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1、2010 年数学建模暑假模拟训练1题目编号： A论文题目： 泄洪设施修建计划模型参赛队员信息： 信息姓 名专业队员1李鹏程数学队员2吴鸣电气队员3赵亚莉数学泄洪设施修建计划模型摘要：问题一：首先，运用回归分析的方法对未来五年天然河流的泄洪量进行预测。通过观测图像走势，选取线性函数对1、3号天然河流可泄洪量拟合，指数函数对2、4号天然河流可泄洪量拟合。预测结果均通过了一致性检验，较好的对天然河流未来五年可泄洪量进行了预测。然后，本文以修建泄洪河道和排洪沟投资费用为目标函数，在未来五年整体泄洪能力和未来三年财政预算的约束条件下，建立非线性规划模型。运用Lingo软件进行优化求解，最省开支为：170
2、万元；三年内排洪沟和泄洪河道修建的具体方案如下：挖排洪沟编号修建泄洪河道投资（万元）2010年修建计划2号（7万）、5（6万）、6（5万）、8（3万）392011年修建计划3号（5万）532012年修建计划1号（5万）47问题二：考虑一个村庄的洪水可以向下游一个或数个村庄分流；上游的一个或数个村庄的洪水可以同时流向下游的一个村庄。在决策时，对于选择哪种方案应综合考虑增加泄洪量和增加河道长度所产生的成本大小。然后，本文以河道网投资费用为目标函数，在满足每个村庄通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时、且下游河道网必须承载上游的洪水量的要求下，建立非线性规划模型。运用Lingo软件进行优
3、化求解，投资最小费用为572万元，各村之间河道网修建方案如下：河道网1-32-73-74-55-86-57-89-710-8可泄洪量100100200100300100500100100表格说明：表中1-3表示从村庄1修建到村庄3的泄洪河道。问题三：由马尔科夫链的基本理论，显然维修人员转移路线所构成的马氏链具有遍历性，所以维修人员在各村留宿的概率分布是稳定。可以跟据马尔科夫链求平稳分布的方法，计算维修人员在各村留宿平稳分布。村庄概率0.0560.0560.1110.0560.1670.0560.2220.1670.0560.056问题四:泄洪河道不能很好的调节水资源的利用，干旱的季节无法存储一
4、定的水，而且此乡的村落分布杂乱，本文觉得更好的泄洪方案是：修建水库来进行调节，增大了调节能力，也降低了泄洪河道的泄洪压力，进而降低泄洪河道的泄洪成本，并且减缓河流泄洪能力的下降速，最后还能更好的调节水资源的利用。关键字： 非线性规划 0-1规划 回归分析 马尔可夫链1. 问题重述 位于我国南方的某个偏远贫困乡，地处山区，一旦遇到暴雨，经常发生洪涝灾害。以往下雨时，完全是依靠天然河流进行泄洪。2010年入夏以来，由于史无前例的连日大雨侵袭，加上这些天然河流泄洪不畅，造成大面积水灾，不仅夏粮颗粒无收，而且严重危害到当地群众的生命财产安全。 为此，乡政府打算立即着手解决防汛水利设施建设问题。从两方面
5、考虑，一是在各村开挖一些排洪沟,以满足近两三年的短期防汛需要；二是从长远考虑，可以通过修建新泄洪河道的办法把洪水引出到主干河流。经测算，修建新泄洪河道的费用为（万元），其中表示泄洪河道的可泄洪量（万立方米/小时），表示泄洪河道的长度（公里）。 请你们通过数学建模方法，解决以下问题：问题1：该乡的某个村区域内原有四条天然河流，由于泥沙沉积，其泄洪能力逐年减弱。在表1中给出它们在近年来的可泄洪量（万立方米/小时）粗略统计数字。水利专家经过勘察，在该村区域内规划了8条可供开挖排洪沟的路线。由于它们的地质构造、长度不同，因而开挖的费用和预计的可泄洪量也不同，详见表2，而且预计每条排洪沟的可泄洪量还会以
6、平均每年10%左右的速率减少。同时开始修建一段20公里长的新泄洪河道。修建工程从开工到完成需要三年时间，且每年投资修建的费用为万元的整数倍。要求完成之后，通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。 乡政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村开挖排洪沟和修建新泄洪河道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少达到可泄洪量150、160、170、180、190万立方米/小时的泄洪能力，请作出一个从2010年起三年的开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划，以使整个方案的总开支尽量节省（不考虑利息的因素在内）。表1 现有四条天然河道在近几年的可泄洪量（
