBD，OBOD O， AC BD. 所以AC HD. （2）由EF / /AC得 OHAE1 . DOAD4 D PDC中DC边的中点，故PE AC，

8、又平面PAC 平面ABC，平面PAC 平面 由AB 5,AC 6得 ABC AC，PE 平面PAC，PE AC， 所以PE 平面ABC，从而PE AB. 因衈 ABC= DO BO AB2 AO2 4， 所以OH 1,DH DH 3， 于是OD OH 9 DH , 故OD OH由（）知AC HD， 又AC BD,BD 222 p ,EFBC,故AB 2 EF. 从而AB 与平面PFE内两条相交直线PE，EF都垂直， 所以AB平面PFE. （2）设BC=x,则在直角D ABC中， HD H ， 所以AC 平面BHD,于是AC OD 又由ODOH,AC OH O， AB= AC2- BC2= 36

9、- x2. 从而S D ABC = 由EF 所以，OD平面ABC 又由 11 AB? BC=x 36x2 22 AFAE2 =， ABAC3 S D AEF 24 =( )2= ， S D ABC 39 9EFDH 得EF 2ACDO BC，知 五边形ABCFE的面积为 得D AEF D ABC,故 4 S D ABC . 9 11969 ， S 683 2224 所以五棱锥DABCEF体积为 即S D AEF = 由AD= 16923 2 V 2 2 342 1 AE， 2 11 42 【例 5】 【2015 重庆高考】如图，三棱锥P ABC中，平 S =S SS D ABC D AFBD

10、AFED ABC 面PAC平面ABC，ABC 22 99 ，点D、E在线段AC 1 2 x 36- x2, 上，且AD DE EC 2，PD PC 4，点F在线 段AB上，且EF 9 BC. 从而四边形DFBC的面积为 11 S DFBC =S D ABC -S D ADF =x 36- x2-x 36- x2 29 7 =x 36- x2 18 由（1）知，PE 平面ABC， 所以PE为四棱锥PDFBC的高. （）证明：AB平面 PFE； （）若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7，求线段 BC 的长 在直角D PEC中，PE=PC-EC= 4 -2 =2 3， 体积V P-DFBC = 鬃

11、S DFBCPE= ? x 36 x 2?2 3 7， 2222 1 3 1 7 3 18 【解析】 （1）如图.由DE EC,PD PC知，E为等腰 故得x4- 36x2+243 =0， 解得x2=9或x2=7， 由于x0，可得x =3或x =3 3， 所以BC =3或BC =3 3 【例 6】 【2015 全国新课标卷】如图四边形ABCD为菱 形，G为AC与BD交点，BE 平面ABCD 【试题来源】人教版人教版 A A 版必修二第版必修二第 7979 页复习参页复习参 考题考题 B B 组第组第 2 2 题题 【母题评析】本题是以正方体为载体考查空间直本题是以正方体为载体考查空间直 线与平

12、面的垂直关系，这种题型能充分考查学生线与平面的垂直关系，这种题型能充分考查学生 的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析 与解决问题的能力与解决问题的能力 这在高考这在高考中常常出现在解答中常常出现在解答 题的第题的第 1 1 小题位置小题位置 【思路方法】两平面垂直问题常转化为直线与直两平面垂直问题常转化为直线与直 线垂直，而直线与平面或垂直又可转化为直线与线垂直，而直线与平面或垂直又可转化为直线与 直线垂直，所以在解题时应注意直线垂直，所以在解题时应注意“ “转化思想转化思想” ”的运的运 （）证明：平面AEC 平面BED； （）若ABC120

13、，AE EC三棱锥E ACD的 体积为 6 ，求该三棱锥的侧面积. 3 用。这种转化实质上就是：将用。这种转化实质上就是：将“ “高维问题高维问题” ”转化为转化为 “ “低维问题低维问题” ”，将，将“ “空间问题空间问题” ”转化为转化为“ “平面问题平面问题” ” 【命题意图】本类题主要考查空间空间直线、平本类题主要考查空间空间直线、平 面间的垂直关系的证明和判断，以及考查逻辑思面间的垂直关系的证明和判断，以及考查逻辑思 维能力、空间想象能力、转化能力维能力、空间想象能力、转化能力 【考试方向】这类试题在选择题中，主要考查空这类试题在选择题中，主要考查空 间直线、平面间的垂直的概念、定理

14、、公理、推间直线、平面间的垂直的概念、定理、公理、推 论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直 【解析】 （）因为四边形ABCD为菱形， 所以AC BD，因为BE 平面ABCD， 所以AC BE，故AC 平面BED 又AC 平面AEC，所以平面AEC 平面BED （）设AB x，在菱形ABCD中， 由ABC120 ，可得AGGC 3x x，GBGD . 22 因为AE EC，所以在RtAEC中， 可得EG 3 线与平面间的垂直，主要出现在第线与平面间的垂直，主要出现在第 1 1 小题中小题中 x.由BE 平面ABCD， 知EBG为直角三 2 【难点中

