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1、2016-20172016-2017 学年广西桂林市高二（下）期中数学试卷（文科）学年广西桂林市高二（下）期中数学试卷（文科） 一选择题：本题共一选择题：本题共1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题列出的四个选项中，选出最符在每小题列出的四个选项中，选出最符 合题目要求的一项合题目要求的一项. . 1若复数 z 满足 A1+iB1+i 3 ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的共轭复数为 =（） C1i D1i 2曲线 y=x 4x 在点（1，3）处的切线倾斜角为（） ABCD 3把二进制数 1010 2 化为十进制数为（） A20B12C11D
2、10 4变量 x，y 之间的一组相关数据如表所示： x y 4 8.2 5 7.8 6 6.6 = 7 5.4 的值为（）若 x，y 之间的线性回归方程为x+12.28，则 A0.96B0.94C0.92D0.98 5已知命题 p： a0，a+2，命题 q： x 0R，sinx0+cosx0= （） Ap 是假命题Bq 是真命题 ，则下列判断正确的是 Cp（q） 是真命题D（p）q 是真命题 6 等差数列a n中， a3， a7 是函数 f （x） =x 4x+3 的两个零点， 则a n的前 9 项和等于 （ ） A18 B9C18D36 2 7阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S
3、 的值等于（） - 1 - A18B20C21D40 8已知 p：|x|2；q：x x20，则 p 是 q 的（） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9已知双曲线=1 的一条渐近线方程为 y=x，则此双曲线的离心率为（） 2 AB 22 C 22 D 10不等式 a +b a b 10 成立的充要条件是（） A|a|1 且|b|1B|a|1 且|b|1C（|a|1）（|b|1）0D（|a|1） （|b|1）0 11已知函数 f（x）=log 3x，x0，则不等式 1f（x0）2 成立的概率是（ ） ABCD 12荐函数 f（x）=lnx+ax22 在区
4、间（，2）内存在单调递增区间，则实数 a 的取值范围 是（） A（，2 B（，+）C（2，）D（2，+） 二填空题：本题共二填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . - 2 - 13某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000 人、高二1200 人、高三n 人中，抽取 80 人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么 n= 14ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 15已知 x0，观察下列几个不等式： 归纳猜想一般的不等式为 16从抛物线 y =4x 图象上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|P
5、M|=5，设抛物线焦点 为 F，则PFM 的面积为 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17（10 分）如图，在ABC 中，AC=10， ADB=30，求 AD 的长 ，BC=6，D 是边 BC 延长线上的一点， 2 ，则角 A= ； 18（12 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 S4=24，S7=63 （）求数列a n的通项公式； （）若 b n=2 +an，求数列bn的前 n 项和 Tn 19（12 分）已知函数 f（x）=exx21，xR
6、（1）求函数 f（x）的图象在点（0，f（0）处的切线方程； （2）当 xR 时，求证：f（x）x2+x 20（12 分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取 了 100 名观众进行调查，其中女性有55 名下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育 节目时间的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育 迷”，已知“体育迷”中有10 名女性 （1） 根据已知条件完成下面的22列联表， 并据此资料判断你是否有95%以上的把握认为“体 育迷”与性别有关？ 男 非体育迷体育迷合计 an - 3 - 女 合计 参 K2= P（K2k） k
7、考公式：0.0500.0100.001 3.8416.63510.828 （2） 将日均收看该体育项目不低于50 分钟的观众称为“超级体育迷”， 已知“超级体育迷” 中有 2 名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2 人，求至少有 1 名女性观众的概率 21（12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，且短轴长为 2，离心率等于 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过椭圆C 的右焦点F 作直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，交y 轴于 M 点，若 ，求证： 1+2 为定值 22（12 分）设函数 f（x）=alnx （1）求函数 y=f（x）的单调区间和极值； （2）若函数 f（x