7、万立方米/小时） 年份编号2001200220032004200520062007200820091号32.231.329.728.627.526.125.323.722.72号21.515.911.88.76.54.83.52.62.03号27.925.823.821.619.517.415.513.311.24号46.232.626.723.020.018.917.516.3表2 开挖各条排洪沟费用（万元）和预计当年可泄洪量（万立方米/小时）编号12345678开挖费用57546553当年泄洪量2536321531282212问题2：该乡共有10个村,分别标记为，下图给出了它们大致的相对地
8、理位置，海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的态势。 其中村距离主干河流最近，且海拔高度最低。乡政府打算拟定一个修建在各村之间互通的新泄洪河道网络计划，将洪水先通过新泄洪河道引入村后，再经村引出到主干河流。要求完成之后，每个村通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。表3 各村之间修建新泄洪河道的距离（单位：公里）2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 98 5 9 12 14 12 16 17 229 15 17 8 11 18 14 227 9 11 7 12 12 173 17 10 7 15 188 10 6 15 159 14 8 168
9、 6 1111 1110请你们根据表3中的数据，为该乡提供一个各村之间修建新泄洪河道网络的合理方案，使得总费用尽量节省。（说明：从村A村B的新泄洪河道，一般要求能够承载村A及上游新泄洪河道的泄洪量。）问题3：新泄洪河道网络铺设完成后，打算安排一位维护人员，每天可以从一个村到与之直接有新泄洪河道连接的相邻村进行设施维护工作，并在到达的村留宿，次日再随机地选择一个与该村直接有新泄洪河道连接的相邻村进行维护工作。试分析长此以往，他在各村留宿的概率分布是否稳定？问题4：你们是否能够为该乡提出一个更加合理的解决泄洪的办法？2. 模型假设1) 只要资金允许，在一年时间内可以完成任何工程量2) 每年财政拨款
10、仅限于当年使用3) 忽略新修人工泄洪河道泄洪量的变化4) 假设未来五年内降水稳定，不会出现大旱与洪水；3. 符号说明：第年投资费用；：0-1变量；：泄洪量；：泄洪河道长度；：维修人员从村到村的状态转移概率；：维修人员留宿村的平稳分布概率；4. 问题分析问题一：在时间可泄洪量坐标系中描出天然河流2001年到2009年的可泄洪量数据对应的各点，观察可泄洪量变化趋势。如图1图1显然，1号、3号自然河流可泄洪量随时间变化呈线性变化趋势，考虑使用一元线性回归方法分别拟合出1号、3号自然河流可泄洪量随时间变化函数以预测2010年到2014年该河流可泄洪量。而2号、4号成曲线型变化趋势，需要对数据进行变化。
11、在合理预测出2010年2014年自然河道可泄洪量之后，我们便可结合未来各年可泄洪量及财政拨款的约束，以投资费用最小为目标函数，结合0-1规划，将原问题转化为一般的线性规划问题。然后可以通过Lingo软件进行最优化求解，即可求出从2010年起三年内开挖排洪沟和修建新泄洪河道的计划。问题二：由于修建泄洪河道的费用为，它同时受泄洪量和河道长度的影响。于是有以下两种可能：第一种：村可以仅修一条泄洪河道连接下游某个村庄，村庄通过这条河道将上游流向村的洪水和村所产生的洪水排放到村庄，这种方案可以减少所修泄洪河道的长度，但是连接下游村庄的河道需要较大的泄洪量来承载上游村庄的洪水；第二种：村修若干条河道分别连
