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1、专题提升五专题提升五与圆有关的辅助线与圆有关的辅助线 一、选择题 1在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽AB 为 6 dm.如果再注入一些油 后，油面 AB 上升 1 dm，油面宽为 8 dm，那么圆柱形油槽的直径 MN 为(C C) A6 dmB8 dm C10 dmD12 dm (第 1 题) (第 1 题解) 【解析】如解图，设 AB 上升 1 dm 后的油面为 PQ，过点 O 作 OCAB 于点 C，交 PQ 于点 D，连结 OP，OA， 则可得 AC3，PD4，CD1. 设 OMR. OCODCD， R232 R2421，解得 R5. MN10 dm. (第 2 题) 1
2、2如图，点C，D 是以 AB 为直径的半圆的三等分点，CD的长为 ，则图中阴影部分 3 的面积为(A A) 13 A. B. 616 111 C.D.3 24124 【解析】点 C，D 三等分半圆， CD的度数为 60， 60R 1 ， 1803 R1. 连结 OC，OD，CD，则OCD 为正三角形，且 CDAB， SACDSOCD. 11 S 阴影S扇形OCD R2 .66 (第 3 题) 3如图，在等腰RtABC 中，ACBC2 2，点P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC 的中点当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长是(B B) A. 2B C2 2D
3、2 【解析】取 AB 的中点 O，连结 OC，取 CO 的中点 E，连结 OP，ME. M 为 PC 的中点， 11 ME PO AB. 24 ACBC2 2，ACB90， AB4，ME1. 1 易知点 M 的运动轨迹是以点 E 为圆心，1 为半径的半圆，运动的路径长为 21 2 . (第 4 题) 4如图，以等边三角形ABC 的 BC 边为直径画半圆，圆心为O，分别交AB，AC 于点 E， D， DF 是圆的切线， 过点 F 作 BC 的垂线交 BC 于点 G.若 AF 的长为 2， 则 FG 的长为(B B) A4B3 3 C6D2 3 【解析】连结 OD. DF 为O 的切线，ODDF.
4、 ABC 为等边三角形， ABBCAC，ABC60. ODOC，OCD 为等边三角形，ODAB. DFAB.ADF30. 又O 为 BC 的中点， D 为 AC 的中点，即 OD 为ABC 的中位线 在 RtAFD 中，ADF30，AF2，AD4， ABAC8，FBABAF826. 在 RtBFG 中，BFG30， BG3，FG3 3. 二、填空题 5如图，半径为1 的半圆形纸片，按如图所示的方式折叠，使对折后半圆弧的中点M 与圆心 O 重合，则图中阴影部分的面积是 3 26 (第 5 题)(第 5 题解) 【解析】如解图，连结 OM 交 AB 于点 C，连结 OA，OB. 1 由题意知，OM
5、AB，且 OCMC . 2 1 在 RtAOC 中，OA1，OC ， 2 OC13 cosAOC ，AC OA2OC2， OA22 AOC60，AB2AC 3， AOB2AOC120， S 弓形ABMS扇形OABSAOB 12012113 3 ， 3602234 S 阴影S半圆2S弓形ABM 133 122 . 23426 6如图，正方形 ABCD 内接于O，其边长为 4，则O 的内接正三角形 EFG 的边长 为_2 6_ (第 6 题)(第 6 题解) 【解析】如解图，连结 AC，OE，OF，过点 O 作 OMEF 于点 M. 四边形 ABCD 是正方形， ABBC4，ABC90， AC 是
6、O 的直径，AC4 2， OEOF2 2. OMEF，EMMF. EFG 是等边三角形，GEF60. 1 在 RtOME 中，OE2 2，OEM GEF30，OM 2，EM 6， 2 EF2 6. (第 7 题) 7如图，直线 AB 与O 相切于点 A，弦 CDAB，E，F 为圆上的两点，且CDE 5 ADF.若O 的半径为 ，CD4，则弦 EF 的长为 2 2 5 5 2 【解析】连结 AO 并延长，交 CD 于点 H，连结 OC. 直线 AB 与O 相切于点 A，OAAB. 弦 CDAB，AHCD， 11 CH CD 42. 22 5 OAOC ， 2 OH OC2CH2 5 223， 2
7、 2 2 53 AHOAOH 4， 22 AC AH2CH2 42222 5. CDEADF，CEAF， CECFAFCF，即EFAC，EFAC2 5. 三、解答题 (第 8 题) 8如图，CD 是O 的直径，以点 D 为圆心，DO 长为半径作弧，交O 于点 A，B. 求证：ACBCAB. 【解析】连结 AO，BO，AD，BD，则 AOBODOADBD， AOD 与BOD 均为等边三角形， AODBOD60， AOCBOCAOB120， ACBCAB. (第 9 题) 9如图，O 是ABC 的内切圆，O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F， DEF45.连结 BO 并延长，交 AC
