数理统计课后答案.docx

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1、数理统计一、填空题1、设X1,X2，Xn为母体X的一个子样，如果 g(X1,X2，Xn)则称g(Xi,X2，Xn)为统计量。不含任何未知参数2、设母体X N(R,。2),。已知，则在求均值 N的区间估计时，使用的随机变量为 3、设母体X服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5,则X的数学期望的置信水平为 95%的置信区间为 。115 . U0.025104、假设检验的统计思想是 。小概率事件在一次试验中不会发生5、某产品以往废品率不高于5%,今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%,此问题的原假设为。H0： p 九)=0.01, 则儿= iN (0,1

2、) = 4儿=z0.01.、n10162、11、假设子样X1,X2，X16来自正态母体N(N,。),令Y=3 Xi -4Z Xi ,则Y的 i 1i 41分布N(10,170 0 2)12、设子样X1,X2，X10来自标准正态分布母体 N(0,1), X与S2分别是子样均值和子10X2,若已知P(Y X) =0.01,则九=，=F0.01(1,9)样方差，令Y = XS 213、如果耳，肉都是母体未知参数 日的估计量，称 叫比其有效，则满足 cD): D遥)n -1_ _ _ _一一 一 ，22_ .2214、假设子样X1，X2，Xn来自正态母体N(N,。)，H =C (Xi书Xi)是仃 的一

3、i 1个无偏估计量，则C =1O2(n -1)15、假设子样X1,X2，X9来自正态母体N(N,0.81),测得子样均值x=5,则R的置信0 9度是0.95的置信区间为 。 5 09父U0 0253.16、假设子样 X1，X2，X100来自正态母体 N(N,。2), N与。2未知，测得子样均值2X =5,子样方差s =1 ,则N的置信度是0.95的置信区间为 。15 工 X t0.025(99),t0.025 (99) : Z0.0251017、假设子样Xi,X2，Xn来自正态母体N(N,。2) , N与仃2未知，计算得1 16一 Xi =14.75 ,则原假设Ho： N =15的t检验选用的

4、统计量为 。16 -答案为X -15、选择题1、下列结论不正确的是（） 设随机变量X,Y都服从标准正态分布，且相互独立，则X2 +Y2/2（2） X,Y 独立，X 72(10),X +Y ”(15)= Y 72(5) Xi,X2，Xn来自母体XN（d。2）的子样，X是子样均值,n则、.i =4 2(n)(Xi -X)22仃XX2，Xn与丫1,丫2,Yn均来自母体XN（N,O2）的子样，并且相互独立，X,Yn(Xi -X)2分别为子样均值，则 1n F(n -1,n -1)% (Y -Y)2iW2、设区，号是参数日的两个估计量，正面正确的是（） D） D遥），则称说为比其有效的估计量 D （耳）

5、 D遥），则称阴为比或有效的估计量 耳，耳是参数e的两个无偏估计量，D （卑） D偿），则称卑为比W有效的估计量3、设是参数9的估计量，且D（g A0 ,则有 （） 不是e2的无偏估计点是e2的无偏估计/不-一定是 日2的无偏估计件 不是102的估计量4、下面不正确的是（） Uy=Ua，12&n） = -（n）1 ti 式力=-L/n) Fig(n, m)=一F-.(m,n)5、母体均值的区间估计中，正确的是() 置信度1 一口 一定时，子样容量增加，则置信区间长度变长; 置信度1 口 一定时，子样容量增加，则置信区间长度变短; 置信度1 增大，则置信区间长度变短； 置信度1 口减少，则置信区

6、间长度变短。6、对于给定的正数 a , 0 a 1,设u值是标准正态分布的a上侧分位数，则有() P(U uot.) =1 -a-27、某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布P(|U |仃28、测定某种溶液中的水分，由它的9个测定值，计算出子样均值和子样方差X= 0.452%,s =0.037% ,母体服从正态分布，正面提出的检验假设被接受的是() 在 a =0.05 下，H0:=0.05% 在 a =0.05 下，H0:=0.03% 在 口= 0.25 下，Ho ： =0.5% 在= 0.25 下，Ho ：仃=0.03%9、答案为设子样X1,X2，Xn抽自母体X , 丫,丫2,Ym来自母体Y

