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1、2016-20172016-2017 学年江西省上饶市学年江西省上饶市 9-179-17 班高一（下）期中数学试卷班高一（下）期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1在等比数列a n中，已知 a1=1，a4=8，则 a5=（ ） A16B16 或16 C32D32 或32 2已知 A B C ，则 sin2x 的值等于（） D （n2） ，则 a 6=（ ）3已知正项数列a n中，a1=l，a2=2， A16B4C2 D45 ，则=（）4如图，在ABC 中，已知 ABCD 5 张丘建算经卷上第 22 题“女子织布”问题：某女子善于织布，一
2、天比一天织得 快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布 5 尺，30 天共织布 390 尺，则该女子织布 每天增加（） A尺 B尺C尺D尺 ） ，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且AOC=120，设6已知两点A（1，0） ，B（1， =2 A1B2 ， （ R） ，则 等于（） C1D2 ，则其前 6 项之和是（）7已知数列a n满足 a1=1，an+1= A16B20C33D120 8已知点O、N、P 在ABC 所在平面内，且 = ， ，则点 O、N、P 依次为ABC 的（） A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心 1 C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心 9已知函数y=Asin（ x+
3、 ）+B 的一部分图象如图所示，如果A0， 0，| | 则（） ， AA=4B =1 C =DB=4 2210在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a b = 则 A=（） A30 B60 C120 11定义 的“均倒数”为 ABC D150 bc，sinC=2sinB， 为 n 个正数 p 1，p2，pn 的“均倒数”若已知数列a n的前 n 项 ，又 D ，则=（） 12已知函数f（x）=（xR） ，正项等比数列a n满足 a50=1，则 f（lna1）+f（lna2） +f（lna 99）等于（ ） A99B101C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 5
4、分，共分，共 2020 分）分） 13若 cos =，的值为 D 14 在数列a n中， 若 ， 则数列a n的通项公式an= 15如图给出一个“三角形数阵” 已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等 比数列，而且每一行的公比都相等，记第 i 行第 j 列的数为 a ij（ij，i，jN *） ，则 a 53 2 等于，a mn= （m3） 16已知ABC 的外接圆的圆心为 O，AB=2，AC=3，BC= 三、解答题（共三、解答题（共 7070 分）分） 17已知| |=1，| |=2 （1）若 与 的夹角为 60，求|2 |； （2）若向量 k + 与 k 互相垂直，求 k 的值 1
5、8已知函数 f（x）=x2+3x，数列a n的前 n 项和为 Sn，点 （x） 的图象上 （1）求数列a n的通项公式； （2）令，求数列b n的前 n 项和 Tn ，则= 均在函数 y=f 19已知函数 f（x）=sin（2x （1）求 f（x）的单调递增区间； ）+2cos x1（xR） 2 （2）在ABC 中，三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 f（A）=，b，a，c 成等 差数列，且=9，求 a 的值 20如图，某公司要在 A，B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD，其中 D 为顶端，AC 长 35 米，CB 长为 80 米，设 A，B 在同一水平面上，从A 和
6、B 看 D 的仰角分别为 和 （1）若 =30， =15，求 AD 的长 （2）设计中 CD 是铅垂方向（CD 垂直于 AB） ，若要求 2 ，问 CD 的长至多为多少？ 21已知等差数列a n的各项均为正数，a1=3，a3=7，其前 n 项和为 Sn，bn为等比数列， 3 b 1=2，且 b2S2=32 （）求 a n与 bn； （）若 范围 22 数列a n的各项均为正数， a1=1， 对任意 nN *， a n+1 21=4a n （a n+1） ， 数列bn满足 b1= ， b n+1= +x2+ax+1 对任意正整数 n 和任意 xR 恒成立，求实数 a 的取值 （1）求数列a n，
7、bn的通项公式； （2） 记 T n 为数列b n的前 n 项和， Sn 为数列log（的前 n 项和 f （n） = 2 a n+1） 试问 f（n）是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由 ， 4 2016-20172016-2017 学年江西省上饶市玉山一中学年江西省上饶市玉山一中 9-179-17 班高一（下）期中数学试卷班高一（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1在等比数列a n中，已知 a1=1，a4=8，则 a5=（ ） A16B16 或16 C32D32 或32
