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1、专题四三角函数与解三角形 第十二讲 解三角形 答案部分 2019 年 1.解析解析 因为 bsinA+acosB=0，所以由正弦定理，可得：sin Asin Bsin AcosB 0， 因为A(0,)，sin A 0，所以可得sin BcosB 0，可得tan B 1， 因为B(0,)，所以B 3 4 2.解析解析因为ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 利用正弦定理将角化为边可得a2b2 4c2 b2c2a2 由余弦定理可得cos A 2bc 1 4 由消去a得cos A b2c2b24c2 2 1 bc4 ， 化简得b 6c，即 b c 6. 故选A 3.解析解析（）由余弦定理b
2、2 a2c22accos B，得 b2 32c223c( 1 2 ) 因为b c2， 所以(c2)2 32c223c( 1 2 ) 解得c 5则b 7 （）由cosB 13 2 ，得sin B 2 由正弦定理得，sin A a b sin B 3 3 14 在ABC中，BC A， 所以sin(B C) sin A sin A 3 3 14 4.4. 解析解析（1）由题设及正弦定理得sin Asin AC sinBsin A 2 因为sin A 0，所以sin AC sinB 2 ACBBBB cos ，故cos 2sincos 22222 由ABC 180，可得sin 因为cos BB1 0，
3、故sin ，因此B 60 222 3 a 4 （2）由题设及（1）知 ABC的面积S ABC sin120C csin A31 由正弦定理得a sinCsinC2tanC2 由于ABC为锐角三角形，故0 A 90，0 C 90，由（1）知AC 120， 所以30 C 90，故 1 33 a 2，从而 S ABC 2 82 33 因此，ABC面积的取值范围是 8 , 2 5.解析解析（）在ABC中，由正弦定理 bc ，得bsinC csin B，又由 sin BsinC 4 a， 3 3csin B 4asinC，得3bsinC 4asinC，即3b 4a.又因为bc 2a，得到b c 2 a.
4、 3 222 416 a2a2a2 a c b1 99 由余弦定理可得cosB . 2 24 2aa 3 2 （）由（）可得sin B 1cos B 15 ， 4 从而sin2B 2sin Bcos B 157 22 ，cos2B cos Bsin B ， 88 故sin2B 153713 5 7 .sin2Bcoscos2Bsin 666828216 a2c2b22(3c)2c2( 2)21 6.解析解析 （1）由余弦定理cosB ，得，即c2. 323cc2ac3 所以c 3 . 3 sin AcosB ， a2b abcosBsin B 由正弦定理，得，所以cosB 2sin B. si
5、n Asin B2bb 4 22 从而cos B (2sin B)，即cos2B 41cos2B，故cos2B . 5 （2）因为 因为sinB 0，所以cosB 2sin B 0，从而cosB 2 5 . 5 因此sinB 2 5 . cosB 25 4 ， 5 7.解析解析：在直角三角形 ABC 中，AB 4，BC 3， AC 5，sinC 在BCD中， BDBC 12 2 ，可得BD ； sinCsinBDC 5 CBD 135oC， sinCBD sin(135oC) 22 4 3 7 2 ，(cosC sinC) 22 5 510 7 2 10 .所以 cosABD cos90oCB
6、D sinCBD 2010-20182010-2018 年年 1A【解析】因为cosC 2cos C13 1 21 ，所以由余弦定理， 255 3 222 得AB AC BC 2ACBCcosC 251251( ) 32， 5 2 所以AB 4 2，故选 A 1a2b2c2 2C【解析】根据题意及三角形的面积公式知 absinC ， 24 a2b2c2 cosC，所以在ABC中，C 故选 C所以sinC 2ab4 3B【解析】由sin Bsin A(sinC cosC)0， 得sin(AC)sin A(sinC cosC) 0， 即sin AcosC cos AsinC sin AsinC s
7、in AcosC 0， 所以sinC(sin Acos A) 0，因为C为三角形的内角，所以sinC 0， 故sin Acos A 0，即tan A 1，所以A 由正弦定理 3 4 ac1 得，sinC ，由C为锐角，所以C ，选 B sin AsinC26 22 4 D 【解析】 由余弦定理， 得4b 22bcos A 5， 整理得3b 8b3 0， 解得b 3 或b （舍去） ，故选 D 5D【解析】设BC边上的高为AD，则BC 3AD，DC 2AD， 所以AC 1 3 AD2 DC25AD由正弦定理，知 ACBC ， sinBsin A 即 3 105AD3AD ，解得sin A ，故选
