全国III卷文科数学高考真题.pdf

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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1已知集合A 1,0,1,2，B x x 1，则AI B A1,0,1 2若z(1i) 2i，则 z= A1i B1+i C1i D1+i B0

2、,1 C1,1 D0,1,2 2 3两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 4西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著 . 某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 位学生，其中阅读过西游记或红楼 梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的 学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A0.5B0.6C0.7D0.8 5函数f (x) 2sinxsin2x在0，2的零点个数为 A2B3C4D5 6已知

3、各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3= A16B8C4D2 7已知曲线y aex xln x在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则 Aa=e，b=1Ba=e，b=1Ca=e1，b=1Da=e1，b 1 8如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中 点，则 ABM=EN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBM=EN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 9执行下边的程序框图，如果输入的为0

4、.01，则输出s的值等于 A.2 1 24 B.2 1 25 C.2 1 26 D.2 1 27 x2y2 10 已知 F 是双曲线 C：1的一个焦点， 点 P 在 C 上， O 为坐标原点， 若 OP = OF ， 则OPF 45 的面积为 A 3 2 B 5 2 C 7 2 D 9 2 11 记 不 等 式 组 x y 6, 表 示 的 平 面 区 域 为 D 命 题p:(x, y)D,2 x y 9； 命 题 2x y 0 q:(x, y)D,2 x y 12下面给出了四个命题 p qpqpqpq 这四个命题中，所有真命题的编号是 ABCD 12设f x是定义域为 R R 的偶函数，且在

5、0,单调递减，则 1 2Af（log3）f（2）f（23） 4 1 Bf（log3）f（23）f（22） 4 3 2 2 3 23 32 Cf（2）f（2）f（log3 1 ） 4 1 ） 4 Df（2 2 3）f（2 3 2）f（log3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量a a (2,2), b b (8,6)，则cos a a,b b _. 14记 Sn为等差数列an的前 n 项和，若a3 5,a713，则S10_. x2y2 +1的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限若MF 1F2 为等腰三角形，15设F 1 ，F 2 为椭圆 C: 3620

6、 则 M 的坐标为_. 16学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCD A 1B1C1D1 挖去四 棱锥 O EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心， E，F，G，H 分别为所在棱的中点， AB= BC = 6 cm，AA 1 = 4 cm，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所 需原料的质量为_g. 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分） 为了解甲

7、、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200只小鼠随机分成A，B两组，每组 100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔 浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别 得到如下直方图： 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70 （1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 18（12 分） ABC的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c已知asin A

8、C bsin A 2 （1）求 B； （2）若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围 19（12 分） 图 1 是由矩形 ADEB，RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2， FBC=60将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2 （1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE； （2）求图 2 中的四边形 ACGD 的面积. 20 （12 分） 已知函数f (x) 2x ax 2 32 （1）讨论 f (x)的单调性； （2）当0a3时，记f (x)在区间0，1的最大值为

9、M，最小值为m，求M m的取值范围 21（12 分） 1x2 已知曲线 C：y=，D 为直线 y=上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为A，B 22 （1）证明：直线 AB 过定点： （2）若以 E(0， 5 )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程 2 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 如图，在极坐标系 Ox 中，A(2,0)，B( 2, )，C( 2, 4 ，CD 所在圆 )，D(2,)，弧 AB，BC 4 ，曲线M 3 是弧CD .的

10、圆心分别是(1,0)，(1, )，(1,)，曲线M1是弧 AB，曲线M2是弧BC （1）分别写出M1，M 2 ，M 3 的极坐标方程； （2）曲线M由M1，M 2 ，M 3 构成，若点P在 M 上，且|OP | 2 3，求 P 的极坐标. 23选修 45：不等式选讲（10 分） 设x, y,zR，且x y z 1 222 （1）求(x1) (y 1) (z 1)的最小值； （2）若(x2) (y 1) (z a) 222 1 成立，证明：a3或a1. 3 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案 一、选择题 1A2D3D4C5B6C7D8B9C10B11A12 C 二、填空题