8、 【考点】88：等比数列的通项公式 【分析】先由通项公式求得公比，再用通项公式求解 【解答】解： q=2 a 5=a1q =16 故选 A 2已知 A B C ，则 sin2x 的值等于（） D 4 【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GG：同角三角函数间的基本关系 【分析】解法 1：将已知条件利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简得到 2sinxcosx 的值，所求的式子 sin2x 利用二倍角的三角函数公式化简后等于2sinxcosx，可 得出 sin2x 的值； 解法 2：利用诱导公式cos（+2x）=sin2x 得到 sin2x=cos2（x+） ，然后利用二倍 角的余弦函数
9、公式化简为关于sin（x+ 【解答】解：法 1：sin（x+）= ）的关系式，将已知条件代入即可求出值 （sinx+cosx）= ， ， 两边平方得（1+2sinxcosx）= 解得：2sinxcosx= 则 sin2x=2sinxcosx= ， ； 5 法 2： sin2x=cos2（x+ 故选 D ， ）=12sin （x+ 2）= 3已知正项数列a n中，a1=l，a2=2， A16B4C2 D45 （n2） ，则 a 6=（ ） 【考点】8H：数列递推式 【分析】 由题设知 a n+1 2a n 2=a n 2a n1 2， 且数列a n 2为等差数列， 首项为 1， 公差 d=a 2
10、 2a 1 2=3， 故 a n 2=1+3（n1）=3n2，由此能求出 a 6 【解答】解：正项数列a n中，a1=1，a2=2，2an =a n+1 +a n1 （n2） ， a n+1 a n =a n a n1 ， 数列a n 为等差数列，首项为 1，公差 d=a 2 a 1 =3， a n 2=1+3（n1）=3n2， a n= a 6= 故选：B 4如图，在ABC 中，已知，则=（） =4， 222 2222 222 ABCD 【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义 【分析】 根据向量的减法法则， 结合题中等式得 ，得到本题答案 【解答】解： 由已知 = ，得 ， =3（） =3
11、 （） ， 化简可得=+ 6 化简=+ 故选：C 5 张丘建算经卷上第 22 题“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得 快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布 5 尺，30 天共织布 390 尺，则该女子织布 每天增加（） A尺 B尺C尺D尺 【考点】85：等差数列的前 n 项和 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前 n 项和公式能求出结果 【解答】解：设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知 解得 d= 尺 ， 故该女子织布每天增加 故选：B 6已知两点A（1，0） ，B（1， =2 A1B2 ） ，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且AOC=120，设 ， （ R）
12、 ，则 等于（） C1D2 【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义 【分析】根据已知条件可以求出 C 点坐标 C（ tan120= 【解答】解： 即，又AOC=120所以： ，解得 =1 故选 C =，所以解得 =1 ； ） ，再根据AOC=120，便有 7 7已知数列a n满足 a1=1，an+1= A16B20C33D120 【考点】8E：数列的求和 【分析】根据 a 1=1，an+1= ，则其前 6 项之和是（） 分别求出前 6 项，然后求和即可求出所求 【解答】解：a 1=1，an+1= ， a 2=2a1=2，a3=a2+1=2+1=3，a4=2a3=6，a5=a4+1=7，a6=
13、2a5=14 其前 6 项之和是 1+2+3+6+7+14=33 故选 C 8已知点O、N、P 在ABC 所在平面内，且 =，则点 O、N、P 依次为ABC 的（） ， A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心 C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心 【考点】L%：三角形五心；9V：向量在几何中的应用 【分析】根据 O 到三角形三个顶点的距离相等， 得到 O 是三角形的外心，根据所给的四个选 项，第一个判断为外心的只有 C，D 两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么 心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P 是三角形的垂心 【解答】证明： O 到三角形三个顶点的距离相等， O 是三角形的
14、外心， 根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D 两个选项， 只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以， ， ， = ， ， ， 同理得到另外两个向量都与相对应的边垂直， 8 得到 P 是三角形的垂心， 故选 C 9已知函数y=Asin（ x+ ）+B 的一部分图象如图所示，如果A0， 0，| | 则（） ， AA=4B =1 C =DB=4 【考点】HK：由 y=Asin（ x+ ）的部分图象确定其解析式 【分析】先根据函数的最大值和最小值求得 A 和 B，然后利用图象中 周期，求得 ，最后根据 x=时取最大值，求得 求得 A=2，B=2 ， =2 + =2k + 求得函数的