8、 D 10sin A2 2 22222 6C【解析】由余弦定理得a b c 2bccos A 2b 2b cos A，所以 2b2(1sin A) 2b2(1cos A)，所以sin A cosA，即tan A1，又0 A ， 所以A 4 222 7C【解析】由余弦定理得：a b c 2bccos A， 所以2 b 2 3 2 22 2 2b2 3 3 ， 2 即b 6b8 0，解得：b 2或b 4，因为b c，所以b 2，故选 B 8B【解析】 211 oo ，所以B 45或B 135 ABBCsin B ，sin B 222 当B 45时，AC oAB2BC22ABBCcosB 1， 2，
9、易得A 90o与“钝角三角形”矛盾； 此时AB AC 1,BC 当B 135时，AC oAB2BC22ABBCcosB 5 1 2 9A【解析】因为A BC ，由sin2Asin(ABC) sin(C AB) 得sin2Asin2Bsin2C 1 ， 2 1 ， 2 即sin(A B)(AB)sin(A B)(AB)sin2C 整理得sin Asin BsinC 又S 1 ， 8 111 absinC bcsin Aacsin B， 222 1 222 1 2223 因此S a b c sin Asin BsinC a b c，由1S 2 864 1 222 得1a b c 23， 64 即8
10、abc16 2，因此选项 C、D 不一定成立又bc a 0， 因此bc(bc) bca8，即bc(bc) 8，选项 A 一定成立又ab c 0， 因此ab(ab) 8，显然不能得出ab(a b) 16 2，选项B 不一定成立综上所述， 选 A 222 10C【解析】由c (ab) 6可得a b c 2ab6，由余弦定理及C 22 3 222 可得a b c ab所以由得ab 6，所以SABC 13 3 absin 232 ooo 11C【解析】tan15 tan(60 45 ) 2 3， oo BC 60tan60 60tan15 120( 3 1) 1 ，由余弦定理解得b 5 5 11 13
11、A【解析】边换角后约去sin B，得sin(AC) ，所以sin B ，但 B 非最大角， 22 12D【解析】25cos A1 0，cos A 2 所以B 6 14C【解析】由余弦定理可得AC 5，再由正弦定理得sin A 3 10 10 15B【解析】bcosC ccosB asin A，由正弦定理得sinBcosC sinCcosB sin2A， sin(B C) sin2A，sin A sin2A,sin A1，ABC 是直角三角形 16B【解析】由正弦定理得： BCAC3 2AC AC 2 3 sin Asin Bsin60sin45 22 17D【解析】由正弦定理，得sin Asi
12、n Bsin Bcos A 22 即sin B(sin Acos A) 2sin A， 2sin A，sin B 2sin A， bsin B 2 asin A 18D【解析】设AB c，则AD c，BD 2c4c ，BC ，在ABD中，由余弦定 33 4 c2c2c2 3 1 ，则sin A 2 2 ，在ABC中，理得cos A 32c23 4c cBC6 3 ，解得sinC 由正弦定理得 6sinCsin A2 2 3 19A【解析】因为C 120，c 222 o2a ， 222 所以c a b 2abcosC，2a a b 2ab( ) 1 2 ab 0,a b ab ab 因为a 0,
13、b 0，所以ab 0，所以a b故选 A ab 所以a b ab,ab 22 20 2 3 【解析】由bsinC csinB 4asinBsinC得， 3 sinBsinC sinCsinB 4sin AsinBsinC， 因为sinBsinC 0，所以sin A 1 ， 2 b2c2a23 因为b c a 8，cos A 0，所以cos A 2bc2 222 所以bc 8 3 ， 3 118 312 3 bcsin A 22323 所以S ABC 21 21 o ；3【解析】因为a 7，b 2，A 60 ，所以由正弦定理得 7 sin B bsin A a 2 3 2 21 由余弦定理a2
14、b2c22bccos A可得 77 c22c3 0，所以c 3 2260 (2,)【解析】ABC的面积 S 13 22 3 acsin B (a c b2) 2accosB， 244 ooo 所以tan B 3，因为0 A180 ，所以B 60 因为C为钝角，所以0 A 30，所以0 tan A oo 3 ， 3 所以 故 csinC asin A sin( 222 A)sincos Acossin A 31 333 2， sin Asin A2tan A2 c 的取值范围为(2,) a 239【解析】因为ABC 120，ABC的平分线交AC于点D， 所以ABD CBD 60， o 111 a
