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1、17一，椭圆重要内容1. 椭圆的标准方程： （焦点在x轴上）， （焦点在y轴上），2. 点与椭圆的位置关系.点点点3. 椭圆的参数方程：椭圆上任意一点P（x，y），则（二）椭圆的几何性质：焦点在x轴上焦点在y轴上图形性质范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a对称性关于x轴、y轴、坐标原点对称顶点A1（a，0） A2（a，0）B1（0，b） B2（0，b）A1（0，a） A2（0，a）B1（b，0） B2（b，0）离心率离心率e=，0eb0） 3. 椭圆上任意一点P到焦点F的距离的最大值是|PF|=a+c，最小值是|PF|=ac .4. 椭圆上任意一点P到两焦点的距离之积的最大值是a2，此时P
2、点与椭圆的短轴的两端点重合5. 注意利用平面几何知识解决椭圆问题.题型一，确定椭圆标准方程例1. （1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆的标准方程.（2） 已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q（2，1）且与椭圆有公共的焦点，求椭圆的标准方程.题型二利用椭圆的定义确定动点的轨迹方程例2. （1）已知一动圆与圆O1：外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程.（2）求经过点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆左顶点的轨迹方程.【思路分析】（1）设动圆的圆心是M，由已知得：且 即M点的轨迹是以O1，O2为焦点的椭圆.由此根据椭圆的第一定义求出椭圆的标准方程.（2）设
3、左顶点A（x，y），左焦点F（先根据椭圆的第二定义求出A（x，y）与F（）的关系.再根据椭圆的第二定义可求出x，y的方程. 解：（1）由已知O1（3，0），半径r1=1，O2（3，0），r2=9设动圆的圆心是M（x，y），半径是R，则由已知：，故即M点的轨迹是以为焦点的椭圆.且c=3，a=5，故b=4即所求的动圆圆心（M）的轨迹方程是 （2）设左顶点A（x，y），左焦点F（x0，y0），由椭圆的第二定义及几何意义知：，又M（1，2）点在椭圆上M点到左准线y轴的距离是d=1，到左焦点F的距离是|MF|=由椭圆的第二定义知：，代入整理得：.题型三，椭圆中的最值问题例5. 已知实数x，y满足：【思路
4、分析】由已知得：实数x，y满足的条件是椭圆的方程，故可用椭圆的参数方程把2x+y化成关于参数的三角函数求其最值.或利用数与形结合的思想把直线t=2x+y平移到与椭圆相切时，从而可求t的最值.解法一：由已知设（其中tan）故解法二：设t=2x+y，平移此直线到和椭圆相切时，由直线在y轴上的截距取得最值.消去y得：（*）由（*）有等根得：故.双曲线重要内容1. 双曲线几何性质图形对称性关于x轴、y轴、原点对称范围或或顶点A1（a，0）A2（a，0）实轴：2a，虚轴：2bA1（0，a）A2（0，a）,实轴： 2a，虚轴：2b离心率（e：确定双曲线的开口程度）渐近线焦点半径（1）P（点在右支上，则，（
5、2）P点在左支上，则（1）点在上支上（2）P点在下支上2求双曲线标准方程常见的类型及方法：（1）定义法（已知条件满足双曲线定义）（2）待定系数法（定位：确定双曲线的焦点位置，设方程：根据焦点位置设方程，定值：确定系数）（3）已知渐进线方程，可设双曲线方程是，确定值即可.（4）不能确定双曲线的焦点位置时.可设方程为：（5）与双曲线共焦点的双曲线方程设为： 5. 几种特殊的双曲线（1）等轴双曲线：，（等轴双曲线离心率是）（2）共扼双曲线：互为共轭双曲线.（性质：（1）互为共轭双曲线的四个焦点共圆，（2）离心率倒数平方和等于1，（3）有相同的渐近线）3. 双曲线中的基本三角形：（1）如图3：（2）
6、焦点三角形的面积：，（）题型一双曲线的定义例1：设上的两个焦点，点P在双曲线上，且满足：，求.思路分析：利用双曲线的第一定义及勾股定理求解：由双曲线的方程知：a=2， b=1，且双曲线的焦点在x轴上，利用定义：又故.题型二：双曲线的标准方程例2. （1）在三角形ABC中：设求顶点C的轨迹方程.（2）求中心在原点，两条对称轴都是坐标轴.并且过，两点的双曲线方程.（3）求与双曲线有相同的渐近线，且过点M（3，2）的双曲线的方程思路分析：（1）利用双曲线的定义求.（2）设双曲线的方程为（3）设所求的双曲线方程为，确定的值.解：（1）设C（x，y），由正弦定理得：即即C点与B，A两点的距离之差是4，且