8、）在区间（1，e2内恰有两个零点，试求 a 的取值范围 - 4 - 2016-20172016-2017 学年广西桂林中学高二（下）期中数学试卷（文科）学年广西桂林中学高二（下）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题：本题共一选择题：本题共1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题列出的四个选项中，选出最符在每小题列出的四个选项中，选出最符 合题目要求的一项合题目要求的一项. . 1若复数 z 满足 A1+iB1+i ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的共轭复数为 =（） C1i D1i 【考点】A3：复数相等的充要条
9、件 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】解： ， ，z=i（1+i）=1+i， 故选：D 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 2曲线 y=x34x 在点（1，3）处的切线倾斜角为（） ABCD 【考点】62：导数的几何意义 【分析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知 k=y| x=1，再结 合正切函数的值求出角 的值即可 【解答】解： 故选 A 【点评】本题考查了导数的几何意义、正切函数的图象、直线的倾斜角等基础知识，考查数 形结合思想属于基础题 3把二进制数 1010 2 化为十进制数为（）
10、 A20B12C11D10 - 5 - 【考点】EM：进位制 【分析】利用累加权重法，可将二进制数1010 2 化为十进制数 【解答】解：1010 （2）=2+2 3=10 （10）， 故将二进制数 1010 2 化为十进制数为 10， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是不同进制数之间的转换，解答的关键是熟练掌握不同进制之间 数的转化规则 4变量 x，y 之间的一组相关数据如表所示： x y 4 8.2 5 7.8 6 6.6 = 7 5.4 x+12.28，则的值为（）若 x，y 之间的线性回归方程为 A0.96B0.94C0.92D0.98 【考点】BK：线性回归方程 【分析】求出样本的
11、中心点，代入回归方程求出 【解答】解：由题意得： =5.5， =7， 的值即可 故样本中心点是（5.5，7）， 故 7=5.5 故选 A 【点评】本题考查线性回归方程的性质，本题解题的关键是根据所给的条件求出直线的样本 中心点，线性回归方程一定过样本中心点是本题解题的依据，本题是一个基础题 5已知命题p： a0，a+ 的是（） Ap 是假命题Bq 是真命题 2，命题q： x 0R，sinx0+cosx0= ，则下列判断正确 +12.28，解得： =0.96， Cp（q） 是真命题D（p）q 是真命题 【考点】2K：命题的真假判断与应用 【分析】命题p： aR，且a0，有a+2，命题q： x 0
12、R，sinx0+cosx0= 的真 - 6 - 假进行判定，再利用复合命题的真假判定 【解答】解：对于命题 p： aR，且 a0，有 a+ 由均值不等式，显然 p 为真，故 A 错 命题 q： x 0R，sinx0+cosx0= 而 ，sinx 0+cosx0= sin（x 0+ ） 2， 所以 q 是假命题，故 B 错 利用复合命题的真假判定， p（q）是真命题，故C 正确 （p）q 是假命题，故 D 错误 故选：C 【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简 单命题的真假，再根据真值表进行判断 6 等差数列a n中， a3， a7 是函数 f （x）
13、=x 4x+3 的两个零点， 则a n的前 9 项和等于 （ ） A18 B9C18D36 2 【考点】85：等差数列的前 n 项和 【分析】由韦达定理得 S 9= = a 3+a7=4 ，从而a n 的前 ，由此能求出结果 2 9项和 【解答】解：等差数列a n中，a3，a7 是函数 f（x）=x 4x+3 的两个零点， a 3+a7=4， S 9= 故选：C 【点评】本题考查等差数列的前 9 项和公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等 差数列的性质的合理运用 7阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于（） a n = 的前 = 9项 和 - 7 - A18B20C
14、21D40 【考点】E7：循环结构 【分析】算法的功能是求S=21+22+2n+1+2+n 的值，计算满足条件的S 值，可得答案 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=2 +2 +2 +1+2+n 的值， S=2 +2 +1+2=2+4+1+2=915，S=2 +2 +2 +1+2+3=2+4+8+1+2+3=2015 输出 S=20 故选：B 【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的 关键 8已知 p：|x|2；q：x2x20，则 p 是 q 的（） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】2L：必要条
