初等数学常用公式.doc

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1、初等数学常用公式：（一）代数乘法及因式分解公式1.(1) (x+a) (x+b) =x2 + (a+b)x +ab (2) (ab)2=a2 2ab+b2 (3) (ab)3=a33a2b+3ab2b3 (4) (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (5) (a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3ab2+3b2c+3bc2+ 3a2c+ 3ac2+ 6abc (6) a2-b2=(a -b)(a+b) (7) a3b3= (ab) (a2ab +b2). (8) an-bn= (a-b)(an-1 +an-2b+an-3b2 +abn-2+bn-1) (n为正整数

2、) (9) an-bn= (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1) (n为偶数) (10) an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1) (n为奇数) 2。指数运算（设a,b,是正实数，m,n是任意实数）1. 指数定义 下面（1）-（3）式中，m、n均为正整数 （1）an= (n个a的乘积）； (2) (3) (4)无理指数幂可用有理指数幂近似表示. 例如 2.指数运算法则 （1） （2） (3) (4) (5) 式中 a.0 ， b0 ； x1 ，x2 ，x 为任意实数 3.对数定义 若 ax=b (a0 , a1) ，则

3、x 称为b 的以a 为底的对数，记作 当a=10时， ，称为常用对数. 当a=e 时， ，称为自然对数. 4.对数的性质 （1） (2) (3) (4) (5)换底公式 由此可推出： （a） （在换底公式中取c=b） (b) （在换底公式中取c=10） 5.对数运算法则 (1) (2) (3) （x 为任意实数） 1.基本不等式 在下面1）5）各式中，设 a b, 则1) a c b c 2) ac bc (c0)； acbc (cbn ( n0, a0, b0) ; anbn ( n0, b0)5) (n为正整数,a0,b0)6）设 且 b, d 同号，则 2. 有关绝对值的不等式 (1)

4、绝对值的定义 实数a的绝对值 实数的绝对值是数轴上点到原点的距离 (2) 有关绝对值的不等式 (a) 若a , b, k为任意复数（包含实数），则 (b） 若a ,b为任意复数（包含实数），则 (c） 若 则 -bab 特别有 （d） 若 则 ab 或 a-b （e） （f） 若a , b,k为任意复数（包含实数），则 (g） 若a , b,k为任意复数（包含实数），则 有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式 1) sinxxtgx (0x ) 2) cosx 1 (0x ) 3) ( ) 4) (-x0 )6) ( 0x ) 7) ( 0x1, x ) 8) ( x0 ) 9) ( x0)

5、 11) ( x0 ) 12) ( x-1, x0 ) 13) ( x-1, x0 ) 14) ( x -1, x0 ) 特别取 (n为自然数 ), 有 15）lnx x-1 ( x0 ) 阶乘、排列、组合、二项与多项式 1.阶乘 定义说明 0！=1 规定 n的阶乘 (-1)!=0 规定 奇数的阶乘 0!=0 规定 偶数的阶乘 注：表中n为自然数 2.排列 (a) 从n个不同的元素中每次取出k个(kn)不同的元素，按一定的顺序排成一列，称为排列其排列种数为： (b) 特别当k=n时，此排列称为全排列其排列种数为： 3.组合 (a) 从n个不同的元素中每次取出k个(kn)不同的元素，不管其顺序合

6、并成一组，称为组合其组合种数为： (b) 组合公式 4.二项与多项式 (a) 二项式公式 代数方程1 一元n次代数方程 其中n为正整数；a0 , a1 , an是属于数域 S（实数域或复数域）的常数；x为未知数. f(x)称为一元n次多项式；方程 f(x)=0称为一元n次代数方程；最高次项系数 a0称为首项系数.设c是一常数，使 f(c)=0 , 则称c为多项式 f(x) 或方程 f(x)=0 的根代数基本定理 每个复数域上n次代数方程 在复数域中至少有一个根代数基本定理的推论 每个n次代数方程在复数域中有且只有n个根.2 一元二次方程方程根的表达式根与系数关系判别式有两个不等的实根有两个相等

7、的实根 有两个复根有两个不等的实根有两个相等的实根有两个复根二. 三角函数公式表同角三角函数的基本关系式倒数关系:商的关系：平方关系：tan cot1sin csc1cos sec1sin/costansec/csccos/sincotcsc/secsin2cos211tan2sec21cot2csc2（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”）诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。）sin（）sincos（）co

8、stan（）tancot（）cotsin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（）sincos（）costan（）tancot（）cotsin（）sincos（）costan（）tancot（）cotsin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（2）sincos（2）costan（2）tancot（2）cotsin（2k）sincos（2

9、k）costan（2k）tancot（2k）cot(其中kZ) 两角和与差的三角函数公式万能公式sin（）sincoscossinsin（）sincoscossincos（）coscossinsincos（）coscossinsin tantantan（）=- 1tan tan tantantan（）- 1tan tan 2tan(/2)sin- 1tan2(/2) 1tan2(/2)cos- 1tan2(/2) 2tan(/2)tan- 1tan2(/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin22sincoscos2cos2

10、sin22cos2112sin2 2tantan2 1tan2sin33sin4sin3cos34cos33cos3tantan3tan3 13tan2三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式 sinsin2sincos 2 2 sinsin2cossin 2 2 coscos2coscos 2 2 coscos2sinsin 2 2 1sin cos -sin（）sin（） 2 1cos sin-sin（）sin（） 2 1cos cos-cos（）cos（） 2 1sin sin -cos（）cos（） 2化asin bcos为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）三.初

11、等几何在下列公式中，字母R，r表示高，l表示斜高，s表示底面积1.园：周长2.扇形：面积，其中r为半径，为扇形的园心角（以弧度计）， 为扇形的弧长3.棱锥：体积4.正园锥：体积 ； 侧面积； 全面积5.截圆锥：体积； 侧面积6. 体积； 表面积直棱柱侧面积 S=ch斜棱柱侧面积S=ch正棱锥侧面积 S=1/2c.h正棱台侧面积 S=1/2 (c+c)h圆台侧面积 S=1/2(c+c)l=(R+r)l球的表面积 S=4r2圆柱侧面积 S=ch=2h圆锥侧面积 S=1/2cl=rl弧长公式 l=ara是圆心角的弧度数r 0扇形面积公式 s=1/2lr锥体体积公式V=1/3SH圆锥体体积公式V=1/

12、3r2h斜棱柱体积 V=SL 注：其中,S是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式V=sh圆柱体 V=r2h常用直线方程（点斜式、斜截式、两点式和截距式）(一)点斜式已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程

13、逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式当直线的斜率为0时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1当直线的斜率为90时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1 (二)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程为什

14、么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的当k0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距(三)两点式已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程当y1y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样(四)截距式例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a0，b0)，求直线l的方程解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示14