15、心】求空间直线、平面间位置关系的证求空间直线、平面间位置关系的证2 x.由已知得，三棱锥E ACD的体 2 明的主要难点：明的主要难点： （1 1）对几何体结构认识不透，空）对几何体结构认识不透，空 间想象能力较差，难以下手；间想象能力较差，难以下手； （2 2）不能正确利用）不能正确利用 条件中中点、垂直关系实施有效的转化条件中中点、垂直关系实施有效的转化 角形，可得BE 积 116 3 6 V EACD ACGDBE x ，故x=2 32243 从而可得AE EC ED 6. 所以EAC的面积为 3，EAD的面积与ECD面积均 为 5，故三棱锥E ACD的侧面积为32 5. 精彩解读精彩解

16、读 IIIIII理论基础解题原理理论基础解题原理 考点直线、平面平垂直的判定及其性质 定理定理内容 一条直线与一个平面 直线与平面 垂直的判定 内的两条相交直线垂 直， 则该直线与此平面 垂直 符号表示分析解决问题的常用方法 在已知平面内“找出”两条 m、n,mn P, 且a m,a n a 相交直线与已知直线垂直就 可以判定直线与平面垂直。 “线面垂直” 转化为 “线即将 线垂直” 判定的关键：在一个已知平 平面与平面 垂直的判定 一个平面过另一平面 的垂线， 则这两个平面 垂直 （满足条件与 垂直的 平面 a ,a 面内“找出”两条相交直线 与另一平面平行。即将“面 面平行问题”转化为“线

17、面 平行问题” 有无数个） 直线与平面 垂直的性质 同垂直与一个平面的 两条直线平行。 两个平面垂直，则一个 a ,b a/b 运用较少 l,a , 解决问题时，常添加的辅助 线是在一个平面内作两平面 a l a 交线的垂线 平面与平面 垂直的性质 平面内垂直与交 线的 , 直线与另一个平面垂 直 IVIV题型攻略深度挖掘题型攻略深度挖掘 【考试方向】 在选择题中，主要考查空间直线、平面间的垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主 要考查直线与平面间的垂直，主要出现在第1 小题中 【技能方法】 （1）证明线线垂直转化为证明线面垂直或面面垂直； （2）证明线面垂直转化为证明线

18、线垂直或面面垂直； （3）证明面面垂直转化为证明线线垂直或线面垂直 【易错指导】 （1）忽视定理的关键条件，如忽视直线与平面垂直的判定定理中，两条直线相交的条 件； （2）胡乱推广平面几何的结论而用于证明空间问题； （3）受定势思维的影响，凭直觉思维主观臆断而误导结论 V V举一反三触类旁通举一反三触类旁通 考向考向 1 1空间直线与直线垂直空间直线与直线垂直 【例 1】 【2017 重庆八中上期第一次月考】已知在斜三棱柱ABC A 1B1C1 中，四边形A 1 ACC 1 为菱形， ACB 90，AC BC 2，点D为AC的中点，A 1D 平面ABC. （1）求证：A 1B AC1 ； （2

19、）设直线AC1与A 1D 交于点M，求三棱锥C1MBC的体积 （2）解：D为线段AC的中点， AM1AD1C M2 ，从而 ，即 1 ， A 1C1 2C 1 A3MC 1 2 1 3 于VC 1MBC V C1ABC V MABC 3V MABC V MABC 2V MABC 2S ABC MD， 而SABC 1131 ，22 2，MD A 1D 3 3332 134 3 2 339 VC 1 MBC 2 【点睛】证明线线垂直常见的有两种途径： （1）通过证明线面垂直达到目的，然而在实际证明过程中常常是转化 为证明线面垂直后，又可转化为证明面面垂直或线线垂直； （2）利用三垂线定理证明 【跟

20、踪练习】 1.【2017 昆明一中高考仿真】如图所示的三棱柱ABEDCF中，AB AF， BE EF 2 （）证明：AE BF； （）若BEF 60，AE 2AB 2，求三棱柱ABEDFC的体积 （）由（）知BF AO，BF EO， 因为BE EF 2，BEF 60，所以BF 2， 因为AE 2AB 2，所以AB AF 2， 所以ABF为等腰直角三角形，且AO 1，EO 3， 所以AO EO， 则AO 平面BEF， 故AO为三棱锥ABEF的高，则V ABEF 113 22sin60 ， 323 因为三棱柱ABEDFC与三棱锥F ABE同底等高， 所以其体积为VABEDFC3VABEF 3 2.

