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1、第三章 刚体定轴转动基本要求一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度、角加速度的概念及运动学公式。二、理解转动惯量的物理意义，并会计算简单形体对某轴的转动惯量。三、掌握刚体的定轴转动定律及应用。四、会计算刚体的转动动能及重力势能，能正确应用转动动能定理和机械能守恒定律。五、会计算冲量矩、刚体对固定轴的角动量，能正确应用角动量定理和角动量守恒定律。内容提要一、刚体的运动形式刚体 任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化模型） 。刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变，有关质点系的规律都可用于刚体。刚体的平动在运动中，如果连接刚体内任意两点的直线在各个时刻的位置都彼此平行，则这样的运
2、动称为刚体的平动。平动是刚体的基本运动形式之一，刚体做平动时，可用质心或其上任何一点的运动来代表整体的运动。刚体的转动如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，称刚体的转动。转动也是刚体的基本运动形式之一。转动中最基本的是定轴转动， 即运动中各质点均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。一般运动 刚体不受任何限制的任意运动 , 称为刚体的一般 运动，它可视为平动和转动的叠加。3.刚体转动的描述角速度矢量 3 ddt角速度的方向：在转轴上画一有向线段，其长度按一定比例 代表角速度的大小，它的方向与刚体转动方向之间的关系按右手 螺旋定则来确定，即使右手螺旋转动的方向和刚体的转
3、动方向一 致，则螺旋前进的方向就是角速度的方向。角加速度矢量3 dt定轴转动时，刚体上各点都绕同一轴作圆周运动，任一点的 线速度与角速度的关系为：v a r二、刚体的转动惯量和转动动能转动惯量刚体转动惯性大小的量度。 2Imi ri1质量连续分布刚体的转动惯量：I r2dm r2 dV转动动能Ek -1 22三、刚体的定轴转动定律转动刚体的第一定律一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩等于零时，它将保持原有的角速度不变。转动刚体的第二定律刚体转动的角加速度与合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。dt 四、力矩的功力矩 M r F力矩的大小：M rF sinr0F其中ro rsin称力臂
4、，为r与F之间的夹角。力矩的功力矩的空间积累效应。dW Md 0、 ,一一,2变力矩的功W Md1五、刚体定轴转动中的动能定理合外力矩对绕定轴转动的刚体做作功的代数和等于刚体转动 动能的增量。1cleW I 2 I 12 或 W Ek2 Eki2 2六、刚体的重力势能刚体在重力场中，具有重力势能。刚体的重力势能为：Ep mghche为质心的高度。七、冲量矩和角动量冲量矩力矩对时间的积累效应。t Mdt to角动量 L Ico ,方向与角速度方向一致。质点的角动量L r mv ,其中m、v、r分别为质点的质量、速度与转轴到速度方向的距离。质点作匀速率圆周运动时，角动量的大小、方向均不变。八、刚体
5、定轴转动的角动量定理刚体受到合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量。t2M dt IgJ2 IcoiL2Litl九、刚体定轴转动的角动量守恒定律当刚体受到的合外力矩为 0时，刚体的角动量守恒。即若M外=0,则I =常数。角动量守恒定律是物理学的基本定律之一。它不仅适用于宏 观体系，也适用于微观体系，而且在高速、低速范围均适用。解题方法与例题分析、转动惯量的计算非连续刚体的转动惯量由求和法计算，连续刚体的转动惯量 由积分法计算。对于有些问题，利用转动惯量的叠加性和平行轴 定理计算比较方便。图31例1计算质量为m,半径为R的均 匀圆盘绕中心轴 C的转动惯量。解 在离车t轴r至r dr处取一小 环，面