15、csin120oasin60ocsin60o， 222 11 化简得acac，又a 0，c 0，所以 1， ac 由三角形的面积公式可得 则4ac (4ac)( ) 5 1 a 1 c c4ac 4a 52 9， acac 当且仅当c 2a时取等号，故4ac的最小值为 9 24 【解析】由正弦定理得2sin BcosB sin AcosC sinCcos A 3 即2sin BcosB sin(AC)， 所以cosB 1 ，又B为三角形内角，所以B 23 2575【解析】由正弦定理 bsinCbc ，即sinB csin BsinC 6 3 2 2 ， 32 结合bc可得B 45o，则A 18
16、0o B C 75o 26 1510 ,【解析】由余弦定理可得， 24 AB2 BC2 AC24222421 cosABC ， 2 ABBC2424 由sin ABC cos ABC 1 所以sinABC 1cos ABC 1 2 22 115 ， 164 S BDC 1 BDBCsinDBC 2 11 BDBCsin(ABC) BDBCsinABC 22 11515 22 242 A B C D 因为BD BC，所以D BCD，所以ABC DBCD 2D， cosBDC cos ABC1cosABC 22 1 1 4 10 24 27 21 45 【解析】cosA，cosC ， 13513
17、所以sin A 312 ，sinC ， 513 63 ， 65 所以sinB sinAC sin AcosC cos AsinC 由正弦定理得： ba21 解得b sinBsin A13 28 2ab36 【解析】由正弦定理，得，即，所以sin B ， 2sin Asin B4 3sin B 2 所以B 4 294【解析】由3sin A= 2sin B及正弦定理知：3a = 2b，又因为a = 2，所以b = 3； 由余弦定理得：c a b 2abcosC 49223() 16，所以c = 4 302【解析】由正弦定理可知： 222 1 4 6ACABAC AC 2 sin60sin45sin
18、180 (75 45 )sin45 317【解析】由已知得ABC的面积为 1 AB ACsin A 20sin A10 3，所以 2 sin A 3 ，A(0,)，所以A由余弦定理得 223 BC2 AB2 AC22AB ACcos A 49，BC 7 32( 6 2,6 2) 【解析】如图作PBC，使B C 75，BC = 2，作出直线AD分别交线段PB、 o ，且使BAD 75，则四边形ABCD就是符合PC于A、D两点（不与端点重合） o 题意的四边形，过C作AD的平行线交PB于点Q，在PBC中，可求得 BP 6 2 ，在QBC中，可求得BQ 6 2，所以AB的取值范 围为 ( 6 2,6
19、 2) P P A A Q Q B B D D C C 2 338 【解析】因为0 A，所以sin A 1cos A 15 ， 4 又SABC 115 bcsin A bc 3 15，bc 24， 28 解方程组 bc 2 ，得b 6，c 4，由余弦定理得 bc 24 1 a2 b2 c22bccos A 62 42264 64，所以a 8 4 34100 6【解析】依题意，BAC 30，ABC 105，在ABC中， 由ABC BAC ACB 180， 所以ACB 45，因为AB600，由正弦定理可得 600BC ， sin45sin30 即BC 300 2m，在RtBCD中，因为CBD 30
20、，BC 300 2， 所以tan30 CDCD ，所以CD 100 6m BC300 2 35150【解析】在三角形ABC中，AC 100 2，在三角形MAC中， 解得MA 100 3，在三角形MNA中， MAAC ， sin60osin45o MN3 ，故MN 150sin60o 2100 3 362【解析】 由bcosC ccosB 2b得：sin BcosC sinCcosB 2sin B， 即sin(BC) 2sin B，sin A 2sin B，a 2b，故 37 a 2 b 2 【解析】3sin A5sin B， 3 2 a2b2c212 3a 5b,b c 2a cosC C ，
21、所以 2ab233 38 3【解析】sinBAC sin(BAD 2 ) cosBAD 2 2 3 AB2 AD2 BD2 根据余弦定理可得cosBAD 2AB AD 2 2(3 2)232BD2 BD 3 323 23 a2b2c22abab1 C 39【解析】ab c cosC 2ab2ab23 2 a2b2c24(a2b2)(ab)21 C ab 2c cosC 2ab8ab23 当C 2 时，c a b c a cb c a b与a b c矛盾 22232233333 取a b 2,c 1满足(ab)c 2ab得：C 22222 2 取a b 2,c 1满足(a b )c 2a b得：
22、C 3 404【解析】根据余弦定理可得b2 4(7b)222(7b)()，解得 b=4 412 7【解析】在ABC中，根据 1 4 ABACBC ， sinCsin Bsin A 得AB AC sinC sinB 3 sinC 2sin C，同理BC 2sin A， 3 2 2 C) 3 因此AB2BC 2sin C 4sin A 2sin C 4sin( 4sin C 2 3cosC 2 7 sin(C ) 42 AB535 315 3ABAC sin B 【解析】根据得sinC ， AC72144sinCsin B cosC 1(5 3 2 11 ) ， 1414 所以sin A sin(