15、【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得 函数的周期为（ 当 x= ）4= ，即 = 时取最大值，即 sin（2+ ）=1，2 =2k = 故选 C 10在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2b2= 则 A=（） A30 B60 C120D150 bc，sinC=2sinB， 9 【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理 【分析】 先利用正弦定理化简 22 得 c=2b，再由可得 a =7b ，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA 的值， 根据 A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的值 【解答】解：由 再由 及正弦定理可
16、得 c=2 可得 a2=7b2 b， 再由余弦定理可得 cosA= 故 A=30， 故选 A 11定义 的“均倒数”为 ABC =， 为 n 个正数 p 1，p2，pn 的“均倒数”若已知数列a n的前 n 项 ，又 D ，则=（） 【考点】F3：类比推理 【分析】由已知得 a 1+a2+an=n（2n+1）=Sn，求出 Sn 后，利用当 n2 时，a n=SnSn1，即 可求得通项 a n，最后利用裂项法，即可求和 【解答】解：由已知得 a 1+a2+an=n（2n+1）=Sn 当 n2 时，a n=SnSn1=4n1，验证知当 n=1 时也成立， a n=4n1， 故选 C ， =+ （）
17、 + （） =1= ， 10 12已知函数f（x）=（xR） ，正项等比数列a n满足 a50=1，则 f（lna1）+f（lna2） +f（lna 99）等于（ ） A99B101CD 【考点】8G：等比数列的性质；4E：指数函数综合题 【 分 析 】 根 据 等 比 数 列 的 性 质 得 到 ： a 49a51=a48a52=a1a99=1 ， 所 以 lna 49+lna51=lna48+lna52=lna1+lna99=0，由题知f（x）+f（x）=1，得f（lna1）+f（lna2） +f（lna 99）里有 49 个 1 和 f（lna50） ，而 f（lna50）= 代入其中得
18、到即可 【解答】解：由可知 f（x）+f（x）=1， 因为正项等比数列a n满足 a50=1，根据等比数列的性质得到：a49a51=a48a52=a1a99=1， 所以 lna 49+lna51=lna48+lna52=lna1+lna99=0，lna50=ln1=0 且 f（lna50）=f（ln1）=f（0） = 根据 f（x）+f（x）=1 得 f（lna 1）+f（lna2）+f（lna99）=f（lna1）+f（lna99）+f （lna 2）+f（lna98）+f（lna49）+f（lna51）+f（lna50）= 故选 C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 5 分，共分，
19、共 2020 分）分） 13若 cos =，的值为 += 【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GG：同角三角函数间的基本关系 【分析】利用诱导公式化简再求值 【解答】解：原式= 故答案为： 14在数列a n中，若 2n1 ，则数列a n的通项公式 an= n =cos = 11 【考点】8H：数列递推式 【分析】 式即可得出 【解答】解：， ，可得=利用等差数列的通项公 = 数列是等差数列，首项与公差都为 =， 可得 a n=n2 n1 故答案为：n2 15如图给出一个“三角形数阵” 已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等 比数列，而且每一行的公比都相等，记第 i 行第 j 列的数为
20、 a ij（ij，i，jN ） ，则 a53 等于，a mn= （m3） * n1 【考点】8M：等差数列与等比数列的综合 【分析】利用已知每一列数成等差数列，从第三行起， 每一行数成等比数列，而且每一行 的公比都相等，即可求出a 53； 由可得：利用等差数列的通项公式求出每一行的第一个数，从第三行起每一行的公比， 再利用等比数列的通项公式即可求出a mn 【解答】 解： 第 k 行的所含的数的个数为k， 前 n 行所含的数的总数=1+2+n= 12 a 53 表示的是第 5 行的第三个数， 由每一列数成等差数列， 且第一列是首项为， 公差 d= =的等差数列，第一列的第5 个数=； 又从第三
21、行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，由第三行可知公比 q= =，第 5 行是以为首项，为公比的等比数列，a 53= a mn 表示的是第 m 行的第 n 个数，由可知：第一列的第 m 个数= a mn= 故答案分别为 16已知ABC 的外接圆的圆心为 O，AB=2，AC=3，BC= 【考点】9V：向量在几何中的应用 【 分 析 】 根 据 = ， 将 向 量 的 数 量 积 转 化 为 ： ，则 = ， = =， = ，如图，再根据向量数量积的几何意义即可得到答案 ， = 【解答】解：由于 = 如图，根据向量数量积的几何意义得： =3|AE|+2|AF|=3+21= 故答案为：