6、积为ds 2 rdr ,质量为dm ds, 其中为圆盘的质量面密度由转动惯量的定义1cr2dmr22 rdr 20 r3dr12mR2例2计算质量为m,长为l的均匀杆绕轴C和轴A的转动惯量。dxA -Cm图32解在杆上取一长度元 dx,离转轴 的距离为x,质量为dm= ?dx,其中入为杆的质量线密度在m/l ,由转动惯量的定义21/221312对 C 轴：1c r dm r dr l 一ml 1/21212对 A 轴：ia r 2dm r2 dr - l3 - ml2 033靠近轴的质元受阻力矩小,二、力矩的计算例3 匀质细杆长为l, 质量为m,在摩擦系数为 科的水 平桌面上转动，求摩擦力的力
7、矩M阻。解杆上各质元均受摩擦力 作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同,远离轴的质元受阻力矩大。在杆上离转轴的距离为x处取一长度为dx的质元，质元质量dm dx,其中入为杆的质量线密度mo则质元所受阻力矩为ldM 阻 gxdm细杆所受的阻力矩为l12M 阻 dM 阻 n gxdx 一 gl02由细杆质量m l1 .有M阻一mgl2三、应用转动定律的解题方法解题步骤：1.确定研究对象；2.受力分析（只考虑对转动有 影响的力矩）；3.列方程求解（平动物体列牛顿定律方程，转动刚 体列转动定律方程，并列出角量与线量关系 ）。例4长为1,质量为m的细杆，初始时的角速度为 疑，由 于细杆与桌面的摩擦，经过时间t
8、后杆静止，求摩擦力矩 M阻。解 以细杆为研究对象，只有摩擦阻力产生力矩，由匀变速 转动公式：有0 t 0即一t细杆绕一端的转动惯量I 1ml23则摩擦阻力矩为：M阻I 1ml2，-ml2 03 t 3t例5 质量为mi和m2的两个物体跨在定滑轮上， m2放在光 滑的桌面上，11轮半径为 R,质量为Mo求mi下落的加速度和绳 子的弓力Ti、T20解受力分析：以mi为研究对象mig Ti ma以m2为研究对象T2 m2 a以M为研究对象(Ti T2)R Ii 2I -MR22补充方程a R联立上述四个方程，求解得mugmi m2 M /2m1(m2 M /2)gTi mi m2 M / 2T2mi
9、m2gm1m2M / 2讨论：当 M=0时(忽略滑轮质量)Timim2 g12m1m2例6如图35 (a)所不，质量为m =ikg的物体悬挂在定滑轮上，滑轮的半径R = 0.2m ,物体距地面的高度为 h =1.5m,由 静止(v=0)下落到达地面所用的时间为t =3s。设绳轮间无相对滑动，绳不可伸长，求轮对O轴的转动惯量入Rm小 V0= 0mg(a)(b)图35(c)解受力分析, 以滑轮为研究对象 以m为研究对象如图 35 (b)、(c)所示:T R Img T ma运动学关系aR12h at2联立解得I事i)mR229.8 3222(1) 1 0.221.14kg m22 1.5四、应用转
10、动动能定理的解题方法解题步骤：1.确定研究对象；2.受力分析，确定做功的力矩;3.确定始末两态的动能；4.由转动动能定理列方程求解。 例7 细杆质量为m,长度为l, 一端固定在轴上，静止从水平位置摆下，如图306所示。求细杆摆到铅直位置时的角速度。解以杆为研究对象，只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化而变化，有重力矩做作功：90图 3 6W重 0 Md90l1mg cosd mgl0221 c始末两态动能为：Ek- I2 ,Ek0 02由动能定理：W Ek Ek0即；mgl f 2 0由 I 1ml2 ,有 mgl (-ml2) 2322 3所以五、应用机械能守恒定律的解题方法例8如图37所示
11、的物体 系中，倔强系数为k的弹簧开始时 处在原长，定滑轮的半径为 R,转 动惯量为I。质量为m的物体从静 止开始下落，求下落高度h时物体 的速度v。解在物体m下落过程中只有重力和弹力保守力做功， 物体系图37机械能守恒。选择弹簧原长为弹性势能零点，物体下落 点。h时为重力势能零mgh 1mv21212-I 5kh将v R代入上式，求解得2mgh kh2 v . m I/R2例9如图3 8所示，均匀直杆质 量为m,长为1,初始时棒水平静止。轴光滑，AO 1/4。求杆下摆到 角时的角速度 。解对于杆和地球系统，只有重力 做功，故机械能E守恒。初态 Eki0,令Epi 0末态E k2Ep21mg -