12、接下游数个村庄，这样可以分流每条河道所需的泄洪量，但是会增加所修河道的长度。在决策时，对于选择哪种方案应综合考虑增加泄洪量和增加河道长度所产生的成本大小。由于要求每个村庄通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的能力，且村庄泄洪河道必须能够承载连接该村的上游河道的泄洪量，从上游村流入村的洪水量，从村流向下游各村庄的总泄洪量，则由如下约束条件：则原问题转化为在满足上式约束时，建立总费用最少为目标的线性规划问题模型。进而利用Lingo软件进行求解，得出各村之间泄洪河道网络修建方案。问题三：设有限马氏链，若存在正整数使得。则该马氏链具有遍历性。对于一个具有遍历性的马氏链，考虑步转移概率，当
13、时，趋向于一个只与有关的常数，这表明经步状态转移后，马尔可夫链处于状态的概率几乎不依赖于开始时所处的位置。即是各状态的平稳分布概率。由于维护人员每天从一个村到与之直接连接的相邻村进行设施维护工作，次日随机选择一个与该村直接有新泄洪河道连接的相邻村进行设施维护工作。显然维修人员转移路线所构成的马氏链具有遍历性，所以可认为即为维修人员在各村留宿的稳定概率分布。通过具有遍历性的马氏链的平稳分布求解方程组：即可求出维修人员在各村留宿的稳定概率分布。问题四:在尽量节约成本的条件下，解决各村泄洪问题应将依赖天然条件的方案作为首选。例如：考虑四条天然河流路线，使各村庄尽量通过天然河道泄洪；增加对天然河道清淤
14、的预算，以保证天然河道泄洪量不会因泥沙淤积而减少；考虑地势和地质因素对成本的影响等。5. 模型建立与求解问题一：从2010年起三年内开挖泄洪沟和修建新泄洪河道计划5.1 采用回归分析方法预测天然河道未来五年的泄洪量5.1.1 线性回归分析的原理：设时间与泄洪量之间存在线性相关关系。时间是可控制的变量, 泄洪量是随机变量, 通过实验测得数据组用线性方程来描述与之间的关系。其中参数是未知的待定常熟，用最小二乘法确定；是随机因素对泄洪量的影响，即随机误差。为便于作估计和假设检验，总是假设，即，则随机变量。用最小二乘法估计的值，取的一组估计值使其随机误差的平方和达到最小，即使与的拟合最佳。若记则显然且
15、关于可微，则由多元函数存在极值的必要条件得即求解可得：其中，。5.1.2 1号天然河流未来五年可泄洪量预测基于5.1.1所述一元线性回归分析原理，利用Matlab软件对1号天然河流进行拟合，得出如下回归分析方程：年份201020112012201320141号天然河流21.447220.245619.043917.842216.6406表15.1.3 3号天然河流未来五年可泄洪量预测基于5.1.1所述一元线性回归分析原理，利用Matlab软件对3号天然河流进行拟合，得出如下回归分析方程：年份201020112012201320143号9.13067.04564.96062.87560.7906
16、表25.1.4 对2号天然河流未来五年可泄洪量预测年份201020112012201320142号1.43911.06570.78910.58440.4327表35.1.5 对4号天然河流未来五年可泄洪量预测基于5.1.1所述一元线性回归分析原理，利用Matlab软件对4号天然河流进行拟合，得出如下回归分析方程：年份201020112012201320144号14.134113.196812.323911.509710.7497表4绘制原始数据图形，和拟合曲线对比如下： 图2从图形可以看出原始数据和拟合结果吻合的还是非常好的：5.2 三年内排洪沟与新河道修建计划5.2.1 2010年总投资费用
17、及总泄洪量开挖排洪沟的费用：新修排洪沟泄洪量：开挖新泄洪河道长度：开挖新泄洪河道总投资：当年形成总泄洪能力：当年总投资：5.2.2 2011年总投资费用及总泄洪量开挖排洪沟的费用：新修排洪沟泄洪量：开挖新泄洪河道长度：开挖新泄洪河道总投资：当年形成总泄洪量：当年总投资：5.2.3 2012年总投资费用及总泄洪量开挖排洪沟费用：排洪沟泄洪能力：开挖新泄洪河道长度：开挖新泄洪河道总投资：当年形成总泄洪能力：当年总投资：5.2.4 2013年总的泄洪能力泄洪河道完工，它所形成的泄洪量：当年形成总泄洪能力：5.2.5 2014年总的泄洪量当年总泄洪能力：5.2.6 建立模型通过上述对前三年各年总投资及
