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1、椭圆的方程及性质一、椭圆的定义1、一动圆与已知圆及圆相内切，则动圆圆心的轨迹方程为 变式：（1）已知圆及圆，动圆与二圆相内切，则动圆圆心的轨迹方程为 （2）方程化简后得到的曲线方程为 2、已知为椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，若，则的长为 变式：（1）已知椭圆的两焦点为，点满足，则的取值范围是 （2）已知分别是椭圆的左右焦点，是椭圆上的任意一点，则的取值范围是 3、设为椭圆上的点，分别为左右焦点，若，那么的面积为 变式：（1）设分别为椭圆的左右焦点，是椭圆上的点，当的面积为时，向量和的数量积为 （2）已知是椭圆上的动点，分别为左右焦点，则的取值范围是 二、椭圆的标准方程1、与椭圆有相同
2、的焦点，长轴与椭圆相等的椭圆的标准方程为 变式：过点且与有相同焦点的椭圆的标准方程为 2、与椭圆有相同的离心率，且过点的椭圆方程为 变式：已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为，则椭圆的方程为 3、已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 变式：（1）若椭圆的离心率，则实数的值为 （2）若方程表示的图形是椭圆，则实数的范围是 （3）已知，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 三、椭圆的离心率及范围1、已知椭圆的左焦点为，点分别是其左顶点和上顶点，若到直线的距离为，则椭圆的离心率为 变式：（1）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上且轴
3、，直线交轴与点，若，则椭圆的离心率为 （2）椭圆中，是左顶点是右焦点，是短轴的一个端点，若，则椭圆的离心率为 2、已知是椭圆上不在轴上的点，是其焦点，设，,则 变式：（1）设是以为焦点的椭圆：上的一点，若，并且，则此椭圆的离心率为 （2）已知椭圆方程为，两焦点为，为椭圆上的一点，且，=，则椭圆的离心率为 3、设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于两点，若直线的倾斜角为，且，则椭圆的离心率为 变式：已知椭圆的离心率为，过其右焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则的值为 4、设椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点，使得=，则椭圆的离心率的范围是 变式：（1）设椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点，使得
4、=，则椭圆的离心率的范围是 （2）设椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点，使得=，则椭圆的离心率的范围是 （3）椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，且，则椭圆的离心率的范围是 5、已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在一点，令，满足，则椭圆的离心率的范围是 变式：椭圆的左右焦点分别为，为右准线上一点，若线段的垂直平分线恰过点，则椭圆的离心率的范围是 6、已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上任意一点，且的最大值的取值范围是，其中，则该椭圆的离心率的范围是 7、椭圆中心在原点，焦点在轴上，过椭圆的左焦点的直线交椭圆与两点，且，则此椭圆的离心率的范围是 四、与椭圆相关的范围问题1、若点在椭圆
5、上，则的范围是 变式：已知实数满足，则的取值范围是 2、函数的值域为 变式：函数的值域为 3、设椭圆恒过定点，则椭圆中心到准线的距离的最小值是 变式：（1）若点和分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上任意一点，则的最大值为 (2)若点为椭圆上一点，是椭圆的左右焦点，且，则的最小值为 4、若是椭圆上不重合的两点，若点满足，则实数的范围是变式：已知圆，定点，是圆上一动点，点在线段上，点在线段上且满足，点的轨迹为曲线。（1）求曲线的方程。（2）若过定点的直线交曲线于不同的两点，且满足，求的范围。五、椭圆的第二定义与焦点半径1、已知为椭圆上在第一象限内的点，它与焦点的连线垂直，则到两准线的距离为 变式：
6、（1）已知是椭圆上的一点，它到右焦点的距离是到左焦点的距离的倍，则点的横坐标为 （2）已知点是椭圆上的一点，分别是椭圆的左右焦点，且，若到两准线的距离分别为，则此椭圆的方程为 2、设为椭圆的右焦点，定点，点在椭圆上，则的最小值为 变式：已知分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆内，为椭圆上的动点，则的最小值为 六、椭圆与直线的位置关系1、直线与焦点在轴上的椭圆恒有公共点，则实数的范围是 变式：（1）直线x-y-m=0与椭圆且只有一个公共点,则m的值是 （2）椭圆上的点到直线的最大距离是 2、椭圆过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，（1）求椭圆的方程。（2）求的平分线的方程。变式：已知椭圆，过点作