11、 13 2 10 1410015(3, 15)16118.8 三、解答题 17解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35 b=10.050.150.70=0.10 （2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00 18解：（1）由题设及正弦定理得sin Asin AC sinBsin A 2 因为sinA0，所以sin AC sinB 2 ACBBBB cos ，故cos 2sin

12、cos 22222 由ABC 180，可得sin 因为cos BB1 0，故sin ，因此B=60 222 3 a 4 （2）由题设及（1）知ABC的面积SABC csin A sin120 C 31 由正弦定理得a sinCsinC2tanC2 由于ABC为锐角三角形， 故0A90， 0C90.由 （1） 知A+C=120， 所以30C0，则当x(,0) U a a (,0), ,单调递增，在0, 单调递减； 3 3 若 a=0，f (x)在(,)单调递增； 若 a0，则当x, a a U (0,)x 时，；当f (x) 0 ,0 时，f (x) 0故f (x)在 3 3 a a ,(0,

13、)单调递增，在 ,0 单调递减 3 3 （2）当0 a 3时，由（1）知，f (x)在0, a a 单调递减，在 ,1单调递增，所以f (x)在0,1 3 3 a3 a 2，最大值为f (0)=2或f (1)=4a.于是 的最小值为f 327 4a,0 a 2,a3 m 2，M 27 2,2 a 3. a3 2a,0 a 2, 27 所以M m 3 a ,2 a 3. 27 a3 8 ,2 当0 a 2时，可知2a单调递减，所以M m的取值范围是 27 27 a38 当2 a 3时，单调递增，所以M m的取值范围是,1) 2727 综上，M m的取值范围是 21解：（1）设Dt, 8 ,2)

14、27 1 , 2 Ax 1, y1 ，则x 1 2 2y 1 1 2 x 由于y x，所以切线DA的斜率为x1，故 1 x 1 t y 1 整理得2 tx 1 2 y 1 +1=0. 设Bx2,y2，同理可得2tx22 y2+1=0 故直线AB的方程为2tx2y 1 0 所以直线AB过定点(0, ) （2）由（1）得直线AB的方程为y tx 1 2 1 2 1 y tx 2 2x 2tx 1 0 由，可得 2 y x 2 于是x 1 x 2 2t, y 1 y 2 tx 1 x 2 1 2t 1. 2 设M为线段AB的中点，则Mt,t 2 1 2 uuuu ruuu ruuu ruuuu r

15、2 由于EM AB， 而EM t,t 2，AB与向量(1, t)平行， 所以t t22t 0 解得t=0或t 1 2uuuu r 5 当t=0时，| EM |=2，所求圆的方程为x2y 4； 2 2uuuu r 5 2 当t 1时，| EM | 2，所求圆的方程为x y 2 2 ,CD 所在圆的极坐标方程分别为 2cos，22 解：（1） 由题设可得， 弧 2sin， 2cos.AB,BC 所以M1的极坐标方程为 2cos0 3 M 2sin ，的极坐标方程为 2 ， 444 3 M 3 的极坐标方程为 2cos . 4 （2）设P(,)，由题设及（1）知 ，则2cos 3，解得 ； 46 3

16、2 若，则2sin 3，解得 或； 4433 35 若 ，则2cos 3，解得 46 若0 综上，P的极坐标为3, 2 5 3,3,3, 或或或 . 6 6 3 3 23解：（1）由于(x1)(y 1)(z 1)2 (x1)2(y 1)2(z 1)22(x1)(y 1)(y1)(z 1)(z 1)(x1) 222 3 (x1) (y1) (z 1) ， 故由已知得(x1) (y 1) (z 1) 当且仅当x= 222 4 ， 3 151 ，y ，z 时等号成立 333 4 222 所以(x1) (y 1) (z 1)的最小值为 3 （2）由于 (x2)(y 1)(z a)2 (x2)2(y 1)2(z a)22(x2)(y 1)(y 1)(z a)(z a)(x2) 222 3(x2) (y1) (z a) ， (2a)2 故由已知得(x2) (y1) (z a) ， 3 222 当且仅当x 2 4a1a2a2 ，y ，z 时等号成立 333 22 (2a)2 因此(x2) (y 1) (z a)的最小值为 3 (2a)21 由题设知，解得a3或a1 33