22、三、解答题（共三、解答题（共 7070 分）分） 17已知| |=1，| |=2 13 （1）若 与 的夹角为 60，求|2 |； （2）若向量 k + 与 k 互相垂直，求 k 的值 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系 【分析】 （1）由|2 |=，结合已知条件利用向量的数量积公式能求出结果 （2）由向量互相垂直的性质得（k + ）（k ）=0，由此能求出 k 的值 【解答】解： （1）| |=1，| |=2， 与 的夹角为 60， |2 |= = =2 （2）| |=1，| |=2，向量 k + 与 k 互相垂直， （k + ）（k ）= 解得 k=2 18已知函数 f（x）=
23、x2+3x，数列a n的前 n 项和为 Sn，点 （x） 的图象上 （1）求数列a n的通项公式； （2）令，求数列b n的前 n 项和 Tn 均在函数 y=f =k 4=0， 2 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式 【分析】 （1）根据 a n=SnSn1 计算 a n，再验证 n=1 时是否成立即可； （2）利用错位相减法求和 【解答】解： （1）点（n，s n）在 f（x）的图象上， 当 n=1 时，a 1=S1=4， 当 n2 时， 显然 n=1 时，上式也成立， a n=2n+2， =2n+2， ， 14 （2）， ， ， =2+（n+1）=3 ， T n=6 19已知函数
24、f（x）=sin（2x （1）求 f（x）的单调递增区间； （2）在ABC 中，三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 f（A）=，b，a，c 成等 差数列，且=9，求 a 的值 ）+2cos2x1（xR） 【考点】H5：正弦函数的单调性； 8N：数列与三角函数的综合； GL：三角函数中的恒等变换 应用 【分析】 （I）利用两角和差的三角公式化简f（x）的解析式，得到sin（2x+ （2x+）2k + ） ，由 2k ，解出 x 的范围，即得 f（x）的单调递增区间 ，求得A 的值；根据b，a，c 成等差数列以及=9，利（II）在ABC 中，由 用余弦定理求得 a 值 【解答】解：
25、 （I）f（x）= 令 2k （2x+ = ，可得 k ，k + sin2x+cos2x=sin（2x+ xk +，kz ） ）2k + 即 f（x）的单调递增区间为k （II）在ABC 中，由 2A+=或，A= ，kz ）=，2A+2 +，可得 sin（2A+ （或 A=0 舍去） 15 b，a，c 成等差数列可得 2a=b+c， =9，bccosA=9，即 bc=18 由余弦定理可得 a2=b2+c22bccosA=（b+c）23bc=4a254， 求得 a2=18，a=3 20如图，某公司要在 A，B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD，其中 D 为顶端，AC 长 35 米，CB
26、长为 80 米，设 A，B 在同一水平面上，从A 和 B 看 D 的仰角分别为 和 （1）若 =30， =15，求 AD 的长 （2）设计中 CD 是铅垂方向（CD 垂直于 AB） ，若要求 2 ，问 CD 的长至多为多少？ 【考点】HT：三角形中的几何计算 【分析】 （1）先求出ADB=135，由此利用正弦定理能求出AD （2）由，得到 tan tan2 ，由此能求出 CD 的长 【解答】解： （1） =30， =15，ADB=135 （2） = 解得， 米CD 的长至多约为 21已知等差数列a n的各项均为正数，a1=3，a3=7，其前 n 项和为 Sn，bn为等比数列， b 1=2，且
27、b2S2=32 （）求 a n与 bn； （）若+x2+ax+1 对任意正整数 n 和任意 xR 恒成立，求实数 a 的取值 16 范围 【考点】8E：数列的求和 【分析】 （1）直接由已知求得等差数列的公差， 代入等差数列的通项公式求解， 再由 b 2S2=32 求得等比数列的公比，则等比数列的通项公式可求； （2）求出等差数列的前 n 项和，然后由裂项相消法求得 f（x）=x2+ax+1 的最小值大于或等于，由此列式求得 a 的取值范围 【解答】解： （1）设a n的公差为 d， 由 2d=a 3a1=73=4，d=2 a n=3+2（n1）=2n+1 设b n的公比为 q， 则 b 2=
28、2q， 又 S 2=a1+a2=3+5=8， 代入 b 2S2=32，得 16q=32，即 q=2 （2） = = + 2 +，问题等价于 ； ， += =， x2+ax+1 对任意正整数 n 和任意 xR 恒成立，等价于 f（x）=x +ax+1 的最小值大于或等于， 即 22 数列a n的各项均为正数， a1=1， 对任意 nN *， a n+1 21=4a n （a n+1） ， 数列bn满足 b1= ， ，即 a21，解得1a1 17 b n+1= （1）求数列a n，bn的通项公式； （2） 记 T n 为数列b n的前 n 项和， Sn 为数列log（的前 n 项和 f （n） =
29、 2 a n+1） 试问 f（n）是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式 【分析】（1） 由， 得 （a n+1+2an+1） （a n+12an1） =0， an0， 可得 an+1+1=2 ，利用等比数列的通项 ， （a n+1） ，利用等比数列的通项公式即可得出由题意知 公式即可得出 （2）由（1）得 【解答】解： （1）由 得（a n+1+2an+1） （an+12an1）=0， a n0，an+1+2an+10，an+1=2an+1 a n+1+1=2（an+1） ，又 a1+1=20， 由题意知 ， ， ， ， ，即 ， ， ， ，利用错位相减法即可得出T n，利用单调性即可得出 ， （2）由（1）得 又 ， f（n+1）f（n）= 18 当 n3 时，f（n+1）f（n）0， 当 n3 时，f（n+1）f（n）0 又f（1）=1，f（2）=f（3） ， f（n）存在最大值为 19