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1、数字信号处理课程试题（A卷）题号一二二四五六七总分分数分数评卷人合分人： 复查人： -、判断题：（每题1分，共io分）（说明：认为陈述正确的在后面的括号内打，否则打“X”）1 .系统y（n）=2x（n）+5是线性移不变系统。（X）2 .序列x（n）=sin（0.7兀）是周期序列。（，）3 .脉冲响应不变法可以设计任意幅度特性的滤波器。（X ）4 . FIR系统的单位脉冲响应是有限长的。（，）5 .右边序列的收敛域在单位圆内。（X ）6 . IIR系统是全极点系统。（X ）7 .实序列的频谱是周期的、共轲对称的。（，）8 .线性相位FIR系统的零点在单位圆外。（X ）9 .窗函数的选择原则是在保
2、证阻带衰减的情况下选择主瓣窄的窗函数。（，）分数评卷人(v )10 .切比雪夫I型滤波器在通带内有波纹。二、填空题：（每空2分，共20分）1 .序列x（n） = anu（n）的Z变换为 z , x（ n -3）的Z变换是z一。 z aa二。史2 .设采样频率fs = 1000Hz ,则当s为兀/2时，信号的模拟角频率 C和实际频率f分别为 500 7r 、=250 Hz。2 二 N 3 . N点序列x（n）的DFT表达式为 X（k） =DFT x（n） Qx（n）WN0 4 N T .其物理意义是x(n)的z变换在单位圆上的 N点等间隔抽样；是 x(n)的DTFT在区间0, 2Tt 上的N点等
3、间隔抽样。4 .序列x(n)和h(n),长度分别为 N和M ( NM ),二者线性卷积的长度为 N+M-1 ;循环卷积与线性卷积的关系是N点圆周卷积yc(n)是线性卷积yi(n)以N为周期的周期延拓序列的主值序列。5 .全通系统的极零点分布特点是零点与极点以单位圆为镜像对称三、简答题：(每题5分，共20分)分数评卷人1 .对模拟信号进行采样，采样信号的频谱是否能完全表示原信号频谱？为什么?答：一个连续时间信号经过理想抽样后，其频谱将以抽样频率Cs = 2n/T为间隔而重复,即抽样信号的频谱产生周期延拓，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。因此只要各 延拓分量与原频谱分量不发生频率上的交叠，就
4、有可能恢复出原信号。要想抽样后能够不 失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率。2 .什么是吉布斯效应？它对滤波器性能有何影响？如何减小该效应的影响？答：(1)在采用窗函数法设计 FIR滤波器时，加窗处理对理想矩形频率响应产生以下影响： 一是理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，过渡带宽等于窗的频率响应 的主瓣宽度，二是带内增加了波动，通带与阻带中波动的情况与窗函数的幅度谱有关。旁瓣的大小直接影响 H (0)波动的大小。(2)吉布斯效应直接影响滤波器的性能。通带内的波动影响滤波器通带中的平稳性，阻带内的波动影响阻带内的衰减，可能使最小衰减不满足技术要求。一般滤波器都
5、要求过渡带愈窄愈好。(3)改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定，因此只有寻找合适的窗函数形状，才能减小吉布斯效应的影响。3 .写出用FFT计算线性卷积的基本步骤，并画出框图。答：用FFT计算现象卷积，是以圆周卷积代替线性卷积为基本原理的。假设参与线性卷积的两个序列x(n)为L点、h(n)为M点，要使圆周卷积能够代替线性卷积，则必须使 x(n), h(n)都补零值点，补到至少 N=M+L-1 。这时计算 N点的圆周卷积就能代表线性卷积。用 FFT计算y(n)值的步骤如下：1)求 H(k) = FFT h(n)N 点；2)求 X(k) =FFT
6、x(n)N 点；3)计算 Y(k) = H(k)X(k)4)求 y(n) = IFFT Y(k) N 点4 .在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作 用？分数评卷人答：低通滤波器的作用在于一方面把有效信号频谱以外的信号衰减掉，从而保证采样定理 能够正确实现；另一方面也可以把加在有效信号上的高频干扰信号抑制掉，从而保证系统 的精确度。四、分析计算题：(共50分)1. (15 分)已知序列 x(n) = 1,2, 3,2, 1 , n=0,1 ,4(1)该序列是否可以彳为线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应？为什么？(2)设序列x(n)的傅立叶变换用X(ejm