15、件、充分条件与充要条件的判断 【分析】分别解出关于 p，q 的不等式，再分别判断p，q 的关系，从而得到答案 【解答】解：由 p：|x|2，解得：2x2， 由 q：x2x20，解得：1x2， 由 p 推不出 q，由 q 能推出 p， 12123 12n - 8 - 故 p 是 q 的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题考查了充分必要条件，考查了解不等式问题，是一道基础题 9 已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=x， 则此双曲线的离心率为 （） ABCD 【考点】KC：双曲线的简单性质 【分析】 因为 焦点在 x 轴上的 双曲 线方程 的渐 近线方 程为 y=，由 双曲 线 的一条渐近线方程
16、为 y=，就可得到含 a，b 的齐次式，再把 b 用 a，c 表示，根据双曲线的离心率e=，就可求出离心率的值 【解答】解：双曲线的焦点在 x 轴上， 渐近线方程为 y= 又渐近线方程为 y= ， ， b =c a ， 222 化简得， 即 e2= 故选 A ，e= 【 点 评 】 本 题 考 查 双 曲 线 的 性 质 及 其 方 程 根 据 双 曲 线 - 9 - 的渐近线方程求离心率， 关键是找到含 a，c 的等式 10不等式 a +b a b 10 成立的充要条件是（） A|a|1 且|b|1B|a|1 且|b|1C（|a|1）（|b|1）0D（|a|1） （|b|1）0 【考点】2L
17、：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】a2+b2a2b210（a21）（b21）0（|a|1）（|b|1）0即可判断 出结论 【解答】解：a +b a b 10a （1b ）+（b 1）0（b 1）（1a ）0（a 1）（b 1）0（|a|1）（|b|1）0 故选：C 【点评】本题考查不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 11已知函数 f（x）=log 3x，x0，则不等式 1f（x0）2 成立的概率是（ ） ABCD 2 2222222222 2222 【考点】CF：几何概型 【分析】计算出满足不等式1f（x 0）2 成立的 x 的范围，根据
18、区间的长度之比求出概率即 可 【解答】解：由 log 33=1，log39=2， 故不等式 1f（x 0）2 成立的概率 p= 故选：C 【点评】本题考查了对数函数的性质，考查几何概型问题，是一道基础题 12荐函数 f（x）=lnx+ax22 在区间（ 围是（） ，2）内存在单调递增区间，则实数 a 的取值范 =， - 10 - A（，2 B（，+）C（2，）D（2，+） 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】求出函数的导数，问题转化为a，而g（x）= 在（，2）递增，求出 g（x）的最小值，从而求出a 的范围即可 +2ax，【解答】解：f（x）= 若 f（x）在区间（，2）内存在单
19、调递增区间， ，2）有解，则 f（x）0 在 x（ 故 a， 而 g（x）= g（x）g（ 故 a2， 故选：D 在（ ）=2， ，2）递增， 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一 道基础题 二填空题：本题共二填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000 人、高二1200 人、高三n 人中，抽取 80 人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么 n=1000 【考点】B3：分层抽样方法 【分析】由分层抽样的性质列出方程，能求出结果 【
20、解答】解：采用分层抽样的方法从高一1000 人、高二 1200 人、高三 n 人中，抽取 80 人进 行问卷调查， 已知高二被抽取的人数为30，分层抽样是按比例抽样， 则由分层抽样的性质得： 80=30， - 11 - 解得 n=1000 故答案为：1000 【点评】本题考查分层抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的 合理运用 14 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b， c，若 则角 A= ， 【考点】HR：余弦定理 【分析】利用余弦定理即可得出 【解答】解： cosA= A（0，），A= 故答案为： = ， ， 【点评】本题考查了余弦定理、三角函数求值，
21、考查了推理能力与计算能力，属于中档题 15已知 x0，观察下列几个不等式： ； ； ； ； 归 纳 猜 想 一 般 的 不 等 式 为 ，（n 是正整数） 【考点】F1：归纳推理 【分析】根据题意，对给出的几个等式变形可得，x+1+1，x+2+1，x+ 3+1，类推可得变化规律，左式为x+，右式为 n+1，即可得答案 【解答】解：根据题意，对给出的等式变形可得， x+ 3+1， 1+1，x+2+1，x+ - 12 - 则一般的不等式为 x+n+1，（n 是正整数）； 故答案为 x+n+1（n 是正整数） 【点评】本题考查归纳推理，解题的关键在于发现左式中的变化规律 16从抛物线 y2=4x 图