21、【2017 届四川省资阳市高三上学期期末】如图，矩形ACEF和等边三角形ABC中，AC 2,CE 1，平面 ABC 平面ACEFM是线段EF上的一个动点 （1）若BM AC，确定M的位置，并说明理由； （2）求三棱锥C ABM的体积 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）VCABM 3 . 3 （2）由题V CABM V BACM 1 S ACM h，由（1）和三角形ABC为等边三角形得O为AC的中点，BO为三 3 3， 又无论M是EF上的何点，M到AC的距离不变， 即为三角形ACM 棱锥B ACM的高h， 于是h 底边AC的高，S ACM 131 211，VCABMVBACM13 332

22、3.【2017 届云南省师范大学附属中学高考适应性月考（八） 】如图，矩形ABDE（AE 6,DE 5） ，被截去一 角（即BBC） ，AB3，ABC 135，平面PAE 平面ABCDE， PAPE 10. （1）求五棱锥P ABCDE的体积的最大值； （2）在（1）的情况下，证明： BC PB. 【答案】 （1） 112 （2）见解析 3 【解析】 （）解：因为AB3， ABC135，所以BBC 45，BB AB AB53 2，所以截 去的 BBC是等腰直角三角形， 所以S ABCDE S ABDE S 如图 3， BBC 1 6522 28 2 过P作PO AE，垂足为O，因为平面PAE

23、平面ABCDE，平面PAE 平面ABCDE AE， PO平 面PAE，所以PO平面ABCDE， PO为五棱锥P ABCDE的高在平面PAE内， PAPE 10 AE 6，P在以A， E为焦点，长轴长为10的椭圆上，由椭圆的简单的几何性质知：点P为短 轴端点时，P到AE的距离最大，此时PA PE 5， OAOE 3， （指出即可，未说明理由不扣分） 所以POmax 4，所以V PABCDE max 11112 S ABCDE PO max 284 333 考向考向 2 2空间直线与平面垂直空间直线与平面垂直 【例 1】 【2017 武汉部分学校上期起点考】如图，四棱锥P ABCD中， ABC B

24、AD90，BC 2AD 2，PAB与PAD都是等边三角形 （1）证明：CD平面PBD； （2）求四棱锥P ABCD的体积 【解析】 （1）证明：过P作PO平面ABCD于O，连OA依题意PA PB PD，则OAOBOD又 ABD为Rt，故O为BD的中点PO面PBD， 面PBD 面ABCD在梯形ABCD中，CD2 DB2 CB2，CD DB 面ABCD面PBD BD，CD平面PBD （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 PO 为 四 棱 锥 P A B C D 的 高 BC 2AD 2 ， ABC BAD90 ， S ABCD (12)13 22 又PA1，AO 2 2 ，PO PA2 AO2 2 2

25、， V PABCD 12 S ABCD PO 34 【点睛】判断线面垂直在高考中用得最多的途径有两条：一是利用线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性 质 【跟踪练习】 1.【2017 福建泉州市高三 5 月质检】如图, 三棱锥ABCD中,AB AD,BC CD, 平面ABD 平面BCD, 点E,F分别是BD,CD的中点. （1）求证：CD平面AEF； （2）已知AB 4,BC 2,CD 2 3,求三棱锥B AEF的高. （2）由（1）得AE 平面BCD,线段AE的长就是点A到平面BCD的距离 又由EF 平面BCD得AE EF. 在中,BC 2,CD 2 3,BD BC2CD2 4,AB AD

26、 BD 4, 故ABD是边长为4的等边三角形 又AE BD,E为BD中点,AE AB2BE24222 2 3 又点E,F为分别为棱BD,CD的中点, 因此EFBC,且EF 1 BC 1， 2 SBEF 11113 S BCD BCCD 22 3 . 44282 113 V BAEF V ABEF S BEF AE 2 313, 332 在RtAEF中,S AEF 得h 111 AE EF 2 313, 设三棱锥B AEF的高为h.则由V B AEF S AEF h 223 3V BAEF 3 3,故三棱锥B AEF的高为3. S AEF 3 2.【2017 天津文 17】如图，在四棱锥P AB

27、CD中，AD 平面PDC，ADBC， PD PB，AD 1，BC3，CD 4，PD 2. （I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （II）求证：PD 平面PBC； （）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】() 55 ;(). 55 （） 证明： 因为 AD平面 PDC， 直线 PD平面 PDC， 所以 ADPD.又因为 BC/AD， 所以 PDBC， 又 PDPB， 所以 PD平面 PBC. （）解：过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连结 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所 成的角.因为 PD平面 PBC，故 PF 为 DF 在