18、五年总泄洪量的分析，得出原问题的最优化模型：5.2.7 模型求解用Lingo软件对上述线性规划问题进行优化，得出修建计划如下：总费用：表5 修建计划挖排洪沟编号修建泄洪河道投资（万元）2010年修建计划2号（7万）、5（6万）、6（5万）、8（3万）392011年修建计划3号（5万）532012年修建计划1号（5万）47问题二：各村之间修建新泄洪河道网络方案5.3.1 模型建立仅考虑地势因素，水只能从地势高的地方流向地势低的地方。以村为研究对象，村庄上游的任何一个村庄的洪水都可以流入村，村庄得洪水可以流入其下游任何一个村庄。令则得到如下矩阵：以村为研究对象，令则得到如下矩阵：由于每个村庄通过新
19、泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的能力，且村庄泄洪河道必须能够承载连接该村的上游河道的泄洪量，从上游村流入村的洪水量，从村流向下游各村庄的总洪水量，则由如下约束条件：则原问题转化为在满足以上式约束时，以总费用最少为目标的优化问题。建立模型如下：5.3.2 模型求解用Lingo软件对上述线性规划问题进行优化，得出修建各村之间修建新泄洪河道网络的方案如下：河道网1-32-73-74-55-86-57-89-710-8流量100100200100300100500100100表6说明：表6中1-3表示从村庄1修建到村庄3的泄洪河道。图3问题三：维修人员留宿各村概率的平稳分布5.4.1 背
20、景知识设有限马氏链，若存在正整数使得。则该马氏链具有遍历性。对于一个具有遍历性的马氏链，考虑步转移概率，当时，趋向于一个只与有关的常数，这表明经步状态转移后，马尔可夫链处于状态的概率几乎不依赖于开始时所处的位置。即是各状态的平稳分布概率。5.4.2 模型建立维护人员从一个村到与之直接有新泄洪河道连接的相邻村进行设施维护工作，并在到达的村留宿，次日再随机地选择一个与该村直接有新泄洪河道连接的相邻村进行维护工作。根据问题三给出的各村之间修建新泄洪河道网络的方案，可知维护人员的转移路线如下图所示。图4维护人员留宿的十个村就是建立的马氏链模型的十个状态，用随机变量表示维护人员所处的状态，则可以取10个
21、离散值，记，即状态概率，维护人员在村的概率。维修人员在第天的状态只与前一天的状态有关，所以记维修人员在各状态之间一步转移矩阵为。由前文所给出的维护人员转移路线可以给出：维修人员转移路线所构成的马氏链具有遍历性，所以可认为即为维修人员在各村留宿的稳定概率分布。所以维修人员在在各村留宿概率的平稳分布求解模型为：5.4.3 模型求解利用软件对上述模型进行求解（），维修人员在在各村留宿概率的平稳分布如下表：村庄概率0.0560.0560.1110.0560.1670.0560.2220.1670.0560.056问题四更加合理的解决泄洪方法：第一问与第二问是对此政府定定好建立方案后的具体优化，总体来说
22、都是考虑修建排洪沟以及新河道的方法措施来达到排洪目标，这个修建方案在前面的两问中已经得出了最佳建设方案。对于此种这种拟定新建河道计划仍有很大的不足之处：1、就成本上来考虑来说，随着流量的增大，所需要的资金数量也会增大，成本增加。2、就调节能力来说哦，当遇到降水特别大的年份时，泄洪河道的弹性就会产生很大的不足；3、泄洪河道不能很好的调节水资源的利用，干旱的季节无法存储一定的水；而且此乡的村落分布杂乱，为此本文觉得应该考虑更好的方案就是修建水库来进行调节，增大了调节能力，也降低了泄洪河道的泄洪压力，进而降低泄洪河道的泄洪成本，而且还能更好的调节水资源的利用。对于水库的修建，需要考虑以下因素，地形，
23、蓄水量，选址，与之泄洪河道的修建等，以最终的成本为目标来进行方案的规划。这里做如下假设：水库选址选在此项的中间区域，对上游的泄洪祈祷缓冲作用，水流入水库后可以调节，达到规定存储量后才会泄洪；从而有效的环节泄洪沟的泄洪压力，由于水库的蓄水能力，能够使下游的排洪沟的泥沙减少量在一定程度上减缓，从而更进一步降低泄洪成本，与此同时提高对水资源的利用率。然后基于水库的修建重新排布泄洪沟道皆可，对于限制调节，水库的成本核算，蓄水能力，需要具体相关数据，来作为具体约束，最终达到合理的泄洪设施布局修建优化。6. 模型评价（1）模型优点：本文首先采线性用回归分析与指数拟合两种方法对天然的河的泄洪能力做出了客观合
