北京市东城区高三数学期末试题及答案.pdf.pdf

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1、北京新东方中小学全科教育出品 20202020 年北京市东城区高三数学期末考试试卷年北京市东城区高三数学期末考试试卷 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共40分）分） 一、选择题共一、选择题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。题目要求的一项。 1. 已知集合A x| x 1,B x|(x 2)(x 1) 0,那么A A. x|1 x 2 C. x|1 x 2 B. x|1 x 1 D. x|1 x 1 B 2. 复数z i(i 1)在复平面内对应的点位于 A. 第一

2、象限 C. 第三象限 B. 第二象限 D. 第四象限 3. 下列函数中,是偶函数,且在区间(0,)上单调递增的为 A.y C.y 2x 1 x B.y ln| x| D.y 1| x| 4. 设a,b为实数,则“a b0”是“a b”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5. 设,是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列结论中正确的是 A.若m,mn,则n / C.若n /,mn,则m B.若,m,n,则mn D.若 /,m ,n,则m / n 1 北京新东方中小学全科教育出品 6. 从数字 1,2,3,4,5 中,取出 3 个数字

3、（允许重复）,组成三位数,各位数字之和等于 6,这 样的三位数的个数为 A.7 C.10 B.9 D.13 7. 设A,B是三角形的两个内角,下列结论中正确的是 A. 若A B ,则sin Asin B 2 2 B. 若A B,则cosAcosB 2 2 A B C. 若,则sin AsinB 1 2 D. 若A B ,则cosAcosB 1 2 8. 用平面截圆柱面， 当圆柱的轴与所成角为锐角时， 圆柱面的截线是一个椭圆.著 名数学家 Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论 .如图所 示， 将两个大小相同的球嵌入圆柱内， 使它们分别位于的上 方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三

4、个结论： 两个球与 的切点是所得椭圆的两个焦点； 若球心距O 1O2 4，球的半径为 3，则所得椭圆的焦距为 2； 当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是 A. B. C. 2 D. 北京新东方中小学全科教育出品 二、填空题共二、填空题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分。分。 x2x2y2 29. 若双曲线 y 1与1有相同的焦点，则实数 m _ . m32 10已知an是各项均为正的等比数列，S n 为其前n项和，若a 1 6，a 2 2a 3 6，则公比 q _ ，S 4 =_ . 11. 能说明“直线

5、x ym0与圆x2 y2 4x2y 0有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为_. 12. 在平行四边形ABCD中,已知AB AC AC AD,| AC | 4,| BD| 2， 则四边形ABCD 的面积是_. 13. 已知函数f (x) 2sin(x )( 0),曲线y f (x)与直线y 3相交,若存在相邻两 个交点间的距离为,则的所有可能值为_. 6 14. 将初始温度为 0的物体放在室温恒定为 30的实验室里，现等时间间隔测量物 体温度，将第n次测量得到的物体温度记为 t n ，设t10.已知物体温度的变化与实验 室和物体温度差成正比（比例系数为 k ）.给出以下几个模型，那么能够描

6、述这些测量 数据的一个合理模型为_； （填写模型对应的序号） t n1 t n k ；t n1 t n k(30t n )； t n1 k(30t n ). 30t n 在上述模型下，设物体温度从5上升到10所需时间为amin，从10上升到15 所需时间为bmin，从15上升到20所需时间为cmin，那么与 的大小关系是 _ . （用“ a b b c ”，“ ”或“ ”填空） 3 北京新东方中小学全科教育出品 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110110 分）分） 三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出文字说明，演练步骤或证明过程。分。解答应

7、写出文字说明，演练步骤或证明过程。 15.（本小题 13 分） 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知csin A 3acosC 0. （）求C的大小; （）若b2,c 2 3，求ABC的面积. 16 （本小题 13 分） 2019年6月,国内的5G运营牌照开始发放,从2G到5G,我国的移动通信业务用了不 到20年的时间,完成了技术上的飞跃 ,跻身世界先进水平 .为了解高校学生对5G的消费 意愿,2019年8月,从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查,样本各类用户分布 情况如下: 用户分类 早期体验用户 中期跟随用户 后期用户 预计升级到5G的时段 2019年8月至201

8、9年12月 人数 270人 2020年1月至2021年12月 2022年1月及以后 530人 200人 4 北京新东方中小学全科教育出品 我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生意愿为5G套餐支付更多的费用作比较, 可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期 体验用户的40%）. （）从该地高校大学生中随机抽取1人,估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级 到5G的概率; （） 从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人,以X表示这2人中愿意 为升级5G多支付10元或10元以上的人数,求X的分布列和数学期望; （）2019年底，从这1000人的样本

9、中随机抽取3人,这三位学生都已签约5G套餐,能 否认为样本中早期体验用户的人数有变化?说明理由. 5 北京新东方中小学全科教育出品 17.（本小题13分） 如图，在三棱柱ABC A 1BC1 ABBC2. 11中, BB 1 平面ABC，AB BC,AA （）求证：BC 1 平面A 1B1C ; （）求异面直线B 1 C与A 1B 所成角的大小; （）点M在线段B 1 C上，且 B 1M0,1，点N 在 B 1C A 1N 线段A 1B 上，若MN/平面A 1ACC1 ，求的值（用含的 A 1B 代数式表示）. 18.（本小题 13 分） 1 已知函数f (x) x3 x23ax(aR ).