28、平面 PBC 上的射影，所以DFP为直线 DF 和平面 PBC 所成的角. 由于 AD/BC，DF/AB，故 BF=AD=1，由已知，得 CF=BC BF=2.又 ADDC，故 BCDC，在 RtDCF 中，可 得DF CD CF 2 5,在 RtDPF 中，可得sinDFP 所以，直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 考向考向 3 3空间平面与平面垂直空间平面与平面垂直 【例 1】 【2017 届陕西黄陵中学二模】如图，在四棱锥E ABCD中，ADE是等边三角形，侧面ADE 底面 5 . 5 22 PD5 . DF5 ABCD，其中AB/ /DC，BD 2DC 4，AD 3，AB 5

29、. （）F是EC上一点，求证：平面BDF 平面ADE； （）求三棱锥C BDE的体积. （）取AD中点H，由ADE为等边三角形得EH AD 平面ADE 平面ABCD，EH 平面ABCD， V CBDE V EBCD 3 334121 ，在ABD中，AB边上的高S BCD EH，又因为ADE 中，EH 2553 112112 S BCD S ABCD S ABD (25)34 ， 2525 1123 36 36 3 V CBDE ，三棱锥C BDE的体积为. 35255 【点睛】应用平面与平面垂直的判定定理的关键是在其中一个平面中寻找另一个平面的垂线，由线面垂直推出面 面垂直特别要注意直二面角在

30、平面与平面垂直中的应用 【跟踪练习】 1.【2017 河南省天一大联考上期段测】 如图，已知等边ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF 的中点，N为BC边上一点， 且CN 1 将AEF沿EF折到AEF的位置， 使平面AEF 平面EFCB.BC， 4 （）求证：平面AMN 平面ABF； （）设BF MN G，求三棱锥ABGN的体积. 因为CN 1 BC，所以MF/ /CN，所以MN / /CF. 4 在正ABC中知BF CF，所以BF MN. 而AM MN M，所以BF 平面AMN. 又因为BF 平面ABF，所以平面AMN 平面ABF. （）由（）知AM 平面EFCB，所以AM为三棱

31、锥ABGN底面上的高. 根据正三角形的边长为 4，知AEF是边长为 2 的等边三角形，所以AM 3. 易知GN 333 CF ，BN BC 3. 424 又由（）知BF MN，所以BG BN2 NG2 3 3 ， 2 所以SBGN 113 339 3 BG NG ， 22228 119 39 S BGN AM 3 3388 所以VABGN 2.【2017 山东文 18】由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥 C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形 ABCD 为 正方形,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 AD 的中点,A1E平面 ABCD, （）证明：A 1 O平面 B1

32、CD1; （）设 M 是 OD 的中点,证明：平面 A1EM平面 B1CD1. 【答案】证明见解析.证明见解析. 3.【2017 届甘肃省兰州第一中学高三冲刺模拟】在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形， AB3， AD 2 2，ABC 45，P点在底面ABCD内的射影E在线段AB上，且PE 2，BE 2EA，M 在 线段CD上，且CM 2 CD 3 （）证明：CE 平面PAB； （）在线段 AD 上确定一点 F，使得平面PMF 平面 PAB，并求三棱锥P AFM的体积 【答案】 （）见解析； （） 1 3 （）取F是AD的中点，作AN / /EC交CD于点N，则四边形AECN为平行

33、四边形， CN AE 1，则AN / /EC.在AND中，F，M分别是AD，DN的中点， 则FM / /AN，所以FM / /EC.因为CE 平面PAB，所以FM 平面PAB. 又FM 平面PFM，所以平面PFM 平面PAB. S AFM 1111 23sin45=.V =S 2323 AFM PE 1 . 3 4.【2018 届河南省长葛一高高三上学期开学】如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD中，PB AB. （1）证明：平面PBC 平面PCD； （2）若PB AB BC 4，平面PAB 平面ABCD，求三棱锥APBD与三棱锥PBCD的表面积之差. 4 3 【答案】(1)见解析；(2) 6 2 8. （2）解：平面PAB 平面ABCD，平面PAB 平面ABCD AB，AD AB， 1 34 2 6 2. 2 1 又AD/ /BC，BC 平面PAB，BC PB，PBC的面积为43 6. 2 1 又CD平面PBC，CD PC，PCD的面积为4423210. 2 AD 平面PAB，AD PA，PAD的面积为 又PB AB，PAB的面积为 8. 而ABD的面积与BCD的面积相等，且三棱锥PBCD与三棱锥APBD的公共面为PBD， 三棱锥APBD与三棱锥PBCD的表面积之差为86 2 106 6 2 8.