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1、二次根式 二次根式(1)探索新知1、知识： 如、，都是一些正数的算术平方根像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式因此，一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“”称为 例如：形如 、 、 是二次根式。 形如 、 、 不是二次根式。2、应用举例例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、（x0，y0）解：二次根式有： ；不是二次根式的有： 。例2当x是多少时，在实数范围内有意义？解：由 得： 。当 时，在实数范围内有意义例3当x是多少时，+在实数范围内有意义？ 例4(1)已知y=+5，求的值(2)若+=0，求a2004+b2004的值课堂检测（1）、简答题 1
2、下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式？ - x （2）、填空题 1形如_的式子叫做二次根式 2面积为5的正方形的边长为_ （3）、综合提高题 1某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2若+有意义，则=_ 3.使式子有意义的未知数x有（ ）个A0 B1 C2 D无数4.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值 二次根式(2)1、（a0）是一个 数。（正数、负数、零）因为 。、2、根据算术平方根的意义填空： （）2=_；（）2=_；（）2=_；（）2=_；同理可得：（）2=2， （）2=9， （）2=3， （）2
3、=， （）2=0，所以 （）2=a（a0） 例1 计算 1、（）2 = 2、（3）2 = 3、（）2 = 4、（）2= 注意：1、（a0）是一个非负数；（）2=a（a0）及其运用2、用分类思想的方法导出（a0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a0）例2 计算 1（）2（x0） 2（）2 3（）2 例3 在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3三、巩固练习（一）计算下列各式的值：（）2= （）2= （）2= （）2 = （4）2 = 四、课堂检测 （一）、选择题 1下列各式中、，二次根式的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 （二）、填空题 1（-）
4、2=_ 2已知有意义，那么是一个_数 （三）、综合提高题 1计算（1）（）2 （2）-（）2 （3）（-3）2 (4) = = = = 2把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5= （2）3.4= （3） （4）x（x0）=3已知+=0，求xy的值 4在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5 二次根式(3)1、填空：根据算术平方根的意义， =_； =_； =_ ； =_；=_ _ ；=_2、 重点：=a（a0） 例1 化简（1） （2） （3） （4）解：（1）= （2）= （3）= （4）= 3、 注意：（1）a（a0）（2）、只有a0时，a才成立例2 填空
5、：当a0时，=_；当aa，则a可以是什么数？ 例3当x2，化简-、课堂检测 （一）、选择题1的值是（ ） A0 B C4 （二）、填空题 1-=_ 2若是一个正整数，则正整数m的最小值是_ 三、综合提高题 1先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_2. 若-3x2时，试化简x-2+。二次根式的乘除（1）（一）复习引入 1填空：（1）=_，=_； _ （2）=_，=_； _ （3）=_，=_ _（二）、探索新知 （a0，b0 反过来:
6、=（a0，b0）例1计算 （1） （2） （3）32 （4） = = = = 例2 化简（1） （2） （3） （4） （5） = = = = = 二、巩固练习（1）计算： 32 = = =(2) 化简: ; ; ; ; = = = = = 三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展 （一）例3判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1） （2）=4=4=4=8四、课堂检测（一）、选择题 1化简a的结果是（ ） A B C- D- 3等式成立的条件是（ ） Ax1 Bx-1 C-1x1 Dx1或x-1 ( 二)、填空题 1=_ 2自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2
7、），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_ 三、综合提高题 1一个底面为30cm30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？二次根式的乘除（2）（一）复习引入 1写出二次根式的乘法规定及逆向等式 2填空 （1）=_，=_； 规律： _； （2）=_，=_； _； （3）=_，=_； _；（4）=_，=_ _ （二）、探索新知 一般地，对二次根式的除法规定：=（a0，b0）反过来，=（a0，b0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目 二、巩固练习1、计算：（1） （2） （
8、3） （4） = = = = 2、化简： （1） （2） （3） （4） = = = = 例3已知，且x为偶数，求（1+x）的值课堂检测 （一）、选择题 1计算的结果是（ ）A B C D2阅读下列运算过程：， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请化简的结果是（ ） A2 B6 C D （二）、填空题 1分母有理化:(1) =_;(2) =_;(3) =_. 2已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_三、综合提高题（1）（-）（m0，n0）二次根式的乘除(3)（一）复习引入1计算（1）=，（2）=，（3）=2现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1k
9、m，h2km，那么它们的传播半径的比是_ （二）、探索新知 观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1被开方数不含分母； 2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式 =.例 1化简：(1) ; (2) ; (3) = = = 例2如图，在RtABC中，C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长 1、观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：=-1，=-， 同理可得：=-， 从计算结果中找出规律，并利用这一规律
10、计算 （+）（+1）的值 =课堂检测（一）、选择题 1将（y0）化为最简二次根式是（ ） A（y0） B（y0） C（y0） D以上都不对 2化简的结果是（ ） A- B- C- D- 二、填空题 1化简=_（x0） 2a化简二次根式号后的结果是_ 三、综合提高题 若x、y为实数，且y=，求的值二次根式的加减(1)（一）、复习引入计算（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3 = = = = （二）、探索新知 学生活动：计算下列各式（1）2+3 （2）2-3+5 = =（3）+2+3 （4）3-2+= = 例1计算 （1）+ （2）+
11、 = = 例2计算（1）3-9+3 （ 2）（+）+（-）= =例3已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值课堂检测 （一）、选择题 1以下二次根式：；中，与是同类二次根式的是（ ） A和 B和 C和 D和 2下列各式：3+3=6；=1；+=2；=2，其中错误的有（ ） A3个 B2个 C1个 D0个 二、填空题 1在、3、-2中，与是同类二次根式的有_ 2计算二次根式5-3-7+9的最后结果是_ 三、综合提高题 1已知2.236，求（-）-（+）的值（结果精确到0.01） 2先化简，再求值（6x+）-（4x+），其中x=，y=2721.3 二次根式的加减(2)
12、例1如图所示的RtABC中，B=90，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示） 例3若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式） 课堂检测（一）、选择题1小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米（结果同最简二次根式表示） A13 B C10 D5（二）、填空题 （结果用最简二次根式）1有一长方形鱼塘，
13、已知鱼塘长是宽的2倍，面积是1600m2，鱼塘的宽是_m（三）、综合提高题 1若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值 2同学们，我们观察下式：（-1）2=（）2-21+12=2-2+1=3-2 反之，3-2=2-2+1=（-1）2 3-2=（-1）2 =-1求：（1）； （2）； （3）你会算吗？二次根式的加减(3)（一）复习引入 1计算 （1）（2x+y）zx= （2）（2x2y+3xy2）xy= 2计算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2= =（二）、探索新知 如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立 例1计算:
14、 （1）（+） （2）（4-3）2 = =例2计算 （1）（+6）（3-） （2）（+）（-）课堂检测 （一）、选择题 1（-3+2）的值是（ ） A-3 B3- C2- D- 2计算（+）（-）的值是（ ）A2 B3 C4 D1 （二）、填空题 1（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是_2（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_ 3若x=-1，则x2+2x+1=_ 4已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_ 三、综合提高题 1化简课外知识 （1）、练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A与 B与 C与 D与（2）、互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积是有理数，不含有二次根式：如2与就是互为有理化因式；+1与-1也是互为有理化因式 练习：1、+的有理化因式是_；2、x-的有理化因式是_ 3、 2的有理化因式是_11