22、象上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线焦点 为 F，则PFM 的面积为10 【考点】KN：直线与抛物线的位置关系 【分析】设 P（x 0，y0），通过|PM|=x0+ 2 ，求出 P 的坐标，然后求解三角形的面积 ，即 5=x 0+1，得 x0=4，所 【解答】解：抛物线 y =4x 中 p=2，设 P（x 0，y0），则|PM|=x0+ 以 y 0=4，所以 故答案为：10 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力 =10 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应给
23、出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17（10 分）（2016 秋临淄区校级期末）如图，在ABC 中，AC=10， BC=6，D 是边 BC 延长线上的一点，ADB=30，求AD 的长 ， 【考点】HR：余弦定理 【分析】利用余弦定理，求出ACB=60，ACD=120，在ACD 中，AC=10，ADB=30， ACD=120，利用正弦定理可得结论 【解答】解：在ABC 中，AB=10，AC=14，BC=6， 由余弦定理得 - 13 - ， 所以ACB=60，ACD=120， 在ACD 中，AC=10，ADB=30，ACD=120，8分 由正弦定理得， 所以 12 分 【点评】本题考查正弦、余
24、弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题 18（12 分）（2017合肥一模）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 S4=24，S7=63 （）求数列a n的通项公式； （）若 b n=2 +an，求数列bn的前 n 项和 Tn 【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前 n 项和 【分析】（I）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出 （II）b n=2 an+a n=24 n+（2n+1），再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出 【解答】解：（）a n为等差数列， an （） = +（ = =24 +（2n+1）， 3+5+2n+1） n 【点评】本题考查了等差数列与
25、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 - 14 - 19（12 分）（2017 春秀峰区校级期中）已知函数f（x）=exx21，xR （1）求函数 f（x）的图象在点（0，f（0）处的切线方程； （2）当 xR 时，求证：f（x）x +x 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），f（0），求出切线方程即可； （2）令 （x）=f（x）+x2x=exx1，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可 【解答】解：（1）f（x）=ex2x， k=f（0）=1，又 f（0）=0， 切
26、点坐标为（0，0），故所求切线方程为：y=x； （2）证明：令 （x）=f（x）+x x=e x1， （x）=e 1，由 （x）=0，得 x=0， 当 x（，0）时， （x）0， （x）单调递减； 当 x（0，+）时， （x）0， （x）单调递增 （x） min= （0）=0，从而 f（x）x +x 【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一 道中档题 20（12 分）（2017 春秀峰区校级期中）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体 育节目的收视情况，随机抽取了100 名观众进行调查，其中女性有55 名下面是根据调查结 果绘制的观众日均收看该体育节
27、目时间的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间不低 于 40 分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10 名女性 （1） 根据已知条件完成下面的22列联表， 并据此资料判断你是否有95%以上的把握认为“体 育迷”与性别有关？ 男 女 合计 参考公式 非体育迷 ：0.050 体育迷 0.010 合计 0.001 2 x 2x 2 - 15 - K = P（K2k） k 2 3.8416.63510.828 （2） 将日均收看该体育项目不低于50 分钟的观众称为“超级体育迷”， 已知“超级体育迷” 中有 2 名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2 人，求至少有 1 名女性观众的概率 【考点
28、】BL：独立性检验 【分析】（1）根据频率分布直方图计算出“体育迷”和非体育迷，填入列联表； 计算观测值 K2，对照临界值得出结论； （2）由频率分布直方图知“超级体育迷”5人，其中女 2 人， 用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值 【解答】解：（1）根据频率分布直方图计算出“体育迷”共计： 100（0.02+0.005）10=25（名）， 其中女生：10 名； 非体育迷：10025=75（名）， 其中女生为 5510=45（名）， 男生：35 名；填入列联表如下； 男 女 合计 计 K2= 非体育迷 30 45 75 算 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100 观 = 测值