10、3 （）若f(x)在x 1处取得极值，求a的值； （）在直线x 1上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线y f (x)相切？ 若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 6 北京新东方中小学全科教育出品 19.（本小题 14 分） x22 已知椭圆C： 2 y21(a 1)的离心率是. a2 （）求椭圆C的方程; （）已知F 1,F2 分别是椭圆C的左、右焦点，过F 2 作斜率为k的直线l,交椭圆C于A,B 两点， 直线F 1A,F1B分别交 y轴于不同的两点M,N.如果MF 1N 为锐角， 求k的取值范围. 20 （本小题 13 分） 已知数列an，记集合T S(i, j)|S(i,

11、 j) a i a i1 （）对于数列an:1,2,3,4，写出集合T； （）若an 2n，是否存在i, jN N*，使得S(i, j) 1024？若存在，求出一组符合条件 a j ,1i j,i, jN N*. 的i, j；若不存在，说明理由； （）若an2n2，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为b 1,b2 ,b m , 若b m 2020，求m的最大值. . 7 北京新东方中小学全科教育出品 20202020 年北京市东城区高三数学期末考试试卷答案年北京市东城区高三数学期末考试试卷答案 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共40分）分） 一、选择题（共一、选择题（共 8 8 小

12、题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分）分） 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 A 5 B 6 C 7 A 8 C 二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分） 9.m 4 145 q ,S 10. 4 24 11. 3（答案不唯一） 13.2或10 12.4 14. ； 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110110 分）分） 三、解答题三、解答题( (共共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分) ) 15.（本小题 13 分） ac （）由正弦定理可知， sin AsinC csinA3ac

13、osC 0 sinCsinA 3sin AcosC 0 sinC 3cosC tanC 3 tanC 0C为钝角 C= 2 . 3 8 北京新东方中小学全科教育出品 a2b2c2 （）由余弦定理可知，cosC 2ab 1a2412 a2或a4(舍) 24a S ABC 113 absinC 223. 222 16（本小题 13 分） （）设“从该地高校大学生中随机抽取1人，该学生愿意在2021年或2021年之前升 级到5G”为事件A 由题意可得,抽取的总人数为1000人 所以样本中随机抽取1人,该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的频率为 270530 0.8，由频率估计概率可知：

14、P(A) 0.8. 1000 （）由题意可知,X表示这2人中愿意为升级为5G多支付10元或10元以上的人数， 故X的所有可能取值为0,1,2 早期用户中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的频率为10.4 0.6 中期用户中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的频率为10.45 0.55 P(X 0) (10.6)(10.55) 0.18 P(X 1) 0.6(10.55) (10.6)0.55 0.49 P(X 2) 0.60.55=0.33 所以X的分布列为 X P 0 0.18 1 0.49 2 0.33 故E(X) 00.1810.49 20.33 1.15. 9 北京新东方中小学

15、全科教育出品 （）可以 因为样本中早期体验用户人数为270,则在样本中抽取1人,抽到早期体验用户的频率为 P 0.27.抽取3人都为早期体验用户的概率为P 0.273 0.0196,此时事件发生的概率 较小,但事件发生说明早期体验用户人数发生改变.（言之有理即可） 不可以 因为样本中早期体验用户人数为270,则在样本中抽取1人,抽到早期体验用户的频率为 P 0.27.抽取3人都为早期体验用户的概率为P 0.273 0.0196,概率指的是事件发生 的可能性,所以事件可以连续发生,不能说明早期体验用户人数发生改变.（言之有理即 可）. 17.（本小题 13 分） （）BB 1 面ABC中,AB面

16、ABC AB BB 1 又AB BC，BC AB面BC 11CB BB 1 B AB 又在三棱柱ABC A 1BC11 中，显然AB 11 A 1B1 面BC 11CB 又BC 1 面BC 11CB BC 1 A 1B1 在三棱柱ABC A 1BC1 BB 1 BC 11 中，AA 四边形BC 11CB为菱形 BC 1 BC 1 ，又A 1B1 BC 1 面A 1B1C . 10 BC 1 B 1 北京新东方中小学全科教育出品 （）BB 1 面ABC,AB,BC面ABC BB 1 AB,BB 1 BC，又AB BC 如图以B为原点，以BC，BA，BB 1所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建