8、 于点 G，AB4，AG2. (1)求A 的度数 (2)求O 的半径 【解析】(1)连结 OD，OF. O 是ABC 的内切圆，ODAB，OFAC. DOF2DEF24590， ODAOFADOF90， 四边形 ADOF 是矩形，A90. (2)设O 的半径为 r，由(1)知四边形 ADOF 是矩形， 又ODOF，矩形 ADOF 是正方形 DADOr，ODAC.BODBGA. DO BDr4r4 ，即 ，解得 r . AGBA243 (第 10 题) 10如图，已知O 的半径为 2，弦 AB 的长为 2 3，点 C 与点 D 分别是劣弧AB与优弧 ADB上的任意一点(点 C，D 均不与点 A，
9、B 重合) (1)求ACB 的度数 (2)求ABD 的最大面积 【解析】(1)连结 OA，OB，过点 O 作 OEAB 于点 E. OAOB，AEBE. 1 在 RtAOE 中，OA2，AE AB 3， 2 OE OA2AE21，OAE30， AOE60，AOB2AOE120. 1 ADB AOB，ADB60. 2 四边形 ACBD 为圆内接四边形， ACBADB180， ACB180ADB120. (2)过点 D 作 DFAB，垂足为 F， 1 则 SABD 2 3DF. 2 显然，当 DF 经过圆心 O 时，DF 取得最大值，从而 SABD取得最大值，此时 DFDO OE213， 1 SA
10、BD 2 3333， 2 ABD 的最大面积是 33. 11如图，在RtABC 中，ABC90，AC 的垂直平分线分别与AC，BC 及 AB 的延 长线相交于点 D，E，F.O 是BEF 的外接圆，EBF 的平分线交 EF 于点 G，交O 于 点 H，连结 BD，FH. (1)试判断 BD 与O 的位置关系，并说明理由 (2)当 ABBE1 时，求O 的面积 (3)在(2)的条件下，求 GHBH 的值 (第 11 题)(第 11 题解) 【解析】(1)直线 BD 与O 相切理由如下： 如解图，连结 OB. BD 是 RtABC 斜边上的中线， DBDC.DBCC. OBOE， OBEOEBCE
11、D. CCED90， DBCOBE90，即OBD90. 又OB 是O 的半径，BD 与O 相切 (2)如解图，连结 AE.ABBE1，AE 2. DF 垂直平分 AC，CEAE 2.BC1 2. CCAB90，DFACAB90， CDFA. 又CBAFBE90，ABEB， CABFEB(AAS)BFBC1 2. EF2BE2BF212(1 2)242 2. 2 21 SO EF2. 42 (3)ABEB，ABE90，AEB45. EAEC，C22.5. HBEGCED9022.567.5. BH 平分CBF，EBGHBF45. BGEBFH67.5. BGBE1，BHBF1 2. GHBHBG
12、 2. GHBH 2(1 2)2 2. 12已知在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点分别为 O(0，0)，A(5，0)，B(m， 2)，C(m5，2) (1)问：是否存在这样的m，使得在边BC 上总存在点 P，使OPA90？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 (2)当AOC 与OAB 的平分线的交点 Q 在边 BC 上时，求 m 的值 【解析】(1)存在 点 O(0，0)，A(5，0)，B(m，2)，C(m5，2)， BCOA5，BCOA. 如解图， 以 OA 为直径作D， 与直线 BC 分别交于点 E， F， 则OEAOFA90. （第12题解） 1 过点 D 作 DG
13、EF 于点 G，连结 DE，则 DEOD OA2.5，DG2，EGGF. 2 EG DE2DG21.5.点 E(1，2)，F(4，2) . m54， 当即 1m9 时，边 BC 上总存在这样的点 P，使OPA90. m1， (2)BCOA5，BCOA， 四边形 OABC 是平行四边形，OCAB， AOCOAB180. OQ 平分AOC，AQ 平分OAB， 11 AOQ AOC，OAQ OAB. 22 AOQOAQ90，AQO90. 如解图， 以 OA 为直径作D， 与直线 BC 分别交于点 E， F， 则OEAOFA90， 点 Q 只能是点 E 或点 F. （第12题解） 当点 Q 在点 F 处时，OF，AF 分别是AOC 与OAB 的平分线，BCOA， CFOFOAFOC，BFAFAOFAB，CFOC，BFAB. 又OCAB，CFBF，即 F 是 BC 的中点 点 F 的坐标为(4，2)， mm58，m6.5. 当点 Q 在点 E 处时，同理可求得此时m 的值为 3.5. 综上所述，m 的值为 6.5 或 3.5.