29、- 16 - =3.030， 因为 3.0303.841，所以没有 95%的把握认为“体育迷”与性别有关； （2）由频率分布直方图知，“超级体育迷”为5 人， 从而一切可能的结果所组成的基本事件 为 AB，AC，Ad，Ae，BC，Bd，Be，Cd，Ce，de； 其中 A、B、C 表示男性，d、e 表示女性； 由 10 个基本事件组成，而且这些基本事件出现是等可能的， 由 A 表示“任选 2 人中，至少有 1 人是女性”这一事件， 有 Ad，Ae，Bd，Be，Cd，Ce，de； 则 A 中有 7 个基本事件组成，所以 P（A）= 【点评】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是中档题
30、 21（12 分）（2016 秋鄂尔多斯期末）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，且短轴 长为 2，离心率等于 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过椭圆C 的右焦点F 作直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，交y 轴于 M 点，若 ，求证： 1+2 为定值 【考点】K4：椭圆的简单性质 【分析】（1）由题意设出椭圆方程，并得到b=1，结合椭圆的离心率及隐含条件列式求得a， 则椭圆 C 的方程可求； （2）设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程是 y=k（x2）将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中， 消去 y 并整理得 （1+5k ） x 20k x+20k 5=0 然后
31、利用根与系数的关系证明 1+ 为定值 【解答】（1）解：由题意设椭圆方程为， 2222 2 则 2b=2，b=1，又 a2=b2+c2，可得 a2=5 ，可得， - 17 - 椭圆 C 的方程为； （2）证明：设 A、B、M 点的坐标分别为 A（x 1，y1），B（x2，y2），M（0，y0） 又易知 F 点的坐标为（2，0） 显然直线 l 存在的斜率，设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程是 y=k（x2） 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并整理得（1+5k2）x220k2x+20k25=0 ， 又 ， 将 各 点 坐 标 代 入 得 ， = =10 【点评】本题
32、考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知 条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键，是中档题 22（12 分）（2017 春秀峰区校级期中）设函数f（x）= （1）求函数 y=f（x）的单调区间和极值； （2）若函数 f（x）在区间（1，e 内恰有两个零点，试求 a 的取值范围 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断；6D：利用导数 研究函数的极值 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间和极值即可； （2）通过讨论a 的范围，若满足f（x）在区间（ 1，e2内恰有两个零点，需满足 2 alnx - 18
33、- ，解出即可 【解答】解：（1）由 f（x）=alnx，得 f（x）=x=（x0）， 当 a0 时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增，函数无极大值，也无极 小值； 当 a0 时，由 f（x）=0，得 x=或 x=（舍去） 于是，当 x 变化时，f（x）与 f（x）的变化情况如下表： x（0， ） f（x） f（x） 递减 0 （， + ） + 递增 ，+） ，无极大值 所以函数 f（x）的单调递减区间是（0， 函数 f（x）在 x=处取得极小值 f（ ），单调递增区间是（ ）= 综上可知，当a0 时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+），函数既无极大值也无极小 值； 当 a
34、0 时，函数f（x）的单调递减区间是（0， 函数 f（x）有极小值 ），单调递增区间为（，+）， ，无极大值 （2）当 a0 时，由（1）知函数 f（x）在区间（0，+）上单调递增， 故函数 f（x）在区间（1，e2上至多有一个零点，不合题意 当 a0 时，由（1）知，当 x（0， 当 x（ ）时，函数 f（x）单调递减； ，+）时，函数 f（x）单调递增， ）=所以函数 f（x）在（0，+）上的最小值为 f（ 若函数 f（x）在区间（1，e2内恰有两个零点， - 19 - 则 需 满 足， 即整 理 得 ，所以 ea 故所求 a 的取值范围为（e， 【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思 想，是一道中档题 - 20 -