《人教版初中数学第二十七章相似知识点.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版初中数学第二十七章相似知识点.docx（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二十七章相似二、知识框架三、重点、难点1 .理解并相似三角形的 判定与性质2 .位似图形的有关概念、 性质与作图.3 .利用位似将一个图形 放大或缩小.4 .用图形的坐标的变化 来表示图形的位似变换.5 .把一个图形按一定大15-20 分.、目标与要求1 .掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似2 .能根据相似比进行计算.3 .通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义，领会特殊与一般的关系4 .能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力5 .能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力6 .通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并
2、领会特殊与一般的关系小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律.四、中考所占分数及题型分布本章会出1-2道选择、填空题，简答题必有一道三角形和相似形的综合题，本章约占第二十七章相似27.1 图形的相似1 .每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形2 .相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关3 .相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况4 .我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.5 .若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例全等形.例1:1 .从哈哈镜和平面镜中看见不同的镜像，是否相
3、似？2 .从放大镜或者望远镜中看见不同的镜像，是否相似？6.相似多边形对应角相等，对应边的比相等.对应边的比称为相似比.例2:在比例尺为1:的地图上，量的 A、B两地的距离为10cm,求两地的实际距离.解：地图与实际的环境是相似的，因此地图中的1cm相当于实际10000000cm,即100km.A、B两地相距10cm,相当于1000km.例3:如图27.1-1 ,四边形ABCD和EFGH相似，求角 八3的大小和EH的长度x.图 27.1-1解：四边形ABCD和EFGH相似，他们的对应角相等，因此可得C 83, A E 118o在四边形ABCD中，3600 78 83 11881四边形ABCD和
4、EFGH相似，他们的对应边相等，由此可得EHEF 日0 x 24ADAB 21 18解得x 28cm27.2相似三角形27.2.1 相似三角形的判定在4ABC 和 A BC,中，如果 A A, B B , CC, ABL -bct -AC. =k ,我们就说 ABC 和4AB BC ACA B C相似，记作 ABC s&ab C , k就是他们的相似比.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a=c （或a： b=c： d）,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段b
5、d例1.如图27.2-1 ,在 ABC中，点D是边AB的中点，DE/BC , DE交AC于点E, ADE与 ABC有什么关系？解：在 ADE与4ABC中， A AQ DE/BCADE B, AED C过点E作EF/AB , EF交BC于点F.在CBFED 中，DE=BF, DB=EF-1Q AD DB -AB2AD EF又 A 1, 2 CADEA EFC1 _ _1 AE=EC=在此处键入公式。AE EC -AC, DE FC BF - BC2 2-DJDE UDEZC在此处键入公式。？?？ ？?？ ADE和ABC的对应角相等，对应边的比相等ADEA ABC1 .平行于三角形一边的直线（或两
6、边的延长线）和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似例 2.如图 27.2-1 ,在 ABC 和 A B C中,图 27.2-1ABBCAC小一,求证 ABC 和 A BC 相似.A BBCAC证明：在线段 AB（或它的延长线）上截取 A D=AB ,过点D做DE/B C ,交AC于点E,根据前面的结论可得 ADEs A B CAE-! 1ACAC, A D=AB , AC. AE=ACAD DE i-r r AB BCAB BC 人i-r rAB BC.AE AC AC AC同理DE=BCA DEA ABC.ADEs A B C2 .如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相
7、似例 在4ABC 和AbC中，已知 AB=6CM , BC=8CM , AC=10CM , A B =18CM , B C =24CM , A C =30CM ,试 证明 ABC和 A B C相似.AB61 BC81 AC101证明：Q,一一一，-,AB183 BC243 AC303ABBCACABBCAC故4ABC和AA BC相似.例.设 ABC 与 DEF 中，AB:DE=AC:DF , /A=/D, ABC 与 DEF 有什么关系？解：把 DEF放到 ABC中与之重合. , AB:DE=AC:DF , . . EF/BC.，两个三角形三个角对应相等，故两个三角形相似3.如果两个三角形的两
