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1、解斜三角形的应用上海市奉贤中学 钱丹燕【教学目标】1 运用三角形内角和定理，正余弦定理等知识解斜三角形。2 利用解斜三角形知识解决一些实际问题。3 激发学生学习的兴趣，增强用数学的意识。【教学重点】1 数学模型的建立；2 实际问题解决中解三角形的应用。【教学难点】把实际问题转化为数学问题【头脑体操】1 在ABC中，a=3，b=2，sinB=，则A=_2 在ABC中，A=，b=2，则=_【例题精讲】例题1上海的金茂大厦是改革开放以来的上海超高层标志性建筑。有一位测量爱好者在与金茂大厦底部同一水平线上的B处测得金茂大厦顶部A的仰角为，再向金茂大厦前进500米到C处，测得金茂大厦顶部A的仰角为。他能
2、否算出金茂大厦的高度呢？若能算出，请计算其高度（精确到1米）。 点评：归纳一般步骤数学问题的解数学问题审题，分析，建模检验求解实际问题实际问题的解例题2修建铁路时要在一个山体上开挖一隧道，需要测量隧道口D、E之间的距离，测量人员在山的一侧选取点C，因有障碍物，无法测得CE、CD的距离，现测得CA=482.80米，CB=631.50米，ACB=；又测得A、B两点到隧道口的距离分别是80.13米、40.24米（A、D、E、B在同一直线上）。求隧道DE的长（精确到1米）。点评：难点是画出示意图例题3缉私艇在A处发现在北偏东方向，距离12海里的海面C处有一艘走私船正以10海里每小时的速度沿东偏南方向逃
3、窜。若缉私船以14海里每小时的速度沿直线追击，问缉私艇应按什么方向（精确到），需多长时间才能最快追上该走私船？ 点评：关键是画出示意图，把实际问题转化为数学问题【课堂小结】（师生共同小结）：略【跟踪训练】1、课本P75 1，2，3，4 练习册P27 11，13 2、某观测站C在城A的南偏西的方向上，由A城出发有一条公路走向是南偏东，在C处测得距C为31km处的公路上B处，有一人正沿公路向A城走去，走了20km后到达D处，此时C,D间距离为21km，问这人还需要走多少路程到达A城（假设这人是匀速走动的）？【拓展研究】根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度时，按逆时针方向旋转；时，
4、按顺时针方向旋转），再朝其面对的方向沿直线行走r米。现机器人在直角坐标系的原点，且面对x轴的正方向，机器人先后执行以下两个指令：（5，）、（25，）。请你将这两个指令换成一个指令，使机器人到达同一位置。（结果精确到0.1，动作完成后不考虑机器人的方向）【教案说明】本节课是二期课改教材高中一年级第二学期第五章第三节第三课时的内容。三角比是中学数学的重要内容之一，为学习解析几何、向量、复数等有关知识打好基础，同时也为处理物理问题提供必要的工具。就本章而言，本节内容是运用正弦定理和余弦定理解决一些测量和几何计算的实际问题，加强数学的应用意识。学生在现实生活中已接触到很多有关解斜三角形的模型，在初中时
5、解直角三角形的问题已相当熟悉，而本节课是通过学习解斜三角形，使学生理解数学来源于实践，又反过来作用于实践的道理。由于本节课之前已上过二节解斜三角形，因此我们的学生已初步具备了解斜三角形的能力。头脑体操部分作为预习作业，在课前完成。如此设计本着落实基本知识点，基本解题思想方法，使学生加深对将要学习的、最重要和最基本的知识方法的理解，为提高学习效率打下扎实的基础。 例题精讲部分的选择充分体现最基本知识、最基本方法的覆盖，即狠抓通性通法的落实。本课中的例题设计旨在使学生明确如何将实际问题转化为数学问题的基本思想方法，体现建模思想，紧紧围绕解斜三角形的几类基本问题展开。例1是教材上的例题，背景与学生的
6、生活相关，能激发学习的兴趣，也弘扬了爱国主义精神。本题的数学模型较清晰，是已知三角形两角和一边的问题，学生可以较快地用正弦定理解决问题。但是部分学生用解直角三角形的方法解决，通过方法的对比，使学生意识到用正弦定理的优势。在小结时，归纳运用解三角形的知识解决实际问题的一般步骤。通过归纳，使学生明白解决问题的途径，初步落实重点，突破难点。并使学生更深切地体会到解斜三角形知识在现实中的实际意义。例2也是教材上的例题，类似于已知三角形两边一夹角的问题，使学生体验利用余弦定理解决实际问题。该题的模型没有例1清晰，难点是如何正确地画出示意图，从而转化为数学问题，这里强调数形结合的思想方法，而且有研究的实际