7、圆的切线，切点分别为（1）求直线的方程。（2）若直线恰好经过椭圆的左焦点和下顶点，求椭圆的标准方程。3、过点M（2，0）的直线m与椭圆交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为 变式：椭圆与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.（1）求的值；（2）若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴的取值范围.七、椭圆中的定点问题1、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的最大距离为，最小距离为。（1）求椭圆的方程。（2）若直线与椭圆交于两点（不为左右顶点）且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。变式：已知左焦点为的
8、椭圆过点。过点分别作斜率为的椭圆的动弦，设分别为线段的中点。（1）求椭圆的标准方程。（2）若点恰为线段的中点，求。（3）若，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标。2、如图，在平面直角坐标系中，椭圆:的焦距为2，且过点。（1）求椭圆的方程 （2）若点分别为椭圆的左右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于的任意一点，直线交于点。设直线的斜率为,直线的斜率为，求证为定值。设过点且垂直于的直线为，求证：直线过定点，并求出定点的坐标。变式：在平面直角坐标系中，椭圆过点和点。（1）求椭圆的方程。（2）已知点在椭圆上，为椭圆的左焦点，直线的方程为。求证：直线与椭圆有唯一的公共点。若点关于直线的对称点为，
9、求证：当点在椭圆上运动时，直线恒过定点，并求出此定点的坐标。3、已知椭圆，过轴上一点作斜率为的直线与椭圆交于两点，点为点关于轴的对称点，求证，直线恒过定点，并求出定点的坐标。变式：已知椭圆，过定点作的直线与椭圆交于两点，点为点关于轴的对称点，求证，直线恒过定点。八、椭圆中的定值问题1、已知点是椭圆上的一点，分别是椭圆的左右焦点，若的斜率为，的斜率是，则的值为 变式：（1）已知椭圆过点，离心率为，分别是椭圆的左右焦点，点是直线上且不在轴上的点。（1）求椭圆的方程。（2）设直线的斜率分别为、，求证：的值为定值。（2）已知椭圆两焦点在轴上，短轴长为，离心率为，点是椭圆上在第一象限内的点，且，过作关于
10、直线的两直线分别交椭圆于两点。（1）求点的坐标。（2）求证：直线的斜率为定值。2、在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为，过焦点倾斜角为的直线与椭圆交于两点。（1）求椭圆的方程。（2）若=90时，求的值。（3）试判断的值是否与的大小无关，并证明你的结论。变式：在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点，离心率为，分别过点的两条弦相交于点（异于两点）且。（1）求椭圆的方程。（2）求证直线的斜率之和为定值。3、已知直线与椭圆相交于两点，已知点，求证：为定值。变式：在平面直角坐标系中，椭圆。（1）若椭圆的焦点在轴上，求实数的取值范围。（2）若是椭圆上的动点，的坐标为，求的最小值及对应点的坐标。过椭圆的右
11、焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，试问是不是定值。九、椭圆中的存在性问题1、已知椭圆分别是椭圆的左右焦点，短轴的两个端点为，且四边形是边长为2的正方形。（1）求椭圆的方程。（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接交椭圆于点，证明：为定值。（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点使得以为直径的圆恒过直线的交点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由。变式：(1)已知椭圆，过点的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为。（1）求椭圆的方程。（2）斜率大于0的直线过与椭圆交于两点，若求直线的方程。是否存在实数，直线交椭圆于两点，使以为直径的圆过点？若存
12、在，求出的值，若不存在，说明理由。（2）已知椭圆经过点且离心率为，直线的方程为。（1）求椭圆的方程。（2）是经过椭圆的右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记的斜率分别为，问是否存在常数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。十、综合运用1、设，分别是椭圆的左右顶点和上顶点，直线与圆相切。（1）求证：。（2）是上异于的点，直线的斜率之积为，求椭圆的方程。（3）若直线与椭圆交于两点，且，试判断直线与圆的关系。2、如图，在平面直角坐标系中，已知点为椭圆的右顶点，点，点在椭圆上， （1）求直线的方程。（2）求直线被过三点的圆截得的弦长。（3）是否存在分别以为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出两个圆的方程，若不存在，说明理由。3、在平面直角坐标系中，已知椭圆，点分别是其左右顶点，分别是椭圆的左右焦点，以点为圆心，为半径作圆，以点为圆心，为半径作圆。若直线被圆和圆截得的弦长之比为。（1）求椭圆的离心率。（2）若，问是否存在点使得过点有无数条直线圆和圆截得弦长之比为？若存在，求出所有点的坐标，若不存在，说明理由。4、在平面直角坐标系中，椭圆的左右焦点分别为，已知点和点都在椭圆上，其中为椭圆的离心率。（1）求椭圆的方程。（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线和平行，与交于点。若，求直线的斜率。求证：是定值。9