《初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心.docx（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、三角形的四心定义：1 、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角 （ 原理：角平分线上点到角两边距离相等） 。2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。4、重心：重心是三角形三边中线的交点。三角形的外心的性质：1 . 三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2 三角形
2、的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3 . 锐角三角形的外心在三角形内 ;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。在 ABC中4.OA=OB=OC=R4 .BOC=2BAC， AOB=2AC，B COA=2CBA5 .S ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1 . 三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2 . 三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3 .r=2S/(a+b+c)4 .在 RtABC中,C=90, r=(a+b-c)/2.5.BOC = 90 +A/2 BO
3、A = 90 +C/2 AOC = 90 +B/25 .S =(a+b+c)r/2 (r 是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1. 锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。2. 三角形的垂心是它垂足三角形的内心; 或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。例如在 ABC中3. 垂心O关于三边的对称点，均在 ABC的外接圆圆上。4. ABC 中 ， 有 六 组 四 点 共 圆 ， 有 三 组 ( 每 组 四 个 ) 相 似 的 直 角 三 角 形 ， 且 AO?OD=BO?OE=CO?OF5. H、 A、 B、 C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形
4、的垂心(并称这样的四点为一垂心组 ) 。6. 4 ABC ABCO BC(O ACO勺外接圆是等圆。7. 在非直角三角形中，过。的直线交 AR AC所在直线分别于P、Q,则AB/AP?tanB+AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC8. 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 倍。9. 设O, H分另1J为A ABC的外心和垂心，贝U BAO=HAC ABH=OBC BCO=HCA10. 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的 2 倍。11. 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心; 锐角三角形的内接三角形( 顶点在原三角形的边上 ) 中，以垂
5、足三角形的周长最短。12. 西姆松 (Simson) 定理 ( 西姆松线 ) ： 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要 条件是该点落在三角形的外接圆上13. 设 锐 角 ABC 内 有 一 点 P ， 那 么 P 是 垂 心 的 充 分 必 要 条 件 是 PB?PC?BC+PB?PA?AB+PA?PC?AC=AB?B C?CA14. 设H为非直角三角形的垂心，且H E、F分别为H在BC, CA, AB上的射影，H1, H2,H3分另1为4 AEF, BDR CD国勺垂心，贝14 DE阵 H1H2H315. 三角形垂心H 的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。三角
6、形的重心的性质:1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2 ： 1。2. 重心和三角形3 个顶点组成的3 个三角形面积相等。3. 重心到三角形3 个顶点距离的平方和最小。4. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 重 心 的 坐 标 是 顶 点 坐 标 的 算 术 平 均 ， 即 其 坐 标 为 (X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系横坐标： (X1+X2+X3)/3 纵坐标： (Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标： (Z1+Z2+Z3)/35. 重心和三角形3 个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。6. 重心是三角形内到三边距离之积最大的点。三角形旁心的性质:1 、 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点， 该点即为三角形的旁心。2、每个三角形都有三个旁心。3、旁心到三边的距离相等。一个三角形有三个旁心，三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。而且一定在三角形外。精品资料