7、 , X N(,a2)nv (Xi -L)2Y N(L,。2),则1m的分布为 (Yi 一)2i3 F(n,m) F(n -1,m -1) F(m,n) F(m-1, n -1)_1 n10、设X1,X2，Xn为来自X N(N52)的子样观察值， 匕。2未知，X=H Xi n v则仃2的极大似然估计值为no1 n (Xi -X) (x X) n i in i j1n2-(Xi -X)2 n - 1 i 41 n-(Xi -x) n - 1 i 4_1 n1 n_11、子样 X1,X2，Xn来自母体 X N(0,1) , X = Xi , S*2 =z (Xi -X)2 n i 4n - 1 i

8、4则下列结论正确的是()一 一一一一 n CCX nX N(0,1) X N(0,1) Xi2 72(n) 2 t(n1)i 1S212、假设随机变量 XN（1,22）,X1,X2，X100是来自X的子样，X为子样均值。已Y =aX +b N(0,1),则有() a = 5,b=5 a =5,b = 5 a = %,b = _% a = _%,b = %13、设子样X1，X2，Xn（n 1）来自标准正态分布母体 N（0,1）, X与S2分别是子样均值和子样方差，则有（）一一一一。0-X X N（0,1） nX N （0,1） ZXi2 *（n） *i 1S14、设子样X1,X2，Xn来自正态母

9、体N（t。2）, X与s2分别是子样均值和子样方差，则下面结论不成立的是（）X与S2相互独立X与（n -1）S2相互独立一、.1 nX与-z (Xi X)2相互独立二 T-1 nCX与(Xi N)2相互独立 二 id15、子样X1，X2,X3,X4,X5取自正态母体 N（t。2）, N已知，仃2未知。则下列随机变量中不能作为统计量的是（D X X1+X2-2N d15- o 5- oZ (Xi -X)2一工(Xi -X)2二 id3 id16、设子样X1，X2，Xn来自正态母体N（N尸2）, X与S*2分别是子样均值和子样方差，则下面结论成立的是（ 2X2 -X1 N(,二2)2一 F(1,n

10、 -1)_ S c_ X _ 一亍/ (n-1) -Jn 1 t(n 1)二2S17、答案设子样 Xi,X2，Xn来自母体X ,则下列估计量中不是母体均值N的无偏估计量的是()。 X X1+X2+Xn 0.1x(6Xi+4Xn) X1 + X2-X3218、假设子样 X1,X2，Xn来自正态母体N(N,o2)。母体数学期望 N已知，则下列估计量中是母体方差仃2的无偏估计是()_ 1 n一一 1n一一 1nO 1 no Z (Xi -X)2(Xi-X)2 z (Xi -i1)(Xi-N)2n i 4n -1 yn - 1 i 4n -1 i19、假设母体 X的数学期望 N的置信度是 0.95,置

11、信区间上下限分别为子样函数b(X1，Xn)与 a(X1，Xn),则该区间的意义是() P(a N b) =0.95 P(a X cb) =0.95 P(a cX b)=0.95 P(a 11)。3、X N(10,0.5) P(X _c) =0.05 = c=11.16 2母体XN(10,2), X1，X2，X8是来自X的子样，X是子样均值，若P(X c) =0.05,试确定c的值。X -10 4 N (0,1)2 n所以 P9.02 X 三 10.98=pj X 一10隹0.98工0.95= n =16设X1，X2，Xn来自正态母体 N(10,22), X是子样均值，满足P(9.02 X 10

12、.98) =0.95,试确定子样容量 n的大小。1625.5、Y1= Xi,Y2= XiY1-Y， N(140,152)得 PY1-Y2182 = 0.997i 1i =17假设母体X服从正态母体N(20,32),子样X1,X2，X25来自母体X，计算1625pfe Xi -E Xi l i 3i 37,1 n221_ 26、(1) ?=3140,夕=178320(2) ?= (为x) =198133n - 1 i 4假设新生儿体重 XN(N,。2),现测得10名新生儿的体重，得数据如下：3100 34802520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 32602(1)求

13、参数N和仃的矩估计；(2)求参数仃2的一个无偏估计。7、(1) EX =1 +6 故二X 1(2)似然函数L(x1,x2,xn；6)=cnn exi上口0xi i = 1,2, n其他nl(xi -3 e i -0应时间的估计误差不超过0.01秒，那么测量白子样容量 n最小应取多少9、(1)取检验统计量=10X N(Q1)min xi _ 二 i =1,2, n ,其他故队min(X1,X2，Xn)e6假设随机变量X的概率密度函数为f(x) =，设X1，X2，Xn来自母体0 x 0.62 ,故xX2，X1w仪，因此不能据此推断 卜=0成立(3) P|Xp1.15=1 26(1.15/10) -