17、立空间直角坐标系 如图所示,在ABC中 B0,0,0 ,B 1 0,0,2,C2,0,0, A 1 0,2,2 B 1C 2,0,2,A 1B 0,2,2, B 1C 2 2, A1B 2 2 cos B 1C,A1B B 1C A1B B 1C A1B 1 ，故B 1C,A1B 32 2 2 22 3 22 异面直线B 1C 与A 1B 所成角的大小为. A 1Nt （）假设存在N， A 1B 取AC中点E，连接BE E1,1,0，BE 1,1,0 AB BC，E为AC中点 BE AC 又AA 1 面ABC，BE面ABC BE A 1A 又A 1A AC A BE面A 1ACC1 BE为面A

18、 1ACC1 法向量 由图知B 1 C=2,0,2，A 1B= 0,2,2 B 1M= B 1C 2,0,2,M2,0,2 2 11 北京新东方中小学全科教育出品 A 1N=tA1B 0,2t,2t,N0,2 2t,2 2t MN=2,2 2t,22t MN面A 1ACC1 MNBE 0 即2+2 2t=0 t=1 01 0 t 1 符合题意，假设成立 A 1N1 .A 1B 上存在N使MN面A 1ACC1 ，且 A 1B 18.（本小题 13 分） （）f (x) x22x3a,xR 由题意可知f (1) 0 故1 2 3a 0 所以a 1 经检验a 1时，f (x)在x 1时取得极值. （

19、）假设存在P点，设P(1,t)，切点为Q(x 0 , y 0 ) y 0 1 32x 0 x 0 2 3ax 0 ，k f (x 0 ) x 0 2x 0 3a 3 f (x)在Q点处的切线为 1 322y (x 0 x 0 3ax 0 ) (x 0 2x 0 3a)(x x 0 ) 3 1 322 x 0 3ax 0 (x 0 2x 0 3a)(1 x 0 )将P点代入得t x 0 3 2 3化简得x 0 2x 0 2 2x 0 3a t 0 3 由已知可得方程至少有两个解 12 北京新东方中小学全科教育出品 设g(x) x3 2x2 2x 3a t,xR R g(x) 2x24x2 2(x

20、1)20 g(x)在R R上单调递增 方程最多有一个解，与已知矛盾 不存在符合题意的P点. 2 3 19.（本小题 14 分） 2c c21 a2b21 2（）离心率e ,得a 2b 1, 2 , 22a a2a2 x2 y21. 2 （）设A(x 1,y1),B(x2 ,y 2 )，由F 2(1,0)， AB方程y k(x 1) x 2 y21 联立x2 2k2(x 1)2 2，化简得(1 2k2)x2 4k2x 2k2 2 0 2 y k(x1) 2k224k2 显然 0，x 1 x 2 ,x 1x2 221 2k1 2k 直线F 1A 的方程为 y y 1 x 1，令x 0，则M(0 ,

21、 y 1) x 1 1x 1 1 同理可得 N(0, y 2) x 2 1 k2x 1 1x 2 1y 1 y 21所以F 1M F1N 1x 1 1x 2 1 x 1 1x 2 1 1 k2 x1x2 x 1 x 2 1 x 1x2 x 1 x 2 1 1k x x 1k x x 1k 22 1212 2 x 1x2 x 1 x 2 1 7k21 将代入并化简，得F 1M F1N 28k 1 7k21 依题意，MF 1N 为锐角，所以F 1M F1N 0 ，即F 1M F1N 2 0 8k 1 13 北京新东方中小学全科教育出品 解得k2或k2，由夹角为锐角可得k 0 综上，直线l斜率的取值

22、范围是( , 7 )( 2 , 0)(0 , 2 )( 7 , ). 7447 1 7 1 8 20 （本小题 13 分） （）T 3,5,6,7,9,10 . （）S(i, j) (2 j 2i)( j i 1) 1024 210，其中j i与j i 1为一奇一偶 2 且j i 3，j i 1 2，显然无解，故不存在. （）b m (2 j 2 2i 2)( j i 1) ( j i 2)( j i 1) 2 仅当j 2,i 1时，b m 2，其中j i 2与j i 1一奇一偶 且j i 2 2，j i 1 2，则b m能折成奇数与偶数之积 在偶数中，只有2n无法折为一个大于2的奇数与一个大于2的偶数之积 又T中的元素均为偶，故T 2n|nN N*,n 2k,kN N* 故T中元素为2至2020整数除去4,8,16,32,64,128,256,512,1024，故m 2020 9 1001. 2 14