7、小于两定点A，B的距离.故C点的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支（去掉顶点）.从而C点轨迹方程是（2）由已知不能确定双曲线的焦点的位置，故可设双曲线的标准方程是，由P，Q两点在双曲线上得：故所求的双曲线方程为（3）设所求的双曲线方程是，把M（3，2）代入求得.可求方程.双曲线的应用题型三，双曲线应用例3. 已知动点P与双曲线的两个焦点的距离之和是定值，且的最小值是（1）求动点P的轨迹方程.（2）若已知点D（0，3），M，N在动点P的轨迹上，且，求的取值范围.思路分析：（1）利用双曲线第一定义及余弦定理表示出，然后根据不等式的性质求出最小值，（2）由知：D，M，N三点共线.从而寻求三点坐标之间
8、的关系利用M，N在P点轨迹上，由P点轨迹允许取值范围的限制，从而求出的取值范围.解：（1）：由已知，设|在中，由余弦定理得：=当且仅当时取得最小值故由椭圆的定义知：P点的轨迹是以双曲线的两个焦点为焦点的椭圆且a=3，c=，即P点轨迹方程是（2）设M（x，y），N （s，t），则由得：（x，y3）=即又M，N点在P点的轨迹上，故有：（1）（2）由（1）（2）消去s得：，又，故的取值范围是抛物线重要内容1. 抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线L（L不过F点）的距离相等的点的集合叫抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线. 2. 抛物线的标准方程形式： （p0） （p0） （
9、p0） （p0）P：称为焦准距（焦点到准线的距离）3. 抛物线的几何性质：对称性，范围，顶点，离心率，（以为例）4. 抛物线的通径：过抛物线焦点F且垂直于对称轴的直线，与抛物线相交于P1、P2两点，则两交点之间的距离就是抛物线的通径，长度是2p.5. 有关的重要结论：设过抛物线的焦点的直线的倾斜角是，与抛物线交于A（.则有下列结论：（1）|AB|=，|AB|=，（显然当时，|AB|最小.最小值是2p，此时|AB|是抛物线的通径.）（2）.（3）.（4）（定值）.（5）以|AB|为直径的圆与准线相切.题型一，求抛物线的标准方程例1. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，3）
10、到焦点F的距离是5，求抛物线的方程、m的值、准线方程.【思路分析】因顶点在原点，对称轴是y轴，点M（m，3）位于第三、四象限.故可设抛物线方程是设所求的抛物线方程为，则焦点F在抛物线上，且|MF|=5，故抛物线的方程为，准线方程为y=2.题型二考查抛物线定义的应用例3. 已知抛物线的焦点是F，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，|FA|=m，|FB|=n，求证：【思路分析】设，由抛物线定义得：，由AB的直线方程与抛物线方程组成方程组利用根与系数关系可证.证明：（1）当AB垂直于x轴时，此时m=n=p，结论成立.（2）当AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率是k，则AB：=0故由抛物线定义得：，
11、故.参数方程1) 四类曲线的参数方程（2）圆的参数方程：对于圆的参数方程是为参数）（3）圆锥曲线的参数方程：（i）椭圆的参数方程为：为参数）（ii）双曲线，（a0，b0）的参数方程为：为参数）（iii）抛物线的参数方程是：，（t为参数）题型一 参数方程与普通方程互化例1：已知曲线的参数方程是，则曲线的普通方程是（ ）A. B. C. D. 【题意分析】本题考查参数方程化为普通方程的方法.【思路分析】把x=两边平方消去参数，但要注意x的取值范围.【解题过程】，将（1）两边平方得：再把（2）代入得：.由，故曲线的普通方程是，选（C）.【解题后的思考】把参数方程化为普通方程的过程中，要注意选择合理的
12、消参方法.同时要注意因参数的取值范围而导致的变量x或y的取值范围.本题易错点：忽视x的取值范围，误选（D）.例2：已知直线L1的参数方程是：，求直线L1与直线L2：x+y+1=0的交点P的坐标，及点P与A（1，2）的距离.【题意分析】本题考查利用将直线的参数方程化为普通方程解决问题的方法.【思路分析】把直线L1的参数方程：化为普通方程，然后解方程组求交点P的坐标.【解题过程】，由（1）得：t=22x代入（2）得：由解得：P（，另解：可把代入直线L2的方程解得：.然后再求x，y从而得到点P的坐标.【解题后的思考】对于含有参数的方程的问题可首先把参数方程化为普通方程，再解决有关问题.题型2参数方程
