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1、教 学 方 案课题古希腊三大几何问题的解决 学 院： 数学学院班 级： 2010级 师范3班姓 名：学 号： 古希腊三大几何问题的解决授课题目古希腊三大几何问题的解决类型新授课年级高二地点教室教学目标(三维目标)知识与技能目标：(1) 阐述出古希腊三大几何问题的产生与发展。(2) 知道古希腊三大几何问题解决过程中的思想方法。过程与方法目标： 通过讲解古希腊三大几何问题的解决过程，熟悉数学发展过程中的重要事件、人物、成果；体会数学对人类文明发展的作用.情感、态度与价值观目标： 提高学生学习数学的兴趣，加深对数学的理解，让学生养成数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。重点难点教学重点：学习解决古希
2、腊三大问题过程中，数学家的探索精神及给后人的启示与意义。教学难点：解决古希腊三大问题的思想方法。教 法谈话法学生学习方式问题研究式教 具三角尺、彩粉笔教 案教学内容教师活动学生活动设计意图师：位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。我们知道，雅典素有民主的传统，所以政治清廉，经济繁荣，学术自由，百家争鸣，创造了灿烂的古代文明。当时出现了许多学派，巧学派就是其中之一。该学派的数学研究中心就是我们今天所要讲解的问题：古希腊三大几何问题。师：首先我们要知道三大几何问题都是什么？1、 化圆为方。即求作一个正方形与给定圆面积相等。2、 三等分角。即把任意角分成三等分份。3、 倍立方。即求作一
3、个正方体，使其体积是已知正方体体积的两倍。 这些问题的难度在于，作图只能使用直尺和圆规，在数学史上很难找到其他问题能像这三个问题一样，具有经久不衰的魅力。讲授新课一、 “化圆为方”的由来师：公元前5世纪，古希腊哲学家安娜塞格拉斯因为发现太阳是个大火球，而不是阿波罗神，犯有“亵渎罪”而被判了死刑关进了监狱，在等待执行的过程中，他发现牢房的铁窗是正方形的，而窗外的月亮石圆形的，他不断变化观察的位置发现一会儿园比正方形大，一会儿圆比正方形小，他就在想，会不会有一时刻，圆的面积与正方形的面积相等呢？这就是著名的“化圆为方”问题的起源.师：2000多年来，从事几何学研究的科学家对“化圆为方”的问题进行了
4、许许多多的尝试，但是均局限于尺规作图，最终都以失败告终，下面我们就亲身体验一下，科学家们都是怎样证实的？师：我们知道“化圆为方”问题最初是由安娜塞格拉斯提出的，（约公元前480-前411) 安提丰在提出用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆为方. 亚里士多德的物理学记载，安蒂丰从圆的内接正方形出发，将边数逐步加倍到正八边形、正十六边形无限重复这个过程，随着圆面积的逐渐增大，将得到一个边长极微小的圆内接正多边形。安蒂丰认为这个内接正多边形将与圆重合。既然我们能做出一个等于任何已知多边形的正方形，那么实际上我们就能够做出等于一个圆的正方形。这种推理当然没有真正解决化圆为方的问题。但是安蒂丰却无心插
5、柳柳成荫，提出了求圆面积近似值的方法，成为古希腊穷竭法的始祖，为阿基米德计算圆周率奠定了基础。 师：顺着时间的脚步，来到了公元前5世纪下半页（约公元前460-前377)希波克拉底解决了化月牙形为方.下面我们就来看一看，希波克拉底是如何化月牙形为方的。师：如图所示，设以O为圆心的大圆半径为1，则线段AB的长度是，以AB为直径的小圆面积应为大圆面积的一半。特别的，以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积。由此可知：大圆之外，小圆之内的月牙区域的面积等于的面积。这说明由圆弧围成的区域的面积可以与一个正方形的面积相等。这一结果，朝解决化圆为方的目标迈进了一步。希波克拉底证明了一系列特
6、殊月牙形的化圆为方，但是每次都利用两个圆相减，对于单个圆的化圆为方，最终并为解决。师：达.芬奇的研究渐渐有了眉目，用已知圆为底，圆半径的为高的圆柱，在平面上滚动一周，所得的矩形，其面积恰为圆的面积，所以所得矩形的面积2，然后再将矩形化为等积的正方形即可。 要想求得正方向形的面积，必须将开方，所以，无解。师：2000多年来，三大几何问题因其独特的魅力吸引了无数数学家投入其中，百折不挠，虽屡战屡败但仍前仆后继。古希腊人的巧思，阿拉伯人的学时，西方文艺复兴时期大师们的睿智，都曾倾注于此，但最终还是没有解决。其实不是科学家们不够聪明，而是因为当时的条件还不够成熟。就像在锋利的刀也削不到自己的柄一样，一
7、个科学问题，往往需要借助其他科学的知识才能够解决。笛卡尔的解析几何创立之后，尺规作图的可能性才有了准则。这样徐东几何问题就可以转化为代数问题来研究。因为用圆规、直尺作图的每一步都需要找一个支点这个点或者是属于两条直线的，或者是一条直线和一个圆的。由于引进了解析几何，人们认识到，用代数术语说，这样的步骤就意味着同时求解两个线性方程，或一个线性和一个二次方程，或两个二次方程。 到19世纪中叶，由于新的数学工具的应用，德国数学家林德曼证明了的超越性，所谓的超越性就是说不可能是任何整系数代数方程的根，化圆为方问题的不可能性也被证明。师：伽罗华非常彻底地把全部代数方程可解性问题，转化或归结为置换群及其子
8、群结构分析的问题。 以古希腊神话为背景，引出本节课的内容。讲解化圆为方问题的来历，吸引学生的学习兴趣。运用课件让学生们感受到安蒂丰化圆为方的方法。 通过简单的面积公式，让学生们感受希波克拉底研究化圆为方的艰难历程。通过学生们自己动手计算，感受到达芬奇研究化圆为方时困难。 学生观看多媒体课件，了解古希腊的三大几何问题给人们带来的无尽思考。学生通过运用圆规直尺，动手感受化圆为方仅限于尺规作图的困难。学生自主探究希波克拉底研究化圆为方问题的进程。学生自主探究达芬奇研究化圆为方的进程。教师整理总结，在当代化圆为方的解决办法。通过多媒体课件，让同学们身临其境，增加学生们的学习兴趣。通过试验的方法，让学生们感受安提丰研究问题时的基本进程。通过试验的方法，让学生们感受希波克拉底研究问题时的基本进程。通过试验的方法，让学生们感受达尔文研究问题时的基本进程。- 5 -