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1、1.什么是独立平稳增量过程?随机变量X( t2 ) -X( t1 ), 的，则称 X ( t) , t 如果对任何t1 , t2 , X( t2 ), 则称答：如果对任何 t1 , t2 ,? , tn G T , t1 t2 ? 0 , 当hj0时,P N( t + h) - N( t) = 1=入 h + o( h);和性质四：当h J0时，P N( t + h) - N( t) 2 = o( h) .证明：题目二：验证possion 分布的 Xn ,n= 1 , 2 ,? 分布服从参数为入的指数分布证明：首先考虑X1 的分布 , 注意到事件 X1 t 等价于事件 N( t) = 0, 即
2、(0 , t 内没有事件发生.因此 P X1 t = P N( t) = 0 = e-Xt ,从而P X1 t | X1 = s = P N( s + t) - N( s) = 0 | X1= s=P N( s + t) - N( s) = 0 = e-X t任意的 n, t S10,20,Sn0有 PN(Xnt) X1=s ，Xn-1=n-1 3. PN(t+s1+s2sn-1)-N(s1+s2sn-1)=0= PN (t)=0 = e- X t所以可证 FTn (t) = P Tn t =1-e- X t 张激婷 张妍利用定义证明：有 E(E(Y|Fn)|Fm) (1)=E(E(Y|Fm)
3、|Fn)(2)=E(Y|Fn) ( 3)其中 Fn Fm(nm).证明：1试证(1) = (3) 令Z=E(Y|Fn),有Z是关于Fn可测的.又有Fn Fm1故Z也是Fm可测的.E(Z|Fm尸Z【2】证(2) = (3)记 M=E(Y|Fm), Z=E(Y|Fn).相当于要证 E(M|Fn)=Z.验证定义：a.Z确是Fn可测的随机变量.b.对任意A Fn,是否有E(MI )=E(ZI )(注意A Fn,所以A Fm)左端=E(YI ) 右端=E(YI )左端二右端故成立阳关好暖知识点：泊松过程1 .设有非齐次泊松过程N(t),t，它的均值函数m(t)可以表示为m(t)=,求在t 4, t 5
4、t=4,t=5 间出现n个事件的概率。解：非齐次泊松过程N(t), t 0 N(t) , t在ti，t2口时间段内出现n个件的概率为：,(n其中1 时，m(5) m(4) 52 10 42 8 11于是，所求概率为：11n 11P N(5) N(4) n e 11 n!2 .设N(t) ,t是强度为的泊松过程，是一列独立同分布随机变量，且与N(t),t独立，令 X(t)= ，证明：若E( ，则EX(t)=tE。证明：由条件期望的性质EX(t)=EEX(t)|N(t) ，而EX(t)|N (t ) =n=E=E(所以 Ex(t)=tE.3 . 某商店顾客的到来服从强度为 4 人每小时的 Pois
5、son 过程，已知商店 9： 00 开门，试求：( 1)在开门半小时中，无顾客到来的概率；( 2 )若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。解：设顾客到来过程为 N(t), t0 ，依题意 N(t) 是参数为 的Poisson 过程。( 1)在开门半小时中，无顾客到来的概率为：PN(=( 2 )在开门半小时中无顾客到来可表示为 N( ，在未来半小时仍无顾客到来可表示为 N(1)-N(=0 ，从而所求概率为：PN(1)-N()=0=pN(1)-N(=0|N(PN-N(=.知识点：马氏链1.设一个坛子中装有4个球，它们或是红色的，或是黑色的。从坛子中随机地取出一个球，
6、弁换入一个另一种颜色的球，经过n次取球置换，令X(n),n 1表示第n次取球后坛中的黑球数。1) X(n),n 1是否构成马氏链，是否为齐次的，为什么？X (n) ,n的参数集为T=1,2,3,n,，状态集为E=0,1,2,3,4,当X(n)的取值确定时，X(n+1)的取值完全由X(n) 确定，故X(n),n为马氏链，1 j 1,i 0 或 j 3,i 4- j i 1,1 i 34i1j i 1,1 i 340其它与n无关，故为齐次马氏链。2.设X(t),t0是独立增量过程,且X(0)=0,证明X(t),t0是一个马尔科夫过程。证明：当 0 时， PX=PX(t)-X(=PX(t)-X( ，
7、又因为 PX(t)PX(t)-X(X(=PX(t)-X( ，故 PX(t)=PX(t)雷嫦倪潭苗榻嘉琪三峡库区移民问题。设库区中原有居民移民到某地区定居的户数是一泊松过程， 平均每周有2 户定居； 每户的人口是一随机变量，一户为四人的概率是1/6 ，一户为三人的概率是1/3 ，一户为二人的概率是1/3 ，一户为一人的概率是1/6 ，并且每户的人口数是相互统计独立的。 求在八周内移民到该地区人口的数学期望及其方差。解：设Yn代表第n户的人口数，其取值范围是1 , 4; N (t) 是0 , t)内定居的移民户数，其参数入=2; X ( t)代表0, t) 内移民到该地区的总人数；其中时间 t 的
8、单位是周数，则N(t)X( t) =Ynn1而随机变量Yn 的均值为4EYn=kpk =4 x 1/6+3 x 1/3+2 x 1/3+1 x 1/6 =5/2k1其均方值为EYn2= 4 k2pk =42 X 1/6+32 X 1/3+2 2X 1/3+1 2X 1/6= 43/6 k 1八周（t=8）内移民到该地区人口的数学期望和方差为EX( t)=(入 t) EY n =2 X 8 X 5/2 =40DX( t)=(入 t) EY n2 =2 X 8 X 43/6 =334/3李燕芬何飞宜廖文华林圣洋泊松过程某火车站售票处从早上 8:00开始连续售票，乘客依10h/人 的平均速率到达，则从 9:00到10:00内最多有5名乘客来此购 票的概率是多少？从 10:00到11:00没有人来买票的概率是多少？答案：设8:00为0时刻，则9:00为1时刻，10:00为2时刻，11:00为3时刻；参数 10. P N(2)N(1)10 1 (10 1)nn!P N(3)-N(2) =0 = e 101000!10 e马氏链（图上的随机游动）求马氏链的转移矩阵25答案:S=1,2,3,4,5IP1/201/401/21/21/41/4李青媚