13、的简单应用例1：已知圆上任意一点P（x，y），都使恒成立，则m的取值范围是【题意分析】本题考查圆的参数方程的应用.【思路分析】圆的参数方程是，则P（，根据恒成立得到：对任意的都成立.从而确定m的取值范围.【解题过程】圆的参数方程是，故P（.对任意的都成立故.【解题后的思考】利用圆的参数方程解决问题，关键是要能求出圆的参数方程.例2：已知点M是椭圆上的动点，点M与短轴端点的连线分别与x轴交于P，Q两点.求的值.【题意分析】本题考查椭圆的参数方程的应用【思路分析】椭圆的参数方程是则，分别写出点M与两短轴连线的直线方程，然后求两直线MA，MB在x轴上的截距即可.【解题过程】设椭圆上的动点M（，A（0
14、，b）B（0，b），MA的直线方程是：，则Q（，即，MB的直线方程是：，则P（，即，.【解题后的思考】本题利用了椭圆的参数方程表示M点的坐标，为解题带来了很大的方便.直线与圆锥曲线的位置关系重要内容1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判断，（直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离）设直线L的方程是：，圆锥曲线的方程是，则由消去得：（*）设方程（*）的判别式（1）若圆锥曲线是椭圆，若方程（*）有两个不等实根直线L与椭圆相交直线与椭圆有两个不同的公共点.若方程（*）有两个相等的实根直线L与椭圆相切直线与椭圆只有一个公共点.若方程（*）无实根直线L与椭圆相离直线与椭圆无公共点.（2）若圆锥曲线是双曲
15、线.若方程（*）有两个不等实根直线L与双曲线相交直线与双曲线有两个不同的公共点.若方程（*）有两个相等的实根直线L与双曲线相切直线与双曲线只有一个公共点.若方程（*）无实根直线L与双曲线相离直线与双曲线无公共点.注：当直线L与渐近线平行，直线L也与双曲线是相交的，此时直线L与双曲线只有一个公共点.故直线L与双曲线只有一个公共点时，直线L与双曲线可能相交也可能相切.（3）若圆锥曲线是抛物线若方程（*）有两个不等实根直线L与抛物线相交直线与抛物线有两个不同的公共点.若方程（*）有两个相等的实根直线L与抛物线相切直线与抛物线只有一个公共点.若方程（*）无实根直线L与抛物线相离直线与抛物线无公共点.注
16、：当直线L与抛物线的对称轴平行时，直线L与抛物线只有一个公共点，此时直线L与抛物线相交，故直线L与抛物线只有一个公共点时可能相交也可能相切.2. 直线L与圆锥曲线相交时的弦长.设直线L与圆锥曲线交于，直线L的斜率为k，则=例题例1：设抛物线的准线与x轴交于点Q，过点Q的直线L与抛物线有公共点，求直线L的斜率k的取值范围.【思路分析】由已知抛物线方程可求Q，写出过Q点的直线方程与抛物线方程组成方程组.消去y利用求k的范围.解：由得Q（2，0），过Q点的直线L的斜率为k，（显然k存在，当k不存在时直线L与抛物线无公共点）则直线L的方程是，故消去y得：（*）由直线L与抛物线有公共点知：方程（*）有解
17、，即解得，故所求k的范围是1，1考点二：弦长及中点弦的问题的研究例2：过点P（1 ，1）的直线与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点恰为P点，求AB所在的直线方程及弦长|AB|【思路分析】设A，把A，B两点的坐标代入椭圆方程相减（点差法）现结合中点坐标公式求出直线AB的斜率，从而可求直线AB所在直线的方程.再根据弦长公式求|AB|.解：设A，由A，B两点在椭圆上得：，两式相减得：（1）显然，故由（1）得：因为P是AB的中点，所以有：（2）把（2）代入（1）得：，故AB的直线方程是即x2y+3=0消去y得：，例3：过椭圆内一定点M（1，0）引弦，求弦的中点轨迹方程【思路分析】用“点差法”及中点坐
18、标公式表示出弦的斜率，然后利用点斜式求出中点轨迹方程解：设弦的两端点，弦中点是P（x，y） 两式相减得：（*）由P是P1P2的中点得：代入（*）得：即弦的斜率k=，故弦的中点轨迹方程是y0=整理得：【说明】由于M（1，0）在椭圆的内部，过M的直线必与椭圆有两个交点.考点三：范围与最值问题例4：若在抛物线上存在相异两点关于直线L：对称，求m的范围.【思路分析】由直线L：y=m（x2）知：当m=0时，直线L恰好是抛物线的对称轴.显然抛物线上存在两点关于直线L对称.当m时，设P是抛物线上关于直线L对称的两点.PQ中点是M，设直线PQ的方程是把直线方程代入抛物线方程得到关于y的一元二次方程，由判别式大于零得到m与b的不等关系式，再由M点在直线L上得到关于m，b的等式.然后消去b得到关于m的不等式.解：当m=0时，直线L：y=0恰好是抛物线的对称轴.满足题设条件.当m时，设P是抛物线上关于直线L对称的两点.PQ中点是M，设直线PQ方程是消去x得：（*）方程（*）有两个不等实根 （m与b的不等关系），由M点在直线L上得：（2）（m与b的等量关系）把（2）代入（1）得：综合上述知：所求m的范围是17