24、理的预测。对不同变化趋势的河流采取不同的方案预测，较好的对未来进行预测。再确定最优的修建方案时主要采用非线性规划与零一规划，通过零一变量的灵活使用，很好的得出了最优的修建方案。通过非线性规划的优化模型精炼合理，便于通过程序实现，具有很大程度上的通用性。而且，本模型很容易根据实际情况的变化而调整，非常便于同类问题的推广。（2）模型缺点：本文的优化模型没有将新建的河道衰减考虑在内，而且也理想化的认为了施工进度至于资金到位与否有关，忽略了相关的其他次要因素在某种程度上造成的的偏差，使得模型的抗干扰性略微的降低。参考文献1 姜启源 邢文训，谢金星，杨顶辉，大学数学实验，北京：清华大学出版社，2005；
25、2 薛定宇 陈阳泉，高等应用数学问题的MATLAB求解，北京：清华大学出版社，2004；3 郭振明 丛望 ，电气拖动基础 ，哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社 2008；4 韩中庚 数学建模方法及其应用 高等教育出版社 20055 谢金星 薛毅 优化建模与lindo/lingo软件 20056 姜启源 数学模型 高教出版社 2002 7 刘焕彬等 数学模型预实验 科学出版社 2008附录一：天然河1、3泄洪量预测MATLAB源程序：load data1.mat x=1:9;p1=polyfit(x,y1,1);p2=polyfit(x,y2,1); x1=1:0.1:9;yy1=polyval(p1
26、,x1);yy2=polyval(p2,x1);plot(x,y1,o,x1,yy1)hold onplot(x,y2,o,x1,yy2)x2=10:14;y11=polyval(p1,x2);y22=polyval(p2,x2);one=y11;three=y22;附录二：天然河2、4泄洪量预测MATLAB源程序：load data2.mat % data2.mat为天然河二与河的原始数据x1=1:9;x2=1:8;x3=10:14;y11=fun1(x3);y22=fun2(x3);xx1=1:0.1:9;yy1=fun1(xx1);yy2=fun2(xx1);plot(x1,y1,o,x
27、x1,yy1)hold onplot(x2,y2,o,xx1,yy2)two=y11;four=y22;function b = fun1(a)b=29.02*exp(-0.3004*a);endfunction b = fun2(a)b=47.4*exp(-0.8609*a)+27.96*exp(-0.06828*a);end附录三：第一问的非线性规划lingo源程序与部分结果：源程序model:sets:year/1.3/:demand,new,nature,gouxie;gou/1.8/:pay,xie;link(year,gou):c; ! c(i,j)为零一变量，决定第i年建立沟j与
28、否；endsetsdata:demand=150,160,170;nature=46.15,41.55,37.12;pay=5,7,5,4,6,5,5,3;xie=25,36,32,15,31,28,22,12;enddatamin=sum(link(i,j):pay(j)*C(i,j)+139;for(year:gin(new);new(1)+new(2)+new(3)=139;gouxie(1)=sum(gou(j):c(1,j)*xie(j);for(year(k)|k#gt#1: gouxie(k)=gouxie(k-1)*0.9+sum(gou(j):c(k,j)*xie(j);fo
29、r(year(i): gouxie(i)+nature(i)demand(i);for( link: bin(c) );for(year(i):sum(gou(j): c(i,j)*pay(j)+new(i)60);for( gou(j):sum( year(i):c(i,j) )=1 ); end 部分运行结果： Global optimal solution found. Objective value: 170.0000 Objective bound: 170.0000 Infeasibilities: 0.2842171E-13 Extended solver steps: 99 T