12、sinEoE1,2 lIo mg sin 024直杆的转动惯量为 OA段和OB段转动惯量的叠加，所以1 Io3l、21 3m一) 一(43 427, 2ml 48将代入，解得6gsin2. 7l六、应用角动量守恒定律的解题方法例10如图39所示，一质量 M,半径为R的圆柱，可绕 固定的水平轴 O自由转动。今有一质 量为m,速度为vo的子弹，水平射入 静止的圆柱下部(近似看作在圆柱边缘)，且停留在圆柱内(Vo垂直于转图39轴)。求:(1)(2) 解子弹与圆柱的角速度。该系统的机械能的损失。(1)子弹与圆柱发生完全非弹性碰撞，角动量守恒。设子弹与圆柱碰后角速度为122mvoR (MR2 mR2)
13、2mv0R122-MR mR 2(2)损失的机械能E -mv02 11 2 其中 22122MR2mR221211222E mvo -(-MR mR ) 22 2七、综合类题目m例11如图310所示，一质量为m的黏土块从高度 h处自由下落，黏于 半径为R,质量为M=2m的均质圆盘的P点，并开始转动。已知 =60 ,设转 轴O光滑，求：(1)碰撞后的瞬间盘的角速度0 c(2) P转到x轴时，盘的角速度 和角加速度 。解 (1)由m下落过程中：12mgh - mv有 v2gh对m +盘系统，碰撞 t极小，冲力远大于重力，故重力对O轴力矩可忽略，又外力对轴的力矩为零，故系统角动量守恒mvRcos I
14、 0又 I -MR2 mR2 2mR22由、得:2 gh:2gh-0cos 2R4R(2)对m + M +地球系统，只有重力做功， E守恒，令P、x 重合时Ep = 0,则1.21 2公mgRsin I o I22由、得gh, 2R22 cosgsin R4% 3R)由转动定律得M mgR gI 2mR2 2R例12如图311 (a)所示，一均质圆柱体的质量为m1,半径为R,用细绳悬挂一质量为 m2的重物，将重物由静止释放下 落并带动圆柱体转动。求重物下落h高度时的速率(所有摩擦力忽略不计)。(b)图 311解重物、圆柱体受力情况如图 定滑轮的运动方程分别为：311 ( b)所示，则重物和m2
15、g T m2aTR I a R2ImR2可解出重物下降的加速度为:m2g1 m1m22a为常量,即重物作匀变速运动。2vo 2ah ,而 vom2gh.2ah 2m1 2m2例13图 312又因碰撞完全弹性,因此系统的动能守恒。有长为l ,质量为mo的细棒，可绕垂直于一端的水平轴自由转动。棒原来处于平衡状态。现有一质量为m的小球沿光滑水平面飞来，正好与棒下端相碰（设碰撞完全弹性），使杆向上摆 到 60处，如图3 12所示，求小球的初 速度。解从小球和棒完全弹性碰撞上升到 60o处，问题可分为两个过程来讨论。第一过程：小球和棒完全弹性碰撞。取小球和棒为系统，因系统所受的合外力 矩为零，所以系统的
16、角动量守恒。即12mvol mvl -mol1 2一 mv02121 122mv(mol )22 3式中V0为小球的初速度，V和 分别为碰撞后小球的速度和棒的 角速度。第二过程：从碰撞后棒得到角速度，到它上升到60o处。取棒、地球为系统，因系统中无外力和非保守内力做功，所以系统的机械能守恒。即lo 1122mog -(1 cos60 ) -(-mol )22 3联立、和式解得VoM 3m12m“6gl一、选择题1、有两个半径相同、质量相同的细圆环，A环质量分布均匀， B环的质量分布不均匀。设它们对通过环心并与环面垂直的轴的 转动惯量分别为Ia和Ib,则应有。A. IaIb；B. Iam2。设绳子长度不变， 且绳子和滑轮间不打滑，滑轮可视为圆盘，试求mi和m2的加速度。5、长为I,质量为mo的细棒，可绕垂直于一端的水平轴自由 转动。棒原来处于平衡状态，现有一质量为m的小球沿光滑水平面飞来，正好与棒下端相碰(设碰撞为完全非弹性碰撞)使棒向 上摆到 30处，如图317所示，求小球的初速度。6、均匀细棒长L,质量为m,可绕通过。点与棒垂直的水平轴转动，如图318所示。在棒 A端作用一水平恒力 F=2mg,IOA L。棒在力F的作用下，由静止转过角度30 。求：3(1)力F所做的功；(2)若此时撤去力 F ,则细棒回到平衡位置时的角速度。