14、1 =0.0003n =0.0003假设随机变量X N(N,1),X1,X2，k0是来自X的10个观察值，要在口 =0.01的水平下检验 H0： N=0, Hi： N#0 取拒绝域J0f = X |之c(1) c =？(2)若已知x=1，是否可以据此推断 0 =0成立？(豆=0.05)(3)如果以J = 1 X巨1.15检3叙H0 ： N = 0的拒绝域，试求该检验的检验水平a 。 X-5.2410、 H。： N=5.2, Hi： N=5.2 取检验统计量 U = N(0,1)nN(5.2,0.16),现在随Ja = |u|21.96答案：可认为现在生产的金属纤维的长度仍为5.2mm假设按某种

15、工艺生产的金属纤维的长度X (单位mm)服从正态分布机抽出15根纤维，测得它们的平均长度X = 5.4,如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的金属纤维的长度仍为5.2mm* *11、置信区间公式为得 29.31,30.69SS ,X t0.025(8), X t0.025 (8).n. n(2)检验 H：=31.5, H1 ： N #31.5取检验统计量T =X -31.5H。t(8)拒绝域J0t = |T户t0.025 答案：不能认为该地区九月份平均气温为31.50C(3)对于同一久而言，在显著水平 a拒名feH0： N =31.5与31.5在置信度为1 一汽的N 置信区间之外是一致的。某

16、地九月份气温 X N(N,。2),观察九天，得X=30C, s = 0.9C,求(1)此地九月份平均气温的置信区间；(置信度95%)(2)能否据此子样认为该地区九月份平均气温为31.50C (检验水平a =0.05)(3)从(1)与(2)可以得到什么结论？t0.025(8) = 2.306X -72H012、检验H：卜=72,儿：以72 取检验统计量T=1(9)S n拒绝域J = 彳T户t0025 答案：可认为患者的脉搏与正常成年人的脉搏有显著差异 .正常成年人的脉搏平均为 72次/分，今对某种疾病患者10人，测得脉搏为 54 68 65 7770 64 69 72 62 71,假设人的脉搏次

17、数 X N (卜尸2 ),试就检验水平 a =0.05下检验患者脉搏与正常成年人的脉搏有无显著差异?S*2 H013、（1） H0：仃12=仃；，H1：仃;#仃2 取检验统计量F =S1/*2F（4,3） S2拒绝域J） = f2F005（4,3）或F WFo95（4,3）答：可认为X1与X2的方差相等.（2） H。： 3=%, H1：丹#4 由X1X2的方差相等，*2*2取检验统计量 T = X1X2 。t（7）, $*2 = 61）S1 *52-1）S211 s*2n1 n2-2n1n2拒绝域jJr 3005 答：故可认为 “与X2的均值相等。设随机变量XiN（Ni,。i2）,Ni,仃i2

18、均未知，X1与*2相互独立。现有5个X1的观察值,*2_ _子样均值X1 =19,子样方差为Si =7.505,有4个X2的观察值，子样均值 X2=18,子样方差为s22 =2.593,（1）检验 X1 与 X2 的方差是否相等？a =0.1,F0.05（4,3）=9.12,F0.05（3,4） = 6.59（1） 在（1）的基础上检验 X1与X2的均值是否相等。（a =0.1）*214、H0：仃2 =822, H1：仃2 #822取检验统计量 X： 282J；z = ft2 2.7or 2 一19.02）答：故可认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性无显著变化假设某厂生产的缆绳，其抗拉强度X

19、服从正态分布 N （10600,822）,现在从改进工艺后生产的缆绳中随机抽取10根，测量其抗拉强度，子样方差s*2 =6992。当显著水平为a =0.05时，能否据此认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性是否有变化？*215、（1） H。：仃 2 =0.0052, H1：仃2 #0.0052 取检验统计量 7 2 - （n - ） 20.005j .:；v：2 2.18or 2 _17.5f答：故可认为新生产的一批导线的稳定性有显著变化（2）仃2的置信区间为（(n-1)S2(n-1)S22.025 (n-1),20.975 ( n 一 1)=(0.0003 ,0.00023)某种导线的电阻

20、XN (出0.0052),现从新生产的一批导线中抽取9根，得s = 0.0090。(1)对于口 =0.05,能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化？(2)求母体方差 a2的95%的置信区间16、母体均值N的置信区间为*s尺kx 登0.025 答:(99.05 , 100.91 )某厂用自动包装机包装糖，每包糖的重量 XN(N,。2),某日开工后，测得9包糖的重量 如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 102.1 100.5 99.5 (单位：千克)试求母体 均值N的置信区间，给定置信水平为 0.95。17、3七的的置信区间为* 11*2(n1 -1)S12