7、价值，进一步落实重点，突破难点。例3是自选的例题，因为它是解斜三角形的典型问题，是正弦定理、余弦定理的综合应用，还有方程的思想，所以我把它选为例3，使学生掌握这类常见题的通性通法，提高学生解决问题的能力，提升本节课的思维容量。本题的关键是根据题意准确地画出示意图，其次是引进变量，找到等量关系，建立方程。让学生体验解决问题的过程，加强数学的应用意识。落实重点，突破难点。本节课，采用“探究发现式”教学模式为学生创设探究知识的情景，从而充分调动学生学习数学知识的积极性，使学生有自主发现知识、创造性地解决问题的时间、空间。在整个的设计过程中，始终体现以学生为中心的教育理念。在学生已有的认知基础上进行设
8、问和引导，关注学生的认知过程，强调学生的品德、思维和心理等方面的发展。重视讨论、交流和合作，重视探究问题的习惯的培养和养成。同时，考虑不同学生的个性差异和发展层次，使不同的学生都有发展，体现因材施教的原则。通过对学生学习数学的行为、态度和取得的进展的判断，使学生正确认识自己，增强学习数学的自信心，获得真实的成就感；引导和鼓励学生继续努力学习，切实改善学习态度，改进学习方法，在个性方向上充分发展、不断进步；同时使教师更好地了解学生的数学学习程度和需要，进行正确的教学决策，切实改进教学。【教后感】应用能力是被作为一个重要能力来培养，那么如何落实难点？我们要一步步从头来，不能把学生估计太高。怎样解应
9、用题？很关键的是，在课堂上要让学生做。头脑体操，从数学知识上为本节课做了铺垫。例1的亮点：总结出解应用题的一般步骤；例2在教师引导下，学生逐步思考，解题策略：画出图形，标上已知条件，从目标出发，归结到哪个三角形，再回到实际问题去检验；例3的难点是如何理解题意，让学生体验解决问题的过程。从而言之，例题的选择，功能明确。存在的问题，在本节课中应进一步揭示解题规律，在归纳解应用题的一般步骤时，应强调解斜三角形的一般规律。这样处理，可能学生会掌握得更好。点评（金红卫 ： 中学数学高级教师 ， 区名导师）应用题历来是学生比较害怕的题型，但解应用题又是数学知识应用的重要途径，也是高考必考的内容。1、 无论
10、从课程标准、教材内容还是学生的学习基础、思维特点来看，本节课的教学目标定位比较适当，而且成为教学设计与教学实施的出发点和归宿点。2、 教学重点（数学模型的建立；解三角形在实际问题中的应用）得到了充分的落实，教学难点（把实际问题转化为数学模型）也得到了突破。难点突破的关键是学会如何审题。教师能够从“作示意图和标注已知条件”，让学生领悟如何进行审题，以及审题时应该如何具体操作。3、 新课前“头脑体操”这一环节的设计，有效地复习了解三角形的两种基本题形，即“已知两边一对角，应用正弦定理”和“已知两边一夹角，应用余弦定理”，为本节课作了很好的铺垫。4、 例题进行了精心选择。例1、例2属于同一层次，但侧
11、重点不同：例1属于 “两边一对角”题型，应用正弦定理，例2属于 “两边一夹角”题型，应用余弦定理；例1有两个三角形，例2只有一个三角形；例1计算高度，例2计算长度。例3属于第二层次，需要通过应用余弦定理构建方程求解时间，再运用正弦定理或余弦定理求角。解题过程中，教师能够进行解题规律的揭示，总结了解应用题的数学建模方法。5、 根据本节课的内容及学生情况，教师选择了引导、启发、师生合作探究的教学方法，以学生自主探究和合作交流为主，教师进行适时点拨，课堂气氛融洽，学生思维活跃。课堂教学过程中，教师能结合教学内容，比较自然地进行德育渗透。教师基本功比较扎实，讲解清楚有序、板书设计合理。当然，本节可也存在着一些不足。虽然总结了解应用题的一般方法与步骤，但就三角形应用题的具体解题规律没有进行很好地总结与提炼。如“审题环节”应强调作图，在图上标明已知条件；“分析环节”应强调寻找可解三角形，寻找欲求结论与可解三角形之间的关系，从而得到解题思路；“求解环节”应强调判断三角形的类型，选择正弦定理还是余弦定理求解；“作答环节”应强调答案是否符合实际问题的要求。数学知识今后或许会遗忘，但数学思想方法或许会影响一个人的一生。希望通过我们的数学课，能够让学生领悟、掌握和运用这些数学思想方法。