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1、第2章 线性方程组的解法 -学习小结一、 本章学习体会通过本章知识的学习我首先了解到求解线性方程组的方法可分为两类：直接法和迭代法。计算机虽然运行速度很快，但面对运算量超级多的问题，计算机还是需要很长的时间进行运算，所以，确定快捷精确的求解线性方程组的方法是非常必要的。本章分为四个小节，其中前两节Gauss消去法和直接三角分解法因为由之前线性代数学习的一定功底，学习起来还较为简单，加之王老师可是的讲解与习题测试，对这一部分有了较好的掌握。第三节矩阵的条件数与病态方程组，我首先了解到的是线性方程组的系数矩阵A与左端向量b的元素往往是通过观测或计算而得到，因而会带有误差。即使原始数据是精确的，但存
2、放到计算机后由于受字长的限制也会变为近似值。所以当A和b有微小变化时，即使求解过程精确进行，所得的解相对于原方程组也可能会产生很大的相对误差。对于本节的学习掌握的不是很好，虽然在课后习题中对课堂知识有了一定的巩固，但整体感觉没有很好的掌握它。第四节的迭代法，初次接触迭代法，了解到迭代法就是构造一个无线的向量序列，使他的极限是方程组的解向量。迭代法应考虑收敛性与精度控制的问题。三种迭代方法的基本思想我已经掌握了，但是在matlab的编程中还存在很大的问题。在本节的学习中我认为我最大的问题还是程序的编写。通过这段时间的练习，虽然掌握了一些编写方法和技巧。相比于第一章是对其的应用熟练了不少，但在程序
3、编写上还存在很多问题。希望在以后的学习中能尽快熟练掌握它，充分发挥它强大的作用。二、 本章知识梳理2.1、Gauss消去法（次重点）Gauss消去法基本思想：由消元和回代两个过程组成。2.1.1顺序Gauss消去法（对方程组的增广矩阵做第二种初等行变换） 定理 顺序Gauss消去法的前n-1个主元素 (k=1,2,n-1)均不为零的充分必要条件是方程组的系数矩阵A的前 n-1个顺序主子式 消元过程：对于 k=1,2,n-1 执行 （1）如果则算法失效，停止计算，否则转入（2）。 （2）对于i=k+1,k+2,n,计算 回代过程： 2.1.2 列主元素Gauss消去法（把中绝对值最大的元素交换到
4、第k行的主对角线位置）（重点）定理 设方程组的系数矩阵A非奇异，则用列主元素Gauss消去法求解方程组时，各个列主元素(k=1,2,n-1)均不为零。消元过程：对于 k=1,2,n-1 执行 （1）选行号，使。 （2）交换A与b两行所含的数值。 （3）对于i=k+1,k+2,n,计算 回代过程： 2.2、直接三角分解法2.2.1Doolittle分解法与Crout分解法矩阵的三角分解 A=L U L-下三角阵，U-上三角阵Doolitte分解:L-单位下三角阵，U-上三角阵Crout分解：L-下三角阵，U-单位上三角阵 定理 矩阵A 有唯一的Doolitte分解的充分必要条件是A的前n-1个顺
5、序主子式不为0。 推论 矩阵A 有唯一的Crout分解的充分必要条件是A的前n-1个顺序主子式不为0。A的Doolitte分解的计算公式 对于k=1,2,n计算 2.2.2 选主元的Doolitte分解法 定理 若A非奇，则存在置换阵Q使QA能作Doolitte 分解，即 QA=LU 。其中 L是下三角，U是上三角矩阵。 解方程组的选主元Doolitte分解法步骤为(1)作分解：QA=LU；(2)求Qb；(3)解方程 Ly=Qb,Ux=y。 2.2.3 解三对角线性方程组的追赶法（了解）2.2.4对称正定矩阵的Cholesky分解平方根法（矩阵A的Cholesky分解）：对于正定矩阵A，若存在
6、下三角阵，使得即： 2.3矩阵的条件数与病态方程组2.3.1 矩阵的条件数与线性方程组的的性态矩阵条件数的定义 对于非奇异矩阵A称量为矩阵A的条件数，记作 常用的条件数为；矩阵A的条件数性质（1） 对于任何非奇异矩阵A，； （2）设A可逆，k0是常数，则有cond(kA)=cond(A)；（3）设A是非奇异的实对称矩阵，则，其中1，n分别是矩阵A的最大和最小的特征值；一般对任何可逆矩阵有（4）设A是正交矩阵，则；（5）若U是正交矩阵，则；（6）。2.3.2 线性方程组性态的定义 设线性方程组的系数矩阵A非奇异，若其条件数相对很大，则称此线性方程组是病态的；若条件数相对较小，则称此线性方程组是良
7、态线性方程组。 2.3.3病态线性方程组的求解 （1）先对方程组的形态进行判断； （2）然后求解。方法有高精度算术运算、平衡方法、残差校正法。2.4迭代法（重点）凡是迭代法都存在收敛性与精度控制的问题。2.4.1 迭代法的一般形式与收敛性 1.一般形式： 2.向量序列收敛（极限） （1）定义 按坐标收敛 （2）向量序列收敛的充要条件 按范数收敛 3. 矩阵序列的收敛（极限） （1） 定义 按坐标收敛 （2） 矩阵序列收敛的充要条件 按范数收敛 4.迭代收敛的条件（1） 谱半径：设n*n矩阵G的特征值是称为矩阵G的谱半径。（2） 迭代收敛的充要条件： （3） 迭代的充分条件：（4） 迭代终止的条
8、 （5）迭代收敛的速度 2.4.2 Jacobi迭代法迭代矩阵形式 基本思想：从线性方程组的第i个方程解出Xi(i=1,2,n)，将AX=b转化为同解方程组X=GX+d,从而构造迭代公式。Jacobi迭代收敛的条件：充要条件：充分条件：a.； b.A为主对角线按行（或列）严格对角占优阵。 引理 严格对角占优阵可逆。 定理 如果方程组(2.2)的系数矩阵A为主对角线按行（或按列）严格占优阵，则用Jacobi迭代法求解必收敛。2.4.3 Gauss-Seidel迭代（异步迭代法）迭代矩阵形式 重要条件： 充分条件：a. b.系数矩阵A为主对角线按行（或列）严格对角占优阵； c.系数矩阵A对称正定.
9、 2.4.4 逐次超松弛迭代法（SOR迭代）迭代矩阵形式为： 为实数，称为松弛因子。充要条件：必要条件：充分条件：a. b.系数矩阵A为主对角线按行（或列）严格对角占优阵，且 c.系数矩阵A为正定矩阵，3、 本章思考题 收敛速度与松弛因子的选择有关，如何选择松弛因子？有没有最优的松弛因子？答：通过学习我们知道SOR方法中的松弛因子的取值直接影响到算法的收敛性和收敛速度。松弛因子选取得当，可以加快收敛的速度，甚至可以使发散的迭代变成收敛。1.为保证迭代过程的收敛，必须要求而对于超松弛法取2.存在最优的松弛因子3.可以选取将松弛因子的区间（1,2）进行二等分松弛因子选中间值，选出较优的一个再进行二等分，逐次进行就能选取出最优的松弛因子。4、 本章预测题为解方程组 试写出一个必收敛的迭代公式，并说明收敛的理由。解：把原方程改写为： 由于此时的系数矩阵是主对角元素按行严格占优阵，固按此形式使用Jacobi迭代法必收敛，迭代公式为