23、BC) sin BcosC cosBsinC = 31115 33 3 21421414 434【解析】 （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B 和边 a、b 具有轮换性 当 A=B 或 a=b 时满足题意，此时有：cosC 1C1cosC1 ，tan2， 321cosC2 tanCtanC = 4 tan Atan B tan C2 ，tan A tan B 22 1 tan C 2 2， （方法二）（方法二） ba 6cos C 6abcosC a2b2， ab a2b2c23c2 22226aba b ,a b 2ab2 tanCtanCsinC cosBsin Asin Bcos
24、 AsinC sin(A B) tan AtanBcosCsin Asin BcosC sin Asin B 1sin2C cosC sin Asin B 1c2c2c2 由正弦定理，得：上式= 4 cosC ab 1 (a2b2) 1 3c2 6 62 44 【解析】 由sin BcosB 2得12sin BcosB 2，即sin2B 1， 6 因0 2B ，所以2B ,B .又因为a 2,b 2, 24 由正弦定理得 22 ， sin A sin 4 1 ，而a b,则0 A B ,故a 246 ab 45 【解析】(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin A asinB， sin As
25、in B 又由bsin A acos(B )，得asin B acos(B)， 66 即sin B cos(B )，可得tan B 3 6 解得sin A 又因为B(0，)，可得B 3 (2)在ABC中，由余弦定理及a 2，c 3，B 3 ， 有b a c 2accosB 7，故b 由bsin A acos(B)，可得sin A 2227 6 23 因为a c，故cos A 77 因此sin2A 2sin AcosA 1 4 3 2 ，cos2A 2cos A1 77 4 31133 3 727214 所以，sin(2A B) sin2AcosBcos2Asin B 46 【解析】 （）由as
26、in A 4bsinB，及 222 由ac 5(a b c )， ab ，得a 2b sin Asin B 及余弦定理，得cos A b c a 2bc 222 5 ac 5 5 ac5 （）由（） ，可得sin A 2 5 ，代入asin A 4bsinB， 5 得sin B asin A5 4b5 2 由（）知，A 为钝角，所以cosB 1sin B 于是sin2B 2sin BcosB 2 5 5 43 ，cos2B 12sin2B ， 55 4532 52 5 () 55555 故sin(2B A) sin 2Bcos Acos2Bsin A uuu r uuu r 47 【解析】因为
27、ABAC 6， 所以bccosA 6， 又 S ABC 3， 所以bcsin A 6， 因此tanA 1，又0 A， 所以A 3 ， 4 又b3，所以c 2 2， 由余弦定理a2 b2c22bccos A， 得a 98232 2( 所以a 2 2 ) 29， 2 29 48 【解析】()S ABD 1 AB ADsinBAD 2 S ADC 1 ACADsinCAD 2 因为SABD 2SADC，BAD CAD，所以AB 2AC 由正弦定理可得 sinBAC1 sinCAB2 2在ABD和ADC中， ()因为SABD:SADC BD:DC，所以BD 222 由余弦定理得AB AD BD 2AD
28、BDcosADB， AC2 AD2 DC22ADDCcosADC AB22AC2 3AD2 BD22DC2 6由()知AB 2AC，所以AC 1 49 【解析】 （）由题设及正弦定理可得b 2ac 又a b，可得b 2c，a 2c， 2 a2c2b21 由余弦定理可得cosB 2ac4 （）由（）知b 2ac 因为B 90，由勾股定理得a c b 故a c 2ac，得c a 所以ABC的面积为 1 50 【解析】 （I）在ABC中，由题意知sin A 1cos A 2 2 o222 222 3 ， 3 又因为B A 2 ，所有sin B sin(A 2 ) cos A 6 ， 3 由正弦定理可
29、得b asin B sin A 3 6 3 3 2 3 3 （II）由B A 2 得，cosB cos(A 2 ) sin A 3 ， 3 由A BC ，得C (A B) 所以sinC sin(A B) sin(A B)sin AcosBcos AsinB 33661 () 33333 1113 2 absinC 33 2 2232 因此，ABC的面积S 51 【解析】 ： （）A 2B，sin Asin2B 2sin BcosB， a2c2b2 由正弦定理得a 2b 2ac b 3, c 1，a212, a 2 3 b2c2a291121 ，（）由余弦定理得cos A 2bc63 由于0 A