30、otal solver iterations: 1140 Variable Value Reduced Cost DEMAND( 1) 150.0000 0.000000 DEMAND( 2) 160.0000 0.000000 DEMAND( 3) 170.0000 0.000000 NEW( 1) 29.00000 0.000000 NEW( 2) 55.00000 0.000000 NEW( 3) 55.00000 0.000000 NATURE( 1) 46.15000 0.000000 NATURE( 2) 41.55000 0.000000 NATURE( 3) 37.12000
31、0.000000 GOUXIE( 1) 107.0000 0.000000 GOUXIE( 2) 128.3000 0.000000 GOUXIE( 3) 140.4700 0.000000 PAY( 1) 5.000000 0.000000 PAY( 2) 7.000000 0.000000 PAY( 3) 5.000000 0.000000 PAY( 4) 4.000000 0.000000 PAY( 5) 6.000000 0.000000 PAY( 6) 5.000000 0.000000 PAY( 7) 5.000000 0.000000 PAY( 8) 3.000000 0.000
32、000 XIE( 1) 25.00000 0.000000 XIE( 2) 36.00000 0.000000 XIE( 3) 32.00000 0.000000 XIE( 4) 15.00000 0.000000 XIE( 5) 31.00000 0.000000 XIE( 6) 28.00000 0.000000 XIE( 7) 22.00000 0.000000 XIE( 8) 12.00000 0.000000 C( 1, 1) 0.000000 5.000000 C( 1, 2) 1.000000 7.000000 C( 1, 3) 0.000000 5.000000 C( 1, 4
33、) 0.000000 4.000000 C( 1, 5) 1.000000 6.000000 C( 1, 6) 1.000000 5.000000 C( 1, 7) 0.000000 5.000000 C( 1, 8) 1.000000 3.000000 C( 2, 1) 0.000000 5.000000 C( 2, 2) 0.000000 7.000000 C( 2, 3) 1.000000 5.000000 C( 2, 4) 0.000000 4.000000 C( 2, 5) 0.000000 6.000000 C( 2, 6) 0.000000 5.000000 C( 2, 7) 0
34、.000000 5.000000 C( 2, 8) 0.000000 3.000000 C( 3, 1) 1.000000 5.000000 C( 3, 2) 0.000000 7.000000 C( 3, 3) 0.000000 5.000000 C( 3, 4) 0.000000 4.000000 C( 3, 5) 0.000000 6.000000 C( 3, 6) 0.000000 5.000000 C( 3, 7) 0.000000 5.000000 C( 3, 8) 0.000000 3.000000附录四：第二问的非线性规划lingo源程序与结果：源程序：model:sets:c
35、ountry/1.10/;road(country,country)/1,3 1,4 1,5 1,7 1,8 1,102,1 2,3 2,4 2,5 2,7 2,8 2,9 2,103,4 3,5 3,7 3,8 3,104,5 4,85,86,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,7 6,8 6,9 6,107,4 7,5 7,8 7,109,3 9,4 9,5 9,7 9,8 9,1010,5 10,8/:length,xie,c; !c(i,j)为零一变量决定了从村i到村j建立沟与否endsetsdata:length=5 9 1212 16 228 9 1517 11 18 14 227 9 7 12 173 7614 8 11 17 8 914 8 1610 10 8 1112 15 15 6 11 1015 11;enddatamin=sum(road: 0.66*xie0.51*l