8、组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似; 例.根据下列条件判断 ABC和 A BC,是否相似，并说明理由.(1) A 120, AB=7cm , AC=14cm , A 120, AB=3cm , AC=6cm(2) AB=4cm , BC=6cm , AC=8cm , A B =12cm , B C =18cm, A C =21cmAB7 AC7ABAC解：(1)Q一，_,一AB3 AC3ABAC又 AA - -A ABCA ABCAB41 BC61 AC8(3) Q -,-,-AB123 BC183 AC21AB BC ACA B BC AC ABC和AA B C的三组
9、对应边的比不等，它们不相似,那么这两个三角形相例.假设两个三角形的两组对应边的比相等，并且有一组角相等（不是这两边所夹的角） 似？ 解:情形一：当两个三角形同为锐角三角形时，可以推出它们相似.这个结论必须用正弦定理才好证明.（高中学习）情形二：当两个三角形同为直角三角形时，它们也相似.因为由勾股定理马上知道，两边对应成比例的直角三角形的第三边也必定成比例，于是由两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似情形三：当两个三角形同为钝角三角形时，它们不一定相似如图， ABC和4ADC中，AB=AD , AC是两个三角形的公共边，/ C 是两个三角形的公共角.但是二者显然不相似.4.如果一个
10、三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；例.如图，在 ABC 中，DE/ BC, EF / AB ,求证： ADEEFC.27.2.2 相似三角形应用举例27.2.3 相似三角形的周长和面积相似三角形周长的比等于相似比 .用类似的方法还可得出相似多边形的周长比等于相似比相似三角形面积比等于相似比的平方.相似多边形面积的比等于相似比的平方，一AB BC AC如果 ABC和 A B C相似，相似比为 k,那么 kAB BC AC_ _ _ 因此 AB kAB ,BC kB C , AC kAC ， ，ABBCACkA BkB CkAC,从叩；r；-kABBCACA BB
11、CAC由此我们得到：相似三角形周长的比等于相似比.用类似的方法，还可得出：相似多边形的周长比等于相似比.例.如图27.2 4ABCs abc,相似比为k,他们的面积比为多少?分另IRABC和aBC的高 AD和AD. ABD和 AB D都是直角三角形，并且B BABDA A B DAD AB kAD AB1 八1 Q -BC AD k BC k ADk2S ABC 22Q , , ,11AABCBC AD BC AD22相似三角形面积比等于相似比的平方.对于两个相似多边形，用类似的方法，能把他们分成若干个相似的三角形，因此可以得到 相似多边形面积的比等于相似比的平方例27.2在平行四边形 ABC
12、D中，AB=6 , AD=9 ,BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于F, BG XAE于G, BG 4亚,则 EFC的周长为？解：在平行四边形 ABCD中，叭尸 AB/CD，.一 BAE EFC ,又 Q BAE DAF ,/EFC DAF ,故 AD=DF=9 ,则 CF=DF-DC=3去六EAB EFC , AEB FEC ,? . EABAEFC,AB EA BE 6 2,又 BC=BE+CE=9 , . CE=3, BE=6.FCEFCE 3在RtABGE中，由勾股定理得，GE BE2 BG22 , AB=BE=6 ,BGXAE, AG=GE=2 , 一EA 一则 EA=AG+G
13、E=4 , EF - 22故 CF+CE+EF=3+3+2=8所以 EFC的周长为8.例27.2在4ABC中，点D、E分别在AB、AC上， AED B,如果AE=2 , ADE的面积为4,四边形BCED的面积为5,那么AB的长为多少？解：Q AED B, DAE CAB , .A ADEA ACB,Saade =4 , S 四边形 bced=5, . . Saacb=4+5=9 ,Sa ADE： SaACB=4 ： 9,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得相似比为2:3,即 AE:AB=2:3 ,故 AB=3.例 如图 27.2 在 CABCD 中，AE:EB=2:3 , DE 交 A
14、C 于点 F.(1) 求4AEF与4CDF的周长比；(2) 如果 SACDF=20cm2,求 Saaef.解：（1）二.四边形 ABCD是平行四边形，AB=CD , AB/CD ,EAF DCF, AEF CDF ,AEFACDF, AEF的周长_ AE 2.一.= - CDF的周长 CD 5(2)SX AEFSX CDF425 , Q SA CDF =20, Q SA AEF16527.3位似（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. I（3） 掌握位似图形概念，需注意：位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似 图形;两个位似图形的位似中心只有一个；两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧;位似比就是相似比.利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似例.如图，四边形 ABCD的坐标分别为 A (-6, 6), B (-8, 2), C (-4, 0), D (-2, 4),画出它的一个以原点 。为 1 一一位似中心，相似比为 1的位似图形2例.