21、(n2 -1)S22X 一丫 士tdg +及-2)S J +,S2- ( -0.88 , 2.04 )2n1n2n1n2 - 2设有甲、乙两种安眠药，现在比较它们的治疗效果，X表示失眠患者服用甲药后睡眠时间的延长时数，Y表示失眠患者服用乙药后睡眠时间的延长时数，随机地选取20人，10人服用甲药，10人服用乙药，经计算得x = 2.33,s2 =1.9；V = 1.75,s2 =2.9 ,设22XN(N1,。)，丫N(2尸)；求心乜的置信度为95%的置信区间。-218、二小的置信区间为二 2S；2S1*2S22S22F 0.95(17,12) F 0.05 (17,12)(0.45,2.79 )

22、研究由机器A和B生产的钢管的内径， 随机地抽取机器 A生产的管子18根，测得子样方差226 =0.34,抽取机器B生产的管子13根，测得子样方差S2 =0.29,设两子样独立，且由机器A和B生产的钢管的内径服从正态分布2N(21，%2),N(邑2尸22)，试求母体方差比 2的二 2置信度为90%的置信区间。219、仃的置信区间(n-1)S*2(n-1)S*2；05(n-1), 2.95(n-1)2 一 一，、一、一一一，、一、一仃 的置信区间(0.0575,0.1713 )仃的置信区间(0.2398,0.4139 )设某种材料的强度 XN(R52) , N尸2未知，现从中抽取20件进行强度测试

23、，以kg/cm22为强度单位，由20件子样得子样万差s =0.0912,求仃和仃的置信度为90%的置信区间。m 1mm，、20、p 的置信区间为u X x j_(1一一)( 0.504,0.696 )n 2vnv n n ；也可用中心极限定理作近似计算，所得答案为(0.50,0.69 )设自一大批产品中随机抽取100个样品，得一级品50个，求这批产品的一级中率p的置信度为95%的置信区间。21、N的置信区间为1800000 l.u0.025= 500 =n = 27.65即这家广告公司应取 28个商店作子样一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费有多少。经验表明，母体方差约为180000

24、0,如果置信度为 95%,并要使估计值处在母体均值附近500元的范围内，这家广告公司应取多大的子样？11- x_22、似然函数L(九)=()ne八二 K的极大似然估计量 ?= X九设电视机的首次故障时间X服从指数分布，,“ = EX，试导出入的极大似然估计量和矩估计。23、也匕的置信区间为*2*2_ _* 11*2(n1 - 1)s1(n2 - 1)s2Xi -X2 -t -. (n1 n2 -2)s - -,S 212 (-10.2 ,-2.4 )2n1n2n1n2 2为了比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位银行职员随机地安排了 10个顾客，并记录下为每位顾客办

25、理账单所需的时间(单位：分钟)相应的子 、 、，、,_ *2*2样均值和万差为：x1 = 22.2, x2 =28.5; s1 =16.63, s2 =18.92。假设每位职员为顾客办理账单所需的时间服从正态分布，且方差相等，求母体平均值差的置信度为95%的区间估计。24、Pi - P2的置信区间为m12 %w 口21一也)+工父独(1普,6=0.18, m2=0.14n1& 一2,n1n 也出 色 Rn2所以P1 - P2的置信区间为 (0.0079,0.0721 )某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较，他们从两个城市中分别随机地调查了 1000个成年人，其中看过该广告的比

26、例分别为0.18和0.14,试求两个城市成年人中看过该广告的比例之差的置信度为95%的置信区间。X -120025、H。：1200 取检验统计量 U =-300 ,100拒绝域Ja =也上u答案：不能认为该厂的显像管质量大大高于规定标准电视机显像管批量生产的质量标准为平均寿命1200小时，标准差为300小时。某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取100件为子样，测得X -5其平均寿命为1245小时。能否据此认为该厂的显像管质量大大高于规定标准？26、H0： N=5 H1： N#5 取检验统计量T =,n拒绝域J 一.=ft 之 J.(n1)计算得 t =522