7、)表示，不用求X(ej8),分别计算X(ej0)、22X(ej、J_X(ej3ds、，X(ej)|ds。(3)求x(n)与序列y(n) = R(n)的线性卷积及7点循环卷积。解：(1)序列x(n)=-1,2, T,2, -1满足偶对称，因此可以作为线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应。(2)由序列的傅里叶变换公式共8页 第3页X(ej ); DTFTx(n)x(n)e- nQOQO得 X ej0 )；u_x n e_j0nx_x n - -1nn -一二二x( 2n -1户 一 1X(en)= x(nfjn=X24nn -： ：n-： ：n：:由序列的傅里叶反变换公式:1 Ji :一x(n) =
8、 DTFT X(ej )=X (ej )ej d2二1奠得 X ej d 二 X ej ej 0d =2x0 = 2二 3131由Parseval公式21n 心2x x(n)=X X(e ) dn =3，一 n ：2得 X X(ej0) d =-JI(3)先求线性卷积：l(n)二2noO2nz |x(n/ = 2n(1+4+9+ 4+1)= 38n =N1-1x(n)* y(n) = x(m)y(n - m)m =0l(0) =一1;l(1)=1;l(2) -2;l(3) =0;l(4) =0;l2;l(6) =1;l(7) =7它们的线性卷积为 N=4+5-1=8 点的有限长序列。如图共8页
9、第7页7点循环/圆周卷积:2 . (15分)已知一因果系统的系统函数为试完成下列问题:H(z)=1 0.5zi_3z525(1)系统是否稳定？为什么?(2)求单位脉冲响应 h(n)(3)写出差分方程;(4)画出系统的极零图;(5)画出系统的所需存储器最少的实现结构。解(1)H(z)=_11 0.5z1-3zJ -z52511 0.5z(1 z)(1 z J)55极点是：z=1/5和z=2/5,所有极点都在单位圆内，因此系统稳定。(2)H(z)1 0.5z1.51 12 一 11(1-z )(1 -2z ) 1 -z5550.51-2z，5且系统是因果系统,(3)所以:1由 H (z)=1 0.
10、5z33 12-21 - z z525b1=O5; a0=1; a1=3/5; a2= -2/25则差分方程可表示为:32y(n)=x(n) x(n-1)- x(n-2)-0.5y(n-1)525(4)零极点分布如下图所示：s a .,3 .(5分)已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)=22：式中，a、b为常数，设Ha(s)(s a) b因果稳定，试用脉冲响应不变法将其转换成数字滤波器H (z)。解：脉冲响应不变法:NHa(s)kdAS-SkNH(z)八TA1-eSkTz_1经部分分式分解:s a =111(s+ a)2 + b2 2-s+ a+ jb s+ a- jb 一经冲激响应不变法变换后
11、得：H(z)TT2.1- e-a jbTz-1 1-bTzT1 - eaTz1 cos bT二 T1 - 2e-aTz-1cos bTe-2aTz-24.(5分)一个因果稳定的全通滤波器的h(n)是实序列，系统函数包括三个零点，如果H (z)在z =1.25和z =2ejn/4各有一个零点，试写出 H (z)的表达式。解：h(n)是实序列，则 H(z)是实系数有理系统函数，其系数都应为实数，而其其系统函 数的复数极点(零点)必须以共轲对形式出现。题意给出该系统包含三个零点，z = 1.25和z =2ej”/4各有一个零点，那么第三个零点必然是复数零点z=2ej7T/4的共轲，即z=2e-n/4
12、。由于全通系统的零极点以单位圆为镜像对称，那么可以确定出三个极点的位置，与零点z =1.25以单位圆为镜像对称的极点为zr =1/1.25 =0.8,与零点z = 2ejjr/4对称的极点为zr =1ejH/4 ；与零点z=2eH/4对称的极点为zr =1e-n/4 22三个零点以及三个极点确定，则可以得出H (z)的表达式为：1j ：-./41j - /4，一、1 -1.25z 1 -2ejJL z 1 -2e JL zH (z)11 -0.8z1 j:;/4 11 -4：/41 - e z 1 - e z2 25. ( 10分)采用窗函数法设计 FIR数字滤波器时，常用的几个窗函数及其特性
13、如下表所示：窗函数旁瓣峰值衰耗(dB)阻带最小衰耗(dB)过渡带口/(2冗/ N)矩形窗-13-210.9三角窗-25-252.1汉宁窗-31-443.1海明窗-41-533.3布拉克曼窗-57-745.5现需要设计满足下列特性的低通滤波器，通带截至频率fn=1KHZ ,阻带截止频率pfst M2KHZ ,抽样频率fs =16KHZ ,阻带衰减 s之30dB ,请回答下列问题:你选择什么窗函数？为什么？(2)窗函数长度N如何选择？解：求各对应的数字频率：2 二 fn通市截止频率为p = =0. 1 25pfs2- f阻带截止频率为6st =土工1=0 25fs阻带衰减相当于c.2 =30dB(1) 由阻带最小衰减的要求，查表，可选汉宁窗，其阻带最小衰减-44dB满足要求。(2) 所要求的过渡带宽口6 =0.25兀-0.125H =0.125n，由于汉宁窗过渡带宽满足U /(2n/ N)=3.1 ,所以窗函数N=6.2 n/Us = 49.6,取N=50。一般N的取值要通 过几次试探而最后确定。