30、，sin A 1cos A 1( ) 2 1 3 2 2 2 ， 3 故sin(A 4 ) sin Acos 4 cos Asin o 4 2 221242 ( ) 32326 52 【解析】 （）由已知得，PBC=60，PBA=30o，在PBA 中，由余弦定理得 7117 ；PA2=3 2 3cos30o= ，PA= 2424 （）设PBA=，由已知得，PB=sin，在PBA 中，由正弦定理得， 3sin ，化简得， 3cos 4sin， sin150osin(30o) tan = 33 ，tanPBA= 44 53 【解析】 （）因为a bcosC csinB，所以由正弦定理得： sin
31、AsinBcosC sinCsinB， 所以sin(BC) sin BcosC sinCsin B， 即cosBsinC sinCsin B，因为sinC0，所以tanB 1，解得 B= （）由余弦定理得：b a c 2accos 222 ； 4 4 ，即4 a c 2ac，由不等式得： 22 a2c2 2ac，当且仅当a c时，取等号，所以4 (2 2)ac， 解得ac 42 2，所以ABC 的面积为 21 (42 2)=2 1，acsin 424 所以ABC面积的最大值为 2 1 54 【解析】 （）AC B, A,B(0,) sin(AC) sin B 0 2sin Bcos A sin
32、 AcosC cos AsinC sin(AC) sin B cos A 1 A 23 （II）a2 b2c22bccos A a 3 b2 a2c2 B 2 在RtABD中，AD AB2 BD212( 3 2 7 ) 22 55 【解析】 （1）由正弦定理得： acosC 3asinC bc 0 sin AcosC 3sin AsinC sin B sinC sin AcosC 3sin AsinC sin(aC)sinC 3sin Acos A1 sin(A30) A30 30 A 60 （2）S 1 2 1 bcsin A 3 bc 4 2 a2 b2c22bccos A bc 4，解得
33、：b c 2 56 【解析】 （I）由正弦定理，设 abc k, sin Asin BsinC 2ca2ksinC ksin A2sin C sin A , bksin Bsin B cos A2cos C2sin C sin A 所以. cosBsin B 则 即(cos A2cos C)sin B (2sin C sin A)cos B， 化简可得sin(A B) 2sin(BC).又A BC ， 所以sinC 2sin A，因此 （II）由 sinC 2. sin A sinC 2得c 2a. sin A 222 由余弦定理b a c 2accosB及cosB 解得a 1因此c 2 又因
34、为cosB 11 ,b 2,得4=a24a24a2. 44 151 .,且0 B .所以sin B 44 因此S 111515 acsin B 12. 2244 57 【解析】由1 2cos(B C) 0和B C A，得 1 2cos A 0,cos A 13 ,sin A . 22 bsin A2 . a2 再由正弦定理，得sin B 由b a知B A,所以B不是最大角,B 2 ,从而cosB 1sin B 2 . 2 由上述结果知sinC sin(A B) 231 (). 222 3 1. 2 设边 BC 上的高为h，则有h bsinC 58 【解析】由题意知AB=5 3 3 海里， DB
35、A 9060 30,DAB 45, ADB 105 在DAB中，由正弦定理得 DBAB sinDABsinADB DB ABsinDAB5(33)sin455(33) sin45 sinADBsin105sin45 cos60sin60 cos45 = 5 3(13) ，10 3（海里） (13) 2 又DBC DBAABC 30(9060) 60,BC 20 3海里， 在DBC中，由余弦定理得 CD2 BD2 BC22BDBCcosDBC 1 900 2 30 ，则需要的时间t 1（小时）CD 30（海里） 30 =3001200210 320 3 答：救援船到达D点需要 1 小时 59 【
36、解析】 （1） HHhH tan AD ，同理：AB ，BD ADtantantan HHh ， tantantan ADAB=DB，故得 解得H htan41.24 124 tantan1.241.20 因此，算出的电视塔的高度H是 124m （2）由题设知d AB，得tan HHhH h ，,tan dADDBd HH h tantanhdh d tan() d 2 HH hH(H h) 1tantan 1 d H(H h) d ddd H(H h) （当且仅当d H(Hh) 12512155 5时，d 2 H(H h)， d 取等号）故当d 55 5时，tan()最大 因为0 2 ，则0 2 ，所以当d 55 5时，-最大 故所求的d是55 5m