27、15M同=3.16为0.3= 0.05= t At0025 ( 9),所以在0.05的显著水平下不能认为机器性能良好(2) a =0.01= t tj 经计算得不能认为用第二种工艺组Q*11：n2装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短。一个车间研究用两种不同的工艺组装产品所用的时间是否相同，让一个组的10名工人用第一种工艺组装产品，平均所需的时间为26.1分钟，子样标准差为12分钟；另一组的8名工人用第二种工艺组装产品，平均所需的时间为17.6分钟，子样标准差为 10.5分钟，已知用两种工艺组装产品所需的时间服从正态分布，且方差相等，问能否认为用第二种工艺组装产品所需的时间比用第一

28、种工艺组装产品所需的时间短？a =O.O5,to.o5(16) =1.745929、Ho： NE 250 H1 ： N 250 取检验统计量 U = X，250拒绝域3 =小U计算得拒绝Ho ,可认这种化肥是否使小麦明显增产某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg,其标准差为 30kg。现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样结果为平均产量为270kg。问这种化肥是否使小麦明显增产？:-0.0530、Ho： p 0.05U = 1n接受 Ho：m(1-m). n nnp 1.7531线性关系和回归系数显著:?某电器经销公司在 6个城市设有经销处，公司发现彩电销售量与该城市居民户数多少有很大关系，

29、并希望通过居民户数多少来预测其彩电销售量。下表是有关彩电销售量与城市居民户数的统计数据：城市编号销售量户数（万户）154251892631919336827197477432025836520668916209要求：（1）计算彩电销售量与城市居民户数之间的线性相关系数;（2）拟合彩电销售量对城居民户数的回归直线；2（3）计算判定系数R对回归方程的线性关系和回归系数进行显著性检验8 = 0.05）,并对结果作简要分析。Sa/(1 -1)68.4/433、F =-计算得 F =4.5 3.48Se /(n-l)38/10在每种温度下各做三次t验，测得其得率 （）如下:温度A1AAA4得率86869

30、0848588888383879288检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。34、(1) ? =0.4565x 36.589? (2) H0：b=0 检验统计量 t=14.9t0025(8)=2.306:?故儿子身高关于父亲身高的回归直线方程显著成立(3) x0 =70= ?0 =0.4646 70 35.977 = 68.499区间预测为?0 1支/?；1+1 +(刈X) ,g2 =lyy t?2lxx= 0.43222, n lxxn -2故Yo的区间预测为 (67.656,69.345 )测量9对做父子的身高，所得数据如下 （单位：英父亲身高X606264666768707274儿子

31、身高y63.665.26666.967.167.868.370.170(1)试建立了儿子身高关于父亲身高的回归直线方程(2)检验儿子身高关于父亲身高的回归直线方程是否显著成立？to.o25 (8) = 2.306(3)父亲身高为70,试对儿子身高进行置信度为95%的区间预测35、F =11.31 aFo.05(3,16),即不同的方式推销商品的效果有显著差异某商店采用四种不同的方式推销商品。为检验不同的方式推销商品的效果是否有显著差异随机抽取子样，得到如下数据：( =0.05, F0.05(3,16) =3.24)方式1方式2方式3方式47795728086927784808268798891

32、827084897582计算F统计量，并以0 =0.05的显著水平作出统计决策。四、证明题1、设X1，X2，Xn (n 2)来自正态母体X ,母体X的数学期望N及方差仃2均存在，求证：幻% 吗, ?4均是母体X的数学期望口的无偏估计。其中1 _?1 =X1,?2 =HX1 Xn)21?3(X1 2X2 3X3), / =X62、假设随机变量 X服从分布F(n, n)时，求证：P(X E1) = PX 1=0.522、 3、设X1,X2，Xn (n 2)来自正态母体 X,母体X的方差。存在，S为子样方差， *22求证：S为仃的无偏估计。4、假设母体X的数学期望N和方差仃2均存在，X1,X2，Xn

33、来自母体X ,求证：X1与W 都是母体期望N的无偏估计，且DX M DW。其中X = Xi ,n1nnWai Xi,(; ai = 1)i 1i 125、已知 T t(n)，证明 T F(1,n)6、设母体X的k阶矩Nk =E(Xik)存在，Xi,X2，Xn来自母体X，证明子样k阶矩1 nAk =-X Xik为母体的k阶矩 =E(Xik)的无偏估计。n i4丁 _-x7、设母体X的密度函数为f (x) = e 0x 01 1 1试证X是人的无偏估计，而不是x . 0X的无偏估计。8、设母体X U(0,e),证明g=2X遥 =n max(Xi,X2，Xn)均是g的无偏估计 n 1(XX